11.用长为90cm，宽为48cm的长方形铁皮做一个无盖的容器，先在四角分别截去一个小正方形，然后把四边翻折90⁰角，再焊接而成，问该容器的高为多少时，容器的容积最大？最大的容积是多少？

解：设容器的高为x，容器的体积为V.

　则(0 < x < 24)

　　＝x

∵x

由　

∴　

　所以 当

　又

　所以 0　　　　　　　

　答：该容器的高为10cm时，容器有最大容积19600　

10.如图,曲线段OMB是函数的图象,轴于点A,曲线段OMB上一点M处的切线PQ交x轴于点P,交线段AB于点Q

(1)若t已知,求切线PQ的方程　 (2)求的面积的最大值

解：(1)，所以过点M的切线的斜率为

由点斜式得切线PQ方程为，

即……①　　　　　　

(2)…………②

对①令x=6得…………③　　　

　令y=0得…………④

③④代入②得　　

，令 解得

所以当t=4时有极大值64,

所以当t=4时,的面积的最大值为64.　　

9. 函数若恒成立,求实数的取值范围

解：由，得单调递增；

又，

所以是奇函数.，

在上单调递增， 恒成立，即：恒成立，分类：①当恒成立，适合；

②当恒成立解得：

综上，

说明:(1)通过研究函数的性质(单调性与奇偶性)，利用函数的性质解决不等式问题，是函数思想的重要应用.(2)找寻使恒成立的条件实际上依然用的是函数图像(数形结合)的函数思想.

变式:设函数若恒成立，求实数的取值范围.

解：由，得单调递增；

又，

所以是奇函数.，

恒成立，即恒成立.

①当成立；②当

8.人教版选修1－1第108页B 组习题，选修2－2第34页B组习题

利用函数的单调性，证明：

变式1：证明：，

证明：(1)构造函数，

，当，得下表

	+	0	-
	单调递增	极大值	单调递减

总有

另解，当，

当，单调递增，……①

当，单调递减， ………………②

当　　　　 …………………………………………………………③

综合①②③得：当时，

(2)构造函数，

当，当单调递减；

当单调递增；极小值=，

总有即：.

综上(1)(2)不等式成立.

变式：(理科)设函数f(x)=(1+x)²－ln(1+x)².若关于x的方程f(x)=x²+x+a在[0，2]上恰好有两个相异的实根，求实数a的取值范围.

解：

　 方程f(x)=x²+x+a, 即x－a+1－ln(1+x)²=0，记g(x)=x－a+1－ln(1+x)².

　　　　 所以.由>0,得x<－1或x>1,由<0

得－1<x<1.

所以g(x)在[0，1]上递减，在[1，2]上递增，为使f(x)=x²+x+a在[0，2]上恰好有两个相异的实根，只须g(x)=0在上各有一个实根，于是有

2.应用导数解决实际问题，关键是要建立恰当的数学模型(函数关系)，如果函数在区间内只有一个点使(x)=0，此时函数在这点有极大(小)值，那么不与端点比较，也可以知道这就是最大(小)值.

拓展题例

[例1] 函数y=2x³+3x²－12x+14在［－3，4］上的最大值为________，最小值为________.

解析：y′=6x²+6x－12=0.

x=1，－2，f(－3)=20，f(－2)=34，f(1)=7，f(4)=142.

答案：142　 7

[例2] 设x=－2与x=4是函数f(x)=x³+ax²+bx的两个极值点.

(1)求常数a、b；

(2)判断x=－2，x=4是函数f(x)的极大值点还是极小值点，并说明理由.

解：(1)(x)=3x²+2ax+b.

由极值点的必要条件可知x=－2和x=4是方程(x)=0的两根，则a=－3，b=－24.

(2)(x)=3(x+2)(x－4)，得

当x<－2时，(x)>0；

当－2<x<4时，(x)<0.

∴x=－2是f(x)的极大值点.

当x>4时，(x)>0，则x=4是f(x)的极小值点.

1.导数的基本应用如下表：

4.体会数形结合、函数、方程思想在本章的运用.

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教学点睛

3.注意极值与最值的关系，理解若只有一个极值则必为最值.

2.函数f(x)在极值点不一定可导，如函数y=|x|在x=0处.

1.(x₀)=0是x₀为可导函数f(x)的极值点的必要不充分条件，如函数y=x³在x=0处.