例1.如图,P是正方形ABCD的对角线BD上一点,PECF是矩形,

证明:①PA=EF   ②PA⊥EF

分析:如果用平面几何的常规证法来处理这两个结论,

由于P点的不确定性,显然对大部分学生来讲很困难,

而如果抓住向量,那么可以把几何关系快速转化为数量

关系,从而通过定量分析得出定性的结果

证明:①以DC所在直线为x轴,以DA所在直线为y轴建

  立如图所示的直角坐标系。

设正方形边长为1,

则A(0,1),C(1,0),P,E,F 

 

  ∴  ∴PA=EF

②∵

 ∴  ∴PA⊥EF

例2.如图,设G是△OAB的重心,过G的直线与OA、OB分别交于P和Q,已知,△OAB和△OPQ的面积分别为S和T。

求证:(1)   (2)

证明:(1)连结OG并延长交AB于M

     则M为AB的中点,设a,b

    ∴(a+ b)

     (a+ b)

    又a ,b

   ∴=kb-h a

     (a+ b)―h a=a+b

   ∵P、G、Q三点共线,∴存在实数使得

   即a+b=b-a

   由平面向量基本定理知:消去

(2)∵∠POQ=∠AOB  ∴

   由(1)知  由于

  ∴  ∴

   从而  ∴

  又∵  ∴

综上所述:∴  即

说明:解本题的关键是理解向量的各种运算的定义,并能熟练应用运算法则。利用向量解平面几何问题有时特别方便,但要注意一点,不宜搞得过难过深,因为高考在这方面要求不高,只是在数学竞赛中有较高要求。

 0  51550  51558  51564  51568  51574  51576  51580  51586  51588  51594  51600  51604  51606  51610  51616  51618  51624  51628  51630  51634  51636  51640  51642  51644  51645  51646  51648  51649  51650  51652  51654  51658  51660  51664  51666  51670  51676  51678  51684  51688  51690  51694  51700  51706  51708  51714  51718  51720  51726  51730  51736  51744  447348 

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