5. 函数在点处的导数的几何意义

函数在点处的导数是曲线在处的切线的斜率，相应的切线方程是.

4.在的导数

.

3.瞬时加速度

.

2.瞬时速度

.

1.在处的导数(或变化率或微商)

.

4.(天津卷20)(本小题满分12分) 已知函数在处取得极值。

(I)讨论和是函数的极大值还是极小值；

(II)过点作曲线的切线，求此切线方程。

(江苏卷10)函数在闭区间[-3，0]上的最大值、最小值分别是　 (　 )

(A)1，-1　　　　 (B)1，-17　　　 (C)3，-17　　　 (D)9，-19

(浙江卷11)设f '(x)是函数f(x)的导函数，y=f '(x)的图象

如右图所示，则y=f(x)的图象最有可能的是

(A)　　　　　　　 (B)　　　　　　　 (C)　　　　　　　　 (D)

(浙江卷20)设曲线y=e^-x(x≥0)在点M(t,e^-t}处的切线l与x轴、y轴围成的三角形面积为S(t). (1)求切线l的方程；(2)求S(t)的最大值。

3.(天津卷9)函数)为增函数的区间是

　 (A)　　 (B)　　 (C)　　 (D)

2．(全国卷22)(本小题满分14分)已知函数f(x)=ln(1+x)-x,g(x)=xlnx,

(i)求函数f(x)的最大值；(ii)设0<a<b,证明0<g(a)+g(b)-2g()<(b-a)ln2.

1．(全国卷10)函数y=xcosx-sinx在下面哪个区间内是增函数(　 )

　　 A ()　　　　 B (π,2π)　　　　 C ()　　　　 D (2π,3π)

例1．　 在处可导，则　　　 　　　

思路：　 在处可导，必连续　　 　　　　∴

　　 　　∴ 　　

例2．已知f(x)在x=a处可导，且f′(a)=b，求下列极限：

　(1)；　 (2)

　分析：在导数定义中，增量△x的形式是多种多样，但不论△x选择哪种形式，△y也必须选择相对应的形式。利用函数f(x)在处可导的条件，可以将已给定的极限式恒等变形转化为导数定义的结构形式。

　解：(1)

　(2)

说明：只有深刻理解概念的本质，才能灵活应用概念解题。解决这类问题的关键是等价变形，使极限式转化为导数定义的结构形式。

例3．观察，，，是否可判断，可导的奇函数的导函数是偶函数，可导的偶函数的导函数是奇函数。

解：若为偶函数　　 　　令

∴ 可导的偶函数的导函数是奇函数

　　 另证：

∴ 可导的偶函数的导函数是奇函数

例4．(1)求曲线在点(1，1)处的切线方程；

　(2)运动曲线方程为，求t=3时的速度。

　分析：根据导数的几何意义及导数的物理意义可知，函数y=f(x)在处的导数就是曲线y=f(x)在点处的切线的斜率。瞬时速度是位移函数S(t)对时间的导数。

　解：(1)，

　，即曲线在点(1，1)处的切线斜率k=0

　因此曲线在(1，1)处的切线方程为y=1

　(2)

　。

例5． 求下列函数单调区间

(1)　　　 (2)

(3) 　　　　　　　　(4)

解：(1) 　时

　　 ∴ ，

(2)　 ∴ ，

(3)　

∴ 　　　

∴ ，　 ，

(4)　 定义域为

例6．求证下列不等式

(1)

(2)

(3)

证：(1) 　

∴ 为上　　 ∴ 　　恒成立

∴ 　　

∴ 在上　 ∴ 　恒成立

(2)原式　 令 　　　

∴ 　　∴ 　　

　 　　∴

(3)令　

　 　　∴

∴

例7．利用导数求和：

　(1)；

　(2)。

　分析：这两个问题可分别通过错位相减法及利用二项式定理来解决。转换思维角度，由求导公式，可联想到它们是另外一个和式的导数，利用导数运算可使问题的解决更加简捷。

　解：(1)当x=1时，

　；

　当x≠1时，

　∵，

　两边都是关于x的函数，求导得

　即

　(2)∵，

　两边都是关于x的函数，求导得。

　令x=1得

　，

　即。

例8．设，求函数的单调区间.

分析：本小题主要考查导数的概念和计算，应用导数研究函数性质的方法及推理和运算能力.

解：.

当时　 .

(i)当时，对所有，有.

即，此时在内单调递增.

(ii)当时，对，有，

即，此时在(0，1)内单调递增，又知函数在x=1处连续，因此，

函数在(0，+)内单调递增

(iii)当时，令，即.

解得.

因此，函数在区间内单调递增，在区间

内也单调递增.

令，解得.

因此，函数在区间内单调递减.

　例9．已知抛物线与直线y=x+2相交于A、B两点，过A、B两点的切线分别为和。

　(1)求A、B两点的坐标； (2)求直线与的夹角。

　分析：理解导数的几何意义是解决本例的关键。

　解　 (1)由方程组

　　　 解得 A(-2，0)，B(3，5)

　(2)由y′=2x，则，。设两直线的夹角为θ，根据两直线的夹角公式，

　　　　 所以

　说明：本例中直线与抛物线的交点处的切线，就是该点处抛物线的切线。注意两条直线的夹角公式有绝对值符号。

例10．(2001年天津卷)设，是上的偶函数。

(I)求的值；　 (II)证明在上是增函数。

解：(I)依题意，对一切有，即，

∴对一切成立，

由此得到，，　　 又∵，∴。

(II)证明：由，得，

当时，有，此时。∴在上是增函数。