4、等差、等比数列的应用

　 (1)基本量的思想：常设首项、公差及首项，公比为基本量，借助于消元思想及解方程组思想等；

　 (2)灵活运用等差数列、等比数列的定义及性质，简化计算；

　 (3)若{a_n}为等差数列，则{}为等比数列(a>0且a≠1)；

若{a_n}为正数等比数列，则{log_aa_n}为等差数列(a>0且a≠1)。

3、等比数列

(1)定义：=q(q为常数，a_n≠0)；a_n²=a_n-1a_n+1(n≥2，n∈N₊)；

(2)通项公式：a_n=a₁q^n-1，a_n=a_mq^n-m;

　　 前n项和公式：；

(3)性质

当m+n=p+q时，a_ma_n=a_pa_q，特例：a₁a_n=a₂a_n-1=a₃a_n-2=…，当2n=p+q时，a_n²=a_pa_q，数列{ka_n}，{}成等比数列。

2、等差数列

　 (1)定义，{a_n}为等差数列a_n+1-a_n=d(常数)，n∈N₊2a_n=a_n-1+a_n+1(n≥2，n∈N₊)；

　 (2)通项公式：a_n=a_n+(n-1)d，a_n=a_m+(n-m)d；

　　　　 前n项和公式：；

　 (3)性质：a_n=an+b，即a_n是n的一次型函数，系数a为等差数列的公差；

　　 S_n=an²+bn，即S_n是n的不含常数项的二次函数；

若{a_n}，{b_n}均为等差数列，则{a_n±n_n},{},{ka_n+c}(k，c为常数)均为等差数列；

当m+n=p+q时，a_m+a_n=a_p+a_q，特例：a₁+a_n=a₂+a­_n-1=a₃+a_n-2=…；当2n=p+q时，2a_n=a_p+a_q；

当n为奇数时，S_2n-1=(2n-1)a­_n；S_奇=a_中，S_偶=a_中。

1、数列，是按照一定顺序排列而成的一列数，从函数角度看，这种顺序法则就是函数的对应法则，因此数列可以看作是一个特殊的函数，其特殊性在于：第一，定义域是正整数集或其子集；第二，值域是有顺序的，不能用集合符号表示。

研究数列，首先研究对应法则--通项公式：a_n=f(n)，n∈N₊，要能合理地由数列前n项写出通项公式，其次研究前n项和公式S_n：S_n=a₁+a₂+…a_n，由S_n定义，得到数列中的重要公式：。

一般数列的a_n及S_n,，除化归为等差数列及等比数列外，求S_n还有下列基本题型：列项相消法，错位相消法。

2、一般数列的通项及前n项和计算。

1、等差数列及等比数列的定义，通项公式，前n项和公式及性质；

　　 《数列》复习

(三)　 解答题

17、(10分)已知无穷数列{a_n}存在极限，且，求。

18、(12分)设函数，求的值。

19、(12分)已知曲线C₁：y=ax²上点P处的切线为₁，曲线C₂：y=bx³上点A(1，b)处的切线为₂，且₁⊥₂，垂足M(2，2)，求a、b的值及点P的坐标。

20、(12分)求函数f(x)=p²x²(1-x)^p(p∈N₊)，在[0，1]内的最大值。

21、(14分)证明双曲线xy=a²上任意一点的切线与两坐标轴组成的三角形面积等于常数。

22、(14分)已知曲线S：y=x³+px²+qx的图象与x轴相切于不同于原点的一点，又函数有极小值-4，求p、q的值。

(二)　 填空题(每小题4分，共16分)

13、若，则a=______，b=______。

　　 14、已知偶函数f(x)在(0，+∞)内满足f’(x)>0，f(0)>0，则=__________。

15、抛物线y=x²上点切线和直线3x-y+1=0的交角为45⁰，则点P坐标为__________。

　　 16、两个和为48的正整数，第一个数的立方与第二个数的平方之和最小，则这两个正整数分别为__________。

(一)　 选择题(每小题5分，共60分)

1、　 等差数列中，若存在，则这样的数列

A、　 有且仅有一个　　 　　 B、有无数多个　　 　　　 C、有一个或无穷多个　　 　　 D、不存在

2、　 已知，如果bc≠0，那么=

A、　 15　　　　　　　 　　 B、　　　　　　 　　　 C、　　　　　　 　　　　　 D、

3、　 若r为实常数，则集合

A、恰有一个元素　　 　　 B、恰有两个元素　 　　　 C、恰有三个元素　 　　　　　 D、无数多个元素

4、的值

A、2　　　　　　　　 　　 B、1 　　　　　　　　　 C、0　　　　　　 　　　　 　　 D、不存在

5、函数y=(x²-1)³+1在x=-1处

A、　 有极大值　　 　　　　 B、无极值　　　 　　　　 C、有极小值　　 　　　　　　 D、无法确定极值情况

6、　 f(x)=ax³+3x²+2，f’(-1)=4，则a=

A、　　　　　 　　　 B、　　　　　 　　　　　　 C、　　　　　 　　　　　　　　 D、

7、过抛物线y=x²上的点M()的切线的倾斜角是

A、30⁰ 　　　　　　　　 B、45⁰ 　　　　　　　　 C、60⁰　　　　　 　　　　　　 D、90⁰

8、函数f(x)=x³-6bx+3b在(0，1)内有极小值，则实数b的取值范围是

A、　 A、(0，1)　　 　　　 B、(-∞，1)　　 　　　　 C、(0，+∞)　　 　　　　　　 D、(0，)

9、　 函数y=x³-3x+3在[]上的最小值是

A、　 　　　　　　　　　 B、1 　　　　　　　　　 C、　　　　　　 　　　　　 D、5

　　 10、若f(x)=x³+ax²+bx+c，且f(0)=0为函数的极值，则

A、c≠0　　　　　　　　 　　　　　　　　　　　　 B、当a>0时，f(0)为极大值

C、b=0　　　　　　　　　　　　　　 　　　　　　 D、当a<0时，f(0)为极小值

11、已知函数y=2x³+ax²+36x-24在x=2处有极值，则该函数的一个递增区间是

A、(2，3)　　　 　　　 B、(3，+∞)　　　 　　　 C、(2，+∞)　　　 　　　　 D、(-∞，3)

12、方程6x⁵-15x⁴+10x³+1=0的实数解的集合中

A、至少有2个元素　　　 B、至少有3个元素　　　 C、至多有1个元素　　　　 　 D、恰好有5个元素