2．几何应用题．例11．如右图.设田地喷灌水管AB高出地面1.5米.在B处有一个自动旋转的喷水头.一瞬间.喷出水流是抛物线状.喷头B与水流最高点C的连线与水平地面成45°角.若C比B高出2米.在——青夏教育精英家教网—

2．几何应用题．　　例11．如右图，设田地喷灌水管AB高出地面1.5米，在B处有一个自动旋转的喷水头，一瞬间，喷出水流是抛物线状，喷头B与水流最高点C的连线与水平地面成45°角，若C比B高出2米，在所建的坐标系中，求水流的落地点D到点A的距离是多少米？　　分析：本题要构造解析几何模型，其关键是确定抛物线的方程．　　解. 依题可知.BE=CE=2(米)，CF=CE+EF=3.5(米)，点B的坐标为(0,1.5) 　　∴抛物线的方程为　　由于它经过点B，故　　 ∴4a=–2, ∴ . 　　　故抛物线的方程为　　当y=0时，　　∴ 　　　即水流落地点D和点A的距离为　　例7.如右图是抛物线型拱桥，设水面宽AB=18米，拱项离水面的距离为8米，一货船在水面上的部分的横断面为一矩形CDEF．　　(1)若矩形的长CD=9米，那么矩形的高DE不能超过多少米才能使船通过拱桥？　　(2)求矩形面积S的“临界值”M：即当S≤M时，适当调整矩形的长和高，船能通过拱桥；而当S>M时，无论怎样调整矩形的长和高，船都不能通过拱桥．　　分析：本题确切指明是抛物线型，因此关键是确定抛物线段的方程．　　解：(1)如图，以O点为原点，过O平行AB的直线为x轴以线段AB的垂直平分线为y轴建立直角坐标系．则B(9，-8)

　　设抛物线方程为

(p>0) 　　　 ∵B点在抛物线上，　　∴81=–2p(–8) ∴

　　　　 ∴抛物线的方程为

　　当

时，y=–2，∴|DE|=6，　　所以当矩形的高DE不超过6米时，才能使船通过拱桥．

　　(2)设　　则|CD|=2x, 　　　 ∴ 　　　　　　当且仅当即 ,8取得最大值32 平方米，∴矩形面积S的临界值M为。

例12、如图，某隧道设计为双向四车道，车道总宽22米，要求通行车辆限高4.5米，隧道全长2.5千米，隧道的拱线近似地看成半个椭圆形状。

(1)若最大拱高h为6米，则隧道设计的拱宽l是多少？

(2)若最大拱高h不小于6米，则应如何设计拱高h和拱宽l，才能使半个椭圆形隧道的土方工程量最小？

(半个椭圆的面积公式为。柱体体积为：底面积乘以高。本题结果均精确到0.1米)

［解］(1)如图建立直角坐标系，则点P(11，4.5)

椭圆方程为

将与点P坐标代入椭圆方程，得，此时

因此隧道的拱宽约为33.3米。

(2)［解一］由椭圆方程

得

因为，即，且

所以

当S取最小值时，有，得

此时

故当拱高约为6.4米，拱宽约为31.1米时，土方工程量最小

［解二］由椭圆方程，得

于是

即，当S取最小值时，有

得，，以下同解一

例13、　 2003年10月15日9时，“神舟”五号载人飞船发射升空，于9时9分50秒准确进入预定轨道，开始巡天飞行。该轨道是以地球的中心为一个焦点的椭圆。选取坐标系如图所示，椭圆中心在原点。近地点A距地面200km，远地点B距地面350km。已知地球半径R＝6371km。

　 (I)求飞船飞行的椭圆轨道的方程；　　

(II)飞船绕地球飞行了十四圈后，于16日5时59分返

回舱与推进舱分离，结束巡天飞行，飞船共巡天飞行了约

，问飞船巡天飞行的平均速度是多少km/s？

(结果精确到1km/s)(注：km/s即千米/秒)

本小题主要考查椭圆等基本知识，考查分析问题和解决问题的能力。满分14分

　　解：(I)设椭圆的方程为　　由题设条件得

　　解得　　所以

　　所以椭圆的方程为

　 (注：由得椭圆的方程为，也是正确的。)

(II)从15日9时到16日6时共21个小时，合21×3600秒

　　减去开始的9分50秒，即9×60+50＝590(秒)，再减去最后多计的1分钟，共减去590+60＝650(秒)　　得飞船巡天飞行的时间是　　 (秒)

　　平均速度是(千米/秒)　　所以飞船巡天飞行的平均速度是8km/s。

例14、A、B两个代表队进行乒乓球对抗赛，每队三名队员，A队队员是A₁，A₂，A₃，B

队队员是B₁，B₂，B₃，按以往多次比赛的统计，对阵队员之间胜负概率如下：

对阵队员	A队队员胜的概率	A队队员负的概率
A₁对B₁
A₂对B₂
A₃对B₃

现按表中对阵方式出场，每场胜队得1分，负队得0分，设A队、B队最后所得总

分分别为ξ、η

　 (1)求ξ、η的概率分布；

　 (2)求Eξ，Eη.

本小题考查离散型随机变量分布列和数学期望等概念，考查运用概率知识解决实际问题的能力

解：(1)ξ、η的可能取值分别为3，2，1，0.

，

根据题意知ξ+η=3，所以　 P(η=0)=P(ξ=3)=, P(η=1)=P(ξ=2)=

P(η=2)=P(ξ=1)= ,　 P(η=3)=P(ξ=0)= .

　 (2)；因为ξ+η=3，所以　

1.代数应用题　　例1．在测量某物理量的过程中，因仪器和观测的误差，使得n次测量分别得到a₁,a₂,…a_n共n个数据，我们规定所测量的物理量的“最佳近似值”a是这样一个量：与其他近似值比较，a与各数据的差的平方和最小，依此规定，从a₁,a₂,…a_n推出的a=______________．　　分析：本题是与其它学科相关的数学应用问题，要正确理解题意，并能把文字语言转化为符号语言．　　解：依题意，本题即是求使的最小值时，a的取值．　　∵ ，　　故当时，f(a)最小．　　例2.《中华人民共和国个人所得税法》规定，公民全月工资、薪金所得不超过800元的部分不必纳锐，超过500元的部分为全月应纳税所得额，此项税款按下表分段累进计算：

全月应纳税所得额	税率
不超过500元的部分	5%
超过500元至2000元的部分	10%
超过2000元至5000元的部分	15%

　　　某人一月份应交纳此项税款26.78元，则他的当月工资、薪金所得介于　　(A)800-900元 (B)900元-1200元 (C)1200-1500元 (D)1500-2000元　　分析：注意分类讨论思想的应用．　思路一：若收入1300元应纳税：500×5%=25元<26.78元　　∴此人收入超过1300元，淘汰A、B．　　若收入1500元应纳税：500×5%+200×10%=45元>26.78元　　∴此人收入低于1500元，排除D，故选C．　　思路2：设全月应纳税所得额为x元．　　当x<500时，由题意知　 x·5%=26.78 　　∴ 故与题意不符合．　　当500<x<2000元时，则500×5%+(x–500) ×10%=26.78 　　∴x=517.8 　　∴当月工资、薪金所得额为800+517.8=1317.8元．　　故选C．　　例3．设计某高速公路时，要求最低车速50千米/小时，最小车距为l千米(l是定值)，并且车速v与车距d之间必须满足关系 ,求：　　(Ⅰ)常数k的值：　　(Ⅱ)这条高速公路的一条车道上每小时的最高车流量．(单位时间车流量=车速/车距) 　　解：(Ⅰ)由题意，将v=50，d=l代入解析式中可求得　　(Ⅱ) ．　　设每小时车流量为Q，则　　　　(由实际问题，皆为正值) 　　当且仅当，即时等号成立．　　而所以当车速为千米/小时，此高速公路一条车道上每小时的最大车流量为辆．　　例4.某蔬菜基地种植西红柿，由历年市场行情得知，从二月一日起的300天内，西红柿市场售价与上市时间的关系用图一的一条折线表示；西红柿的种植成本与上市时间的关系用图二的抛物线表示．


图一	图二

　　　(Ⅰ)写出图一表示的市场售价与时间的函数关系式P=f(x)；写出图二表示的种植成本与时间的函数关系式Q=g(t) 　　(Ⅱ)认定市场售价减去种植成本为纯收益，向何时上市的西红柿纯收益最大？　　(注：市场售价和种植成本的单位：元/10²kg，时间单位：天) 　　分析：要根据函数图象正确建立函数关系式，然后求最值．　　解：由图一可得市场售价与时间的函数关系为　　　　由图二可得种植成本与时间的函数关系为，　　 Ⅱ)设t时刻的纯收益h(t),则由题意得．　　　　当0≤t≤200时，配方整理得　　，　　∴t=50时，h(t)取得区间[0，200]上的最大值100；　　当时，配方整理得，　　　　∴当t=300时，h(t)取得区间(200,300]上的最大值87.5 　　　综上，由100>87.5可知，h(t)在区间[0，300]上可以取得最大值100，此时t=50，即从二月一日开始的第50天时，上市的西红柿纯收益最大．　　例5某企业年初有资金1000万元，如果该企业经过生产经营每年资金增长率均为50%，但每年年底都要扣除消费基金x万元，余下资金投入再生产，为实现经过5年资金达到2000万元(扣除消费资金后)，那么每年扣除消费基金x应是多少万元(精确到万元)？　　解：依题意，第一年年底扣除消费资金后，投入再生产资金为1000+1000×50%–x=1000× 　　　第二年投入再生产资金为　　　　 …… 　　　　第五年投入再生产资金为　　　　化简得：　　故x≈424(万元) 　　答：每年扣除消费资金为424元．　　说明：本题关键是寻求每年投入再生产资金的规律，构造数列模型来解题．

例6在某海滨城市附近海面有一台风，据监测，当前台风中心位于城市O(如图)的东偏南　　　　

　方向300km的海面P处，并以20km/h的速度向西偏北45°方向移动，台风侵袭的范围为圆形区域，当前半径为60km，并以10km/h的速度不断增大问几小时后该城市开始受到台风的侵袭？

解：如图建立坐标系：以O为原点，正东方向为x轴正向.

　　　　在时刻：t(h)台风中心的坐标为

　　　　此时台风侵袭的区域是，

　　　　其中t+60，

　　　　若在t时，该城市O受到台风的侵袭，则有

即

即，　解得.

答：12小时后该城市开始受到台风气侵袭

例7、有三个新兴城镇，分别位于A，B，C三点处，且AB=AC=a，BC=2b.今计划合建一个中心医院，为同时方便三镇，准备建在BC的垂直平分线上的P点处，(建立坐标系如图)

　　 (Ⅰ)若希望点P到三镇距离的平方和为最小，

　点P应位于何处？

　 (Ⅱ)若希望点P到三镇的最远距离为最小，

　　　　点P应位于何处？

本小题主要考查函数，不等式等基本知识，考查运用数学知识分析问题和解决问题的能力.　　 (Ⅰ)解：由题设可知，记设P的坐标为(0，)，则P至三镇距离的平方和为　所以，当时，函数取得最小值.　答:点P的坐标是

(Ⅱ)解法一：P至三镇的最远距离为

　　由解得记于是

　　　当即时，在[上是增函数，而上是减函数. 由此可知,当时,函数取得最小值. 当即时,函数在[上,当时,取得最小值,而上为减函数,且可见, 当时, 函数取得最小值. 答当时,点P的坐标为当时,点P的坐标为(0,0),其中

　解法二:P至三镇的最远距离为　由解得

　记于是

　当的图象如图，因此，当时，函数取得最小值.

　　当即的图象如图，因此，当时，函数取得最小值.

答：当时，点P的坐标为当，点P的坐标为(0，0)，其中

　　　解法三：因为在△ABC中，AB=AC=所以△ABC的外心M在射线AO上，其坐标为，

　　且AM=BM=CM. 当P在射线MA上，记P为P1；当P在射线MA的反向延长线上，记P为P2，

若(如图1)，则点M在线段AO上，

这时P到A、B、C三点的最远距离为

P1C和P2A，且P1C≥MC，P2A≥MA，所以点P与外心M

重合时，P到三镇的最远距离最小.

　　若(如图2),则点M在线段AO外,这时

P到A、B、C三点的最远距离为P1C或P2A，

　且P1C≥OC，P2A≥OC，所以点P与BC边中点O重合时，

P到三镇的最远距离最小为.

答：当时，点P的位置在△ABC的外心

；当时，点P的位置在原点O.

例8、某城市2001年末汽车保有量为30万辆，预计此后每年报废上一年末汽车保有量的，并且每年新增汽车数量相同。为保护城市环境，要求该城市汽车保有量不超过万量，那么每年新增汽车数量不应超过多少辆？

解：设2002年末汽车保有量为万辆，以后各年末汽车保有量依次为万辆，万辆……，每年新增汽车万辆，则

，

对于，有

………………

∴

当，即时，

当，即时，并且数列逐项增加，可以任意靠近

因此，如果要求汽车保有量不超过60万辆，即

则，即(万辆)

综上，每年新增汽车不应超过万辆。

例9、　　某服装厂生产一种服装，每件服装的成本为40元，出厂单价定为60元。该厂为鼓励销售商订购，决定当一次订购量超过100件时，每多订购一件，订购的全部服装的出厂单价就降低0.02元。根据市场调查，销售商一次订购量不会超过500件。

(I)设一次订购量为x件，服装的实际出厂单价为P元，写出函数的表达式；

(II)当销售商一次订购了450件服装时，该服装厂获得的利润是多少元？

(服装厂售出一件服装的利润＝实际出厂单价－成本)

本小题主要考查函数的基本知识，考查应用数学知识分析问题和解决问题的能力。

　解：(I)当时，

　　当时，

　　所以

　　 (II)设销售商的一次订购量为x件时，工厂获得的利润为L元，则

　　当时，

　　因此，当销售商一次订购了450件服装时，该厂获利的利润是5850元。

例10、本题共有2个小题，第一小题满分6分，第2小题满分8分.

某市2003年共有1万辆燃油型公交车。有关部门计划于2004年投入128辆电力型公交车，

随后电力型公交车每年的投入比上一年增加50%，试问：

(1)　　该市在2010年应该投入多少辆电力型公交车？

(2)　　到哪一年底，电力型公交车的数量开始超过该市公交车总量的？

解.(1)该市逐年投入的电力型公交车的数量组成等比数列，其中

则在2010年应该投入的电力型公交车为(辆)。

(2)记，依据题意，得。于是(辆)，即，

则有因此。所以，到2011年底，电力型公交车的数量开始超过该市公交车总量的。

(1)　　　已知函数在区间上的最大值为1，求实数a的值．

(1)解：f(x)在区间上最大值可能在端点外取得，也可能在顶点外取得，，，而顶点横坐标，最大值在顶点外取得，故此解舍去．　　当最大值为f(2)时，f(2)=1，，顶点在应在区间右端点取得最大值，此解合理．　　当最大值在顶点处取得时，由，解得，当，此时，顶点不在区间内，应舍去．　　综上，．

　　(2)函数的定义域是［a，b］，值域也是［a，b］，求a.b的值．2)解：y=f(x)的图象如图，分三种情况讨论．　　当a<b≤0时，f(x)为递增函数，有，　　解得，，由于b>0，应舍去．　　当0≤a<b时，f(x)为递减函数，　　有，解得：a=1，b=2．　　当a<0<b时，f(x)最大值在顶点处取得，故，，所以最小值应在a处取得．　　(2)解：y=f(x)的图象如图，分三种情况讨论．　　当a<b≤0时，f(x)为递增函数，有，　　解得，，由于b>0，应舍去．　　当0≤a<b时，f(x)为递减函数，　　有，解得：a=1，b=2．　　当a<0<b时，f(x)最大值在顶点处取得，故，，所以最小值应在a处取得．　　，解得：，　　综上，　或　　　(3)求函数的最小值．　　解(3)分析：由于对数的底已明确是2，所以只须求的最小值．　　(3)解法一：∵ ，∴x>2．　　设，则，　　由于该方程有实根，且实根大于2，　　∴ 解之，μ≥8．　　当μ=8时，x=4，故等号能成立．　　于是log₂≥0且x=4时，等号成立，因此的最小值是3．　　解法二：∵ ，∴x>2 　　　设，则 = 　　　∴μ≥8且，即x=4时，等号成立，　　∴log₂μ≥3且x=4时，等号成立．　　故的最小值是3．　　(4)已知a>0,a≠1，试求方程有解时k的取值范围． 4)解法一：原方程　　由②可得：　 ③，　　当k=0时，③无解，原方程无解；　　当k≠0时，③解为，代入①式，　　．

解法二：原方程，　　原方程有解，应方程组　　，　　即两曲线有交点，那么ak<-a或0<ak<a(a>0) 　　　 ∴k<-1或0<k<1．　　(5)设函数　　(Ⅰ)解不等式f(x)≤1 　　　 (Ⅱ)求a的取值范围，使f(x)在[0,+∞]上是单调函数．

5)解(Ⅰ)，不等式f(x≤1)，即　　由此得：1≤1+ax即ax≥0，其中常数a>0，　　∴原不等式即　　∴当0<a<1时，所给不等式解集为，　　当a≥1时，所给不等式解集为{x|x≥0}．　　(Ⅱ)在区间[0,+∞)上任取x₁,x₂，使得x₁<x₂，　　　　(ⅰ)当a≥1时，　　∵ 　　　　∴ 　　　　又　　∴ 　　　　所以，当a≥1时，函数f(x)在区间[0,+∞)上是单调递减函数．　　(ⅱ)当0<a<1时，在[0,+∞)上存在两点满足f(x₁)=1,f(x₂)=1 ，即f(x₁)=f(x₂)，∴函数f(x)在区间[0,+∞)上不是单调函数．

例1．已知F(x)=x^α-x^β在x∈(0,1)时函数值为正数，试比较α,β的大小．　　分析：一般情况下，F(x)可以看成两个幂函数的差．已知函数值为正数，即f₁(x)=x^α的图象在x∈(0,1)上位于f₂(x)=x^β的图象的上方，这时为了判断幂指数α,β的大小，就需要讨论α,β的值在(1，+∞)上，或是在(0，1)上，或是在(0，1)内的常数，于是F(x)成为两个同底数指数函数之差，由于指数函数y=a^t(0<α<1)是减函数，又因为x^α-x^β>0，所以得α<β．

例2．已知0<a<1，试比较的大小．　　分析：为比较a^α与(a^α) ^α的大小，将它们看成指数相同的两个幂，由于幂函数在区间[0,+∞]上是增函数，因此只须比较底数a与a^α的大小，由于指数函数y=a^x(0<a<1)为减函数，且1>a，所以a＜a^α，从而a^α<(a^α) ^α．　　比较a^α与(a^α) ^α的大小，也可以将它们看成底数相同(都是a^α)的两个幂，于是可以利用指数函数是减函数，由于1>a，得到a^α<(a^α) ^α．　　由于a＜a^α，函数y=a^x(0<a<1)是减函数，因此a^α>(a^α) ^α．　　综上，．　　解以上两个例题的关键都在于适当地选取某一个函数，函数选得恰当，解决问题简单．　　例3．关于x的方程有实根，且根大于3，求实数a的范围．　　分析：先将原方程化简为a^x=3，但要注意0<x<3且x≠1．现将a^x看成以a为底的指数函数，考虑底数a为何值时，函数值为3．如图(1)，过(3，3)点的指数函数的底，现要求0<x<3时，a^x=3，所以，又因为x≠1，在图(1)中，过(1，3)点的指数函数的底a=3，所以．　　若将a^x=3变形为，令，现研究指数函数a=3^t，由0<x<1且x≠1，得，如图(2)，很容易得到：．　　通过本例，说明有些问题可借助函数来解决，函数选择得当，解决就便利．

例4．函数f(x)是定义在实数集上的周期函数，且是偶函数，已知当x∈[2,3]时，f(x)=x,则当x∈[-2,0]时，f(x)的解析式是(　　 )．　　(A)f(x)=x+4　　　 (B)f(x)=2-x 　　　 (C)f(x)=3-|x+1|　　 (D)f(x)=3+|x+1| 　　　　解法一、∵f(-2)=f(2)=2　 f(-1)=f(3)=3，∴只有(A)、(C)可能正确．　　　又∵f(0)=f(2)=2，∴(A)错，(C)对，选(C)．

解法二、依题意，在区间［2，3］上，函数的图象是线段AB，　　∵函数周期是2，　　∴线段AB左移两个单位得［0，1］上的图象线段CD；再左移两个单位得［–2，1］上的图象线段EF ．　　∵函数是偶函数，　　∴把线段CD沿y轴翻折到左边，得［–1，0］上的图象线段FC．　　于是由直线的点斜式方程，得函数在［–2，0］上的解析式：　　　　　　　即　　　　由于x∈[-2,-1]时，x+1≤0，x∈(-1,0)时，x+1>0，　所以y=3-|x+1|, x∈[-2,0]．

解法三、当x∈[-2,-1]时，x+4∈[2,3]，　　∵函数周期是2，　　∴f(x+4)=f(x)．　　而f(x+4)=x+4，　　∴x∈[-2,-1]时，f(x)=x+4=3+(x+1)．　　当x∈[-1,0]时，-x∈[0,1]，　　且-x+2∈[2,3]．　　∵函数是偶函数，周期又是2，　　∴ ，　　于是在［–2，0］上，　　　．　　由于x∈[-2,-1]时，x+1≤0，x∈(-1,0)时，x+1>0，　　根据绝对值定义有x∈[-2,0]时，f(x)=3-|x+1|．　　本题应抓住“偶函数”“周期性”这两个概念的实质去解决问题．　　例5．已知y=log_a(2-ax)在［0，1］上是x的减函数，则a的取值范围是(　　 )．　　(A)(0，1)　 (B)(1，2)　 (C)(0，2)　 (D)［2，+∞］　　分析：设t=2-ax，则y=log_at，　　因此，已知函数是上面这两个函数的复合函数，其增减性要考查这两个函数的单调性，另外，还要考虑零和负数无对数以及参数a对底数和真数的制约作用．　　解法一、由于a≠1，所以(C)是错误的．　　又a=2时，真数为2–2x，于是x≠1，这和已知矛盾，所以(D)是错的．

当0<a<1时，t=2-ax是减函数，而y=log_at也是减函数，　　故y=log_a(2-ax)是x的增函数，所以(A)是错的．　　于是应选(B)．　　解法二、设t=2-ax，y=log_at 　　　由于a>0，所以t=2-ax是x的减函数，　　因此，只有当a>1，y=log_at是增函数时，y=log_a(2-ax)在［0，1］上才是减函数；　　又x=1时，y=log_a(2-a)，　　依题意，此时，函数有定义，故2–a>0 　　　综上可知：1<a<2，　　故应选(B)．　　例6．已知，函数y=g(x)的图象与函数y=f^-1(x+1)的图象关于y’=x对称，则g(5)=_____________- 　　　解法一、由去分母，得，解出x，得，　　故，于是，　　设，去分母得，，解出x，得，　　∴ 的反函数．　　∴ ．　　解法二、由，则，　　∴ ，∴ ．