解析几何的研究对象就是几何图形及其性质,所以在处理解析几何问题时,除了运用代数方程外,充分挖掘几何条件,并结合平面几何知识,这往往能减少计算量。

  例1. 已知直线,求它们所围成的三角形的外接圆方程。

   解:由直线的斜率分别为,得此两条直线互相垂直,即此三角形为直角三角形。

   由,可求得直角三角形的斜边所在的两个顶点分别为。所求三角形的外接圆,即为以A(2,2)和B(8,8)为直径端点的圆,其方程为

   评注:此题若不首先利用三角形是直角三角形这一中间结论,而先求三角形的三个顶点,再解三元一次方程组求圆的一般方程,将会大大增加计算量。

  例2. 已知点P(5,0)和圆O:,过P作直线与圆O交于A、B两点,求弦AB中点M的轨迹方程。

   解:点M是弦AB中点,点M是在以OP为直径的圆周上,此圆的圆心为,半径为,所以其方程为,即。同时,点M又在圆的内部,,即,所以所求的轨迹方程为

   评注:此题若不能挖掘利用几何条件,点M是在以OP为直径的圆周上,而利用参数方程等方法,计算量将很大,并且比较麻烦。

  例3. 求与轴相切,圆心在直线上,且被直线截得的弦长等于的圆的方程。

   解:因圆心在直线上,故可设圆心

   又圆与轴相切,

   此时可设圆方程为

   (运用已知条件,找出间联系,尽可能把未知量的个数减少,这对简化计算很有帮助。)

  又圆被直线截得的弦长为。考虑由圆半径、半弦、弦心距组成的直角三角形,只要将弦心距用表示出来,便可利用勾股定理求得

   弦心距

   ,解得

   时,,圆方程为

  

  当时,,圆方程为

  

   评注:此题若不充分利用圆的半径、半弦、弦心距组成的直角三角形,而用弦长公式,将会增大运算量。

  例4. 设直线与圆相交于P、Q两点,O为坐标原点,若,求的值。

   解: 过原点,并且

   是圆的直径,圆心的坐标为

   又在直线上,

   即为所求。

   评注:此题若不充分利用一系列几何条件:该圆过原点并且,PQ是圆的直径,圆心在直线上,而是设再由和韦达定理求,将会增大运算量。

  基本知识点:

   (1)求解直线与圆锥曲线的位置关系的基本方法是解方程组,进而转化为一元二次方程后利用判别式,应特别注意数形结合的办法。

   (2)注意韦达定理的应用。

   弦长公式:斜率为k的直线被圆锥曲线截得弦AB,若A、B两点的坐标分别是A(x1,y1),B(x2,y2)则

  

    

    

    

   (3)注意斜率不存在的情况的讨论和焦半径公式的使用。

   (4)有关中点弦问题

   <1>已知直线与圆锥曲线方程,求弦的中点及与中点有关的问题,常用韦达定理。

   <2>有关弦的中点轨迹,中点弦所在直线方程,中点坐标问题,有时采用“差分法”可简化运算。

   (5)有关圆锥曲线的对称问题

  

这两个关键条件,同时要记住一些特殊的对称关系,如关于坐标轴对称,关于点对称,关于直线y=±x+b对称。

   (6)圆锥曲线中的有关最值问题,常用代数法和几何法解决。

   <1>若命题的条件和结论具有明显的几何意义,一般可用图形性质来解决。

   <2>若命题的条件和结论体现明确的函数关系式,则可建立目标函数(通常利用二次函数,三角函数,均值不等式)求最值。

[例题选讲]

  例1. 已知抛物线y2=2px(p>0)。过动点M(a,0)且斜率为l的直线l与该抛物线交于不同的两点A、B

  

   (2)若线段AB的垂直平分线交AB于Q,交x轴于点N,试求三角形MNQ的面积。

   解:

  

  

  

  

  

  

   (2)设Q(x3,y3)由中点坐标公式得

  

  

  

   又三角形MNQ为等腰直角三角形

  

  例2. 线过C、D、E三点,且以A、B为焦点,求双曲线的离心率。(2000年,全国高考)

   解:以AB的垂直平分线为y轴,直线AB为x轴,建立直角坐标系xOy,则CD⊥y轴,因为双曲线经过点C、D,且以A、B为焦点,由双曲线的对称性知C、D关于y轴对称。

 

h是梯形的高。

   由定比分点坐标公式,得点E的坐标为

  

  

  

  

   由点C、E在双曲线上,得

  

  

  

  

   小结:此题涉及解析几何的最根本问题:如何建立坐标系,这也是对学生基本能力的考查,坐标系是一种工具,如果用得好,可以给解题带来方便,但考试时我们不可能对各种情况进行讨论,一般而言,可从对称的角度去考虑。

  例3.

   (1)求证:直线与抛物线总有两个不同交点

   (2)设直线与抛物线的交点为A、B,且OA⊥OB,求p关于t的函数f(t)的表达式。

   值范围。(1997年·上海高考)

   (1)证明:抛物线的准线为

  

   由直线x+y=t与x轴的交点(t,0)在准线右边,得

  

  

  

  

   

   故直线与抛物线总有两个交点。

   (2)解:设点A(x1,y1),点B(x2,y2)

  

  

  

  

  

  

  

  

   (3)解:

  

  

  

  

  

  

  

  

  

  

  例4.

   (1)求椭圆方程;

   (2)是否存在直线l,使l与椭圆交于不同的两点M、N,且线段MN恰被直线平分,若存在,求出l的倾斜角的范围;若不存在,请说明理由。

   (1)解:

  

  

  

  

  

  

  

  

  

  

  

  

  

  

  

  

   把(2)代入(1)式中得:

  

  

  

  例5. 点,若以M(2,1)为焦点,椭圆E的右准线为相应准线的双曲线C和直线AB交于点N(4,-1),且椭圆的离心率e与双曲线离心率e1之间满足ee1=1,

   (1)求椭圆E的离心率e;

   (2)求双曲线C的方程。

   解:(1)因为点M(2,1),点N(4,-1)

  

  

  

  

  

  

  

  

  

   (2)因为ee1=1

  

  

  

  

   设双曲线C上一点P(x,y)

  

   化简得双曲线C的方程:

  

  例6. 已知抛物线y2=x上有一条长为l的动弦AB,求AB的中点M到y轴的最短距离。

   解:设中点M的坐标为(x,y),利用对称性可设A(x+u,y+v),B(x-u,y-v),依题意有

  

  

  

  

 

   将(4)(5)代入(3)得:

   

  

   此即M点的方程

  

  

  

   

   

  

  

  

  

  

  

  

  

  

  

 0  50886  50894  50900  50904  50910  50912  50916  50922  50924  50930  50936  50940  50942  50946  50952  50954  50960  50964  50966  50970  50972  50976  50978  50980  50981  50982  50984  50985  50986  50988  50990  50994  50996  51000  51002  51006  51012  51014  51020  51024  51026  51030  51036  51042  51044  51050  51054  51056  51062  51066  51072  51080  447348 

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