5.含有绝对值的不等式

(1)作用与地位

绝对值不等式适用于范围较广，求向量、复数的模、距离、极限的定义等都涉及与绝对值不等式的关系。

高考试题中，对绝对值不等式从多方面考查。

(2)两基本定理

定理1：||a|-|b||≤|a+b|≤|a|+|b|　 a、b∈R

定理2：||a|-|b||≤|a-b|≤|a|+|b|　 a、b∈R

应理解其含义，掌握证明思路以及“=”号成立的条件。

(3)解绝对值不等式的常用方法

①讨论法：讨论绝对值中的式子大于零还是小于零，然后去掉绝对值符号，转化为一般不等式。

②等价变形：解绝对值不等式常用以下等价变形

|x|<ax²<a²-a<x<a(a>0)

|x|>ax²>a²x>a或x<-a(a>0)

一般地有：

|f(x)|<g(x)-g(x)<f(x)<g(x)

|f(x)|>g(x)f(x)>g (x)或f(x)<g(x)

4.不等式的解法

(1)作用与地位

解不等式是求定义域、值域、参数的取值范围时的重要手段，与等式变形并列的“不等式的变形”，是研究数学的基本手段之一。

高考试题中，对解不等式有较高的要求，近两年不等式知识占相当大的比例。

(2)一元一次不等式(组)及一元二次不等式(组)

解一元一次不等式(组)及一元二次不等式(组)是解其他各类不等式的基础。必须熟练掌握，灵活应用。

(3)高次不等式

解高次不等式常用“数轴标根法”。一般地，设多项式。

F(x)=a(x-a₁)(x-a₂)…(x-a_n)

它的n个实根的大小顺序为a₁<a₂<…<a_n，把数轴分成n+1个区间：

(-∞,a₁)，(a₁,a₂)，…，(a_n-1,a_n),(a_n,+∞)

自右至左给这些区间编上顺序号，则当a>0时有：

①在奇数区间内，F(x)>0。

②在偶数区间内，F(x)<0

(4)分式不等式

分式不等式的等价变形。

>0f(x)·g(x)>0

≥0

(5)无理不等式

两类常见的无理不等式等价变形。

≥g(x) 或

<g(x)

(6)指数不等式与对数不等式

①当0<a<1时

a^(fx)>a^g(x)f(x)<g(x)

②当a>1时

a^(fx)>a^g(x)f(x)>g(x)

log_af(x)>log_ag(x)f(x)>g(x)>0

(7)含参数不等式

对于解含参数的不等式，要充分利用不等式性质。对参数的讨论，要不“重复”不“遗漏”。

3.不等式的证明

(1)作用地位

证明不等式是数学的重要课题，也是分析、解决其他数学问题的基础，特别是在微积分中，以不等式为基础建立极限论是它的理论基础。

高考中，主要涉及“a,b>0时，a+b≥2”这类不等式，以及运用不等式性质所能完成的简单的不等式的证明。用数学归纳法证明与自然数有关命题的不等式难度较大。

(2)基本不等式

定理1：如果a,b∈{x|x是正实数集}，那么≥(当且仅当a=b时取“=”号)

定理2：如果a,b,c∈{x|x是正实数集}，那么≥(当且仅当a=b=c时取“=”号)

定理3：如果a、b∈{x|x是正实数集}，那么

≤≤≤

(当且仅当a=b时取“=”号)

推论4：如果a,b,c∈{x|x是正实数集}，那么

≤≤≤

(当且仅当a=b=c时取“=”号)

由上述公式还可衍生出一些公式

①4ab≤(a+b)²≤2(a²+b²),a、b∈R(当且仅当a=b时等号成立)

②a²+b²+c²≥ab+bc+ca,a,b,c∈R(当且仅当a=b=c时等号成立)

③a²+b²+c²≥(a+b+c)²≥ab+bc+ca,a,b,c∈R(当且仅当a=b=c时等号成立)

④|+|≥2(当且仅当|a|=|b|时取“=”号)

⑤a>0,b>0,a+b=1，则ab≤等。

(4)不等式证明的三种基本方法

①比较法：作差比较。根据a-b>0a>b，欲证a>b只需证a-b>0；作商比较。当b>0时，a>b>1。比较法是证明不等式的基本方法，也是最重要的方法，有时根据题设可转化为等价问题的比较(如幂、方根等)。

②分析法：从求证的不等式出发寻找使该不等式成立的充分条件，对于思路不明显，感到无从下手的问题宜用分析法探究证明途径。

③综合法：从已知的不等式及题设条件出发，运用不等式性质及适当变形(恒等变形或不等变形)推导出要求证明的不等式。

2.不等式性质

(1)作用地位

不等式性质是不等式理论的基本内容，在证明不等式、解不等式中都有广泛的应用。高考中，有时直接考查不等式的性质，有时间接考查性质(如在证明不等式、解不等式中就间接考查了掌握不等式性质的程度。)准确地认识、运用基本性质，并能举出适当反例，辨别真假命题的能力是学好不等式的要点。

(2)基本性质

实数大小比较的原理与实数乘法的符号法则是不等式性质的依据。在不等式性质中，最基本的是：

①a>bb<a(对称性)

②a>b,b>ca>c(传递性)

③a>ba+c>b+c(数加)

④

(a>b,c=0a·c=b·c)

与等式相比，主要区别在数乘这一性质上，对于等式a=bac=bc，不论c是正数、负数还是零，都是成立，而对于不等式a>b，两边同乘以c之后，ac与bc的大小关系就需对c加以讨论确定。这关系虽然记得很清楚，但在解题时最容易犯的毛病就是错用这一性质，尤其是参数的讨论。

(3)基本性质的推论

由基本性质可得出如下推论：

推论1：a>b>0,c>d>0ac>bd

推论2：a>b>0,c>d>0

推论3：a>b>0aⁿ>bⁿ(n∈N)

推论4：a>b>0(n∈N)

对于上述推论可记住两点，一是以上推论中a,b,c,d均为正数，即在{x|x是正实数集}中对不等式实施运算；二是直接由实数比较大小的原理出发。

1.不等式知识相互关系表

3.会用不等式||a|-|b||≤|a+b|≤|a|+|b|。

2.在熟练掌握一元一次不等式(组)、一元二次不等式的解法的基础上初步掌握其他的一些简单的不等式的解法。

1.掌握不等式的性质及其证明，掌握证明不等式的几种常用方法，掌握两个和三个(不要求四个和四个以上)正数的算术平均数不小于它们的几何平均数这两个定理，并能运用上述性质、定理和方法解决一些问题。

不等式，不等式的性质，不等式的证明、不等式的解法、含有绝对值的不等式。

19．已知不等式的解集为A，不等式的解集为B，且，求实数的取值范围。