22.(本小题满分12分)(2005年高考·全国卷Ⅰ·理18文18)

    已知四棱锥P-ABCD的底面为直角梯形,AB//DC,∠DAB=90°,PA⊥底面 ABCD,且PA=AD=DE=AB=1,M是PB的中点.

  (1)证明:面PAD⊥面PCD;

  (2)求AC与PB所成的角;

  (3)求面AMC与面BMC所成二面角的大小.

本小题主要考查直线与平面垂直、直线与平面所成角的有关知识及思维能力和空间想象能力.考查应用向量知识解决数学问题的能力.满分12分.

方案一:

(Ⅰ)证明:∵PA⊥面ABCD,CD⊥AD,

∴由三垂线定理得:CD⊥PD.

因而,CD与面PAD内两条相交直线AD,PD都垂直,

∴CD⊥面PAD.

又CD面PCD,∴面PAD⊥面PCD.

(Ⅱ)解:过点B作BE//CA,且BE=CA,

则∠PBE是AC与PB所成的角.

连结AE,可知AC=CB=BE=AE=,又AB=2,

所以四边形ACBE为正方形.  由PA⊥面ABCD得∠PEB=90°

在Rt△PEB中BE=,PB=,  

(Ⅲ)解:作AN⊥CM,垂足为N,连结BN.

在Rt△PAB中,AM=MB,又AC=CB,

∴△AMC≌△BMC,

∴BN⊥CM,故∠ANB为所求二面角的平面角.

∵CB⊥AC,由三垂线定理,得CB⊥PC,

在Rt△PCB中,CM=MB,所以CM=AM.

在等腰三角形AMC中,AN·MC=

.   ∴AB=2,

故所求的二面角为

方法二:因为PA⊥PD,PA⊥AB,AD⊥AB,以A为坐标原点AD长为单位长度,如图建立空间直角坐标系,则各点坐标为

A(0,0,0)B(0,2,0),C(1,1,0),D(1,0,0),P(0,0,1),M(0,1,.

(Ⅰ)证明:因

由题设知AD⊥DC,且AP与AD是平面PAD内的两条相交直线,由此得DC⊥面PAD.

又DC在面PCD上,故面PAD⊥面PCD.

(Ⅱ)解:因

(Ⅲ)解:在MC上取一点N(xyz),则存在使

要使

为所求二面角的平面角.

 0  49778  49786  49792  49796  49802  49804  49808  49814  49816  49822  49828  49832  49834  49838  49844  49846  49852  49856  49858  49862  49864  49868  49870  49872  49873  49874  49876  49877  49878  49880  49882  49886  49888  49892  49894  49898  49904  49906  49912  49916  49918  49922  49928  49934  49936  49942  49946  49948  49954  49958  49964  49972  447348 

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