8.(本小题满分12分)(2005年高考·福建卷·理20文21)

如图,直二面角D-AB-E中,四边形ABCD是边长为2的正方形,AE=EB,F为CE上的点,且BF⊥平面ACE.

(Ⅰ)求证AE⊥平面BCE;

(Ⅱ)求二面角B-AC-E的大小;

(Ⅲ)求点D到平面ACE的距离.

本小题主要考查直线、直线与平面、二面角及点到平面的距离等基础知识,考查空间想

象能力,逻辑思维能力与运算能力. 满分12分.

解法一:(Ⅰ)平面ACE.   

∵二面角D-AB-E为直二面角,且平面ABE.

 

(Ⅱ)连结BD交AC于C,连结FG,

∵正方形ABCD边长为2,∴BG⊥AC,BG=

平面ACE,

由三垂线定理的逆定理得FG⊥AC.

是二面角B-AC-E的平面角.

由(Ⅰ)AE⊥平面BCE, 又

∴在等腰直角三角形AEB中,BE=.

直角

∴二面角B-AC-E等于

(Ⅲ)过点E作交AB于点O. OE=1.

∵二面角D-AB-E为直二面角,∴EO⊥平面ABCD.

设D到平面ACE的距离为h,

平面BCE, 

∴点D到平面ACE的距离为

解法二:(Ⅰ)同解法一.

(Ⅱ)以线段AB的中点为原点O,OE所在直

线为x轴,AB所在直线为y轴,过O点平行

于AD的直线为z轴,建立空间直角坐标系

O-xyz,如图.

面BCE,BE面BCE,

的中点,

 设平面AEC的一个法向量为

    解得

    令是平面AEC的一个法向量.

    又平面BAC的一个法向量为

   

    ∴二面角B-AC-E的大小为

(III)∵AD//z轴,AD=2,∴

∴点D到平面ACE的距离

4.(本小题共14分)(2005年高考·北京卷·理16)

  如图,在直四棱柱ABCD-A1B1C1D1中,AB=AD=2,DC=

AC⊥BD,垂足为E.

  (Ⅰ)求证BD⊥A1C;

  (Ⅱ)求二面角A1-BD-C­1的大小;

(Ⅲ)求异面直线AD与BC1所成角的大小.

解法一:

  (Ⅰ)在直四棱柱ABCD-A1B1C1D1中,

∵A1A⊥底面ABCD,

∴AC是A1C在平面ABCD上的射影,

∵BD⊥AC, ∴BD⊥A1C.

  (Ⅱ)连结A1E,C1E,A1C1.

与(Ⅰ)同理可证BD⊥A1E,BD⊥C1E,

∴∠A1EC1二面角A1-BD-C1的平面角.

∵AD⊥DC, ∴∠A1D1C1=∠ADC=90°,

又A1D1=AD=2,D1C1=DC=2, AA1=,且AC⊥BD,

∴A1C1=4,AE=1,EC=3,  ∴A1E=2,C1E=2

在△A1EC1中,A1C12=A1E2+C1E2,  ∴∠A1EC1=90°,

即二面角A1-BD-C1的大小为90°.

  (Ⅲ)过B作BF//AD交AC于F,连结FC1

   则∠C1BF就是AD与BC1所成的角.

∵AB=AD=2,BD⊥AC,AE=1,  ∴BF=2,EF=1,FC=2,BC=DC,

∴FC1=.  在△BFC1中,

即异面直线AD与BC1所成角的大小为.

解法二:

(Ⅰ)同解法一.

(Ⅱ)如图,以D为坐标原点,DA,DC,DD1所在直线分别为x轴,y轴,z轴,建立空间直角坐标系.

连结A1E,C1F,A1C1.

与(Ⅰ)同理可证,BD⊥A1E,BD⊥C1E,

∴∠A1EC1为二面角A1-BD-C1的平面角.

(Ⅲ)如图,由D(0,0,0),A(2,0,0),C1(0,,),B(3,,0)

∴异面直线AD与BC1所成角的大小为arccos.

解法三:

(I)同解法一.

(II)如图,建立空间直角坐标系,坐标原点为E.

   连结A1E,C1E,A1C1.

   与(I)同理可证,BD⊥A1E,BD⊥C1E,

   ∴∠A1EC1为二面角A1-BD-C1的平面角.

   由E(0,0,0),A1(0,-1,

   

.

   (Ⅲ)如图,由A(0,-1,0),D(,0,0),B(,0,0),C1(0,3,).

.

∴异面直线AD与BC1所成角的大小为arccos.

 0  49776  49784  49790  49794  49800  49802  49806  49812  49814  49820  49826  49830  49832  49836  49842  49844  49850  49854  49856  49860  49862  49866  49868  49870  49871  49872  49874  49875  49876  49878  49880  49884  49886  49890  49892  49896  49902  49904  49910  49914  49916  49920  49926  49932  49934  49940  49944  49946  49952  49956  49962  49970  447348 

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