12．(江西南昌一模)在平面直角坐标系中，正方形ABCD纸片如图放置，A(0，2)，D(-1,0)，抛物线经过点C．

(1)求点B、C的坐标；

(2)求抛物线的解析式；

(3)以直线AD为对称轴，将正方形ABCD纸片折叠，得到正方形ADEF，求出点E和点F坐标，并判断点E和点F是否在抛物线上，并说明理由．

答案：提示：(1)过B作轴于T，过C作轴于P,可证得.

则

∴

∴B(-2,3).同理,

(2)抛物线经过点C(-3,1)，则得到

，解得，

所以抛物线解析式为；

作轴于Q,作轴于P.

通过,得

∴∴E(2,1).同理F(1,-1).

当时, ∴F(1,-1)在抛物线上.

当时, ∴E(2,1)在抛物线上.

11．(济宁师专附中一模)

已知抛物线 经过(-1，0)，(0，-3)，(2，-3)三点．

⑴求这条抛物线的表达式；

⑵用配方法求这条抛物线的对称轴和顶点坐标．

答案：解：由已知，得解得a=1，b=-2，c=-3．

所以y=x2-2x-3．

(2)对称轴x=1，顶点(1，-4) 配方略．

10.(2010广东省中考拟)如图10，在平面直角坐标系中，二次函数的图象的顶点为D点，与y轴交于C点，与x轴交于A、B两点， A点在原点的左侧，B点的坐标为(3，0)，OB＝OC ，tan∠ACO＝．　　　

(1)求这个二次函数的表达式．

(2)经过C、D两点的直线，与x轴交于点E，在该抛物线上是否存在这样的点F，使以点A、C、E、F为顶点的四边形为平行四边形？若存在，请求出点F的坐标；若不存在，请说明理由．

(3)若平行于x轴的直线与该抛物线交于M、N两点，且以MN为直径的圆与x轴相切，求该圆半径的长度．

(4)如图11，若点G(2，y)是该抛物线上一点，点P是直线AG下方的抛物线上一动点，当点P运动到什么位置时，△APG的面积最大？求出此时P点的坐标和△APG的最大面积.

答案：(1)方法一：由已知得：C(0，－3)，A(－1，0)　　

将A、B、C三点的坐标代入得　　　　　　

解得：　　　　　　　　　　　　　　　　　　

所以这个二次函数的表达式为：　　　　　

方法二：由已知得：C(0，－3)，A(－1，0)　　　　　

设该表达式为：　　　　　　　　　　　

将C点的坐标代入得：　　　　　 　　　　　　　　　

所以这个二次函数的表达式为：　　　　　

(注：表达式的最终结果用三种形式中的任一种都不扣分)

(2)方法一：存在，F点的坐标为(2，－3) 　　　　　　

理由：易得D(1，－4)，所以直线CD的解析式为：

∴E点的坐标为(－3，0)　　　　　　　　　　　　　　　

由A、C、E、F四点的坐标得：AE＝CF＝2，AE∥CF

∴以A、C、E、F为顶点的四边形为平行四边形

∴存在点F，坐标为(2，－3) 　　　　　　　　　　　

方法二：易得D(1，－4)，所以直线CD的解析式为：

∴E点的坐标为(－3，0)　　　　　　　　　　　　　　

∵以A、C、E、F为顶点的四边形为平行四边形

∴F点的坐标为(2，－3)或(―2，―3)或(－4，3)　

代入抛物线的表达式检验，只有(2，－3)符合

∴存在点F，坐标为(2，－3)　 　　　　　　　　　　　　

(3)如图，①当直线MN在x轴上方时，设圆的半径为R(R>0)，则N(R+1，R)，

代入抛物线的表达式，解得

②当直线MN在x轴下方时，设圆的半径为r(r>0)，

则N(r+1，－r)，

代入抛物线的表达式，解得　

∴圆的半径为或．　

(4)过点P作y轴的平行线与AG交于点Q，

易得G(2，－3)，直线AG为．

设P(x，)，则Q(x，－x－1)，PQ．

当时，△APG的面积最大

此时P点的坐标为，．　

9.(2010 河南模拟)如图，曲线C是函数在第一现象内的图像，抛物线是函数的图像，点(n=1,2…)在曲线上，且x,y都是整数。

(1)求出所有的点；

(2)在Pn中任取两点作直线，求所有不同直线的条数；

(3)从(2)中所有的直线中任取一直线，求所有直线与抛物线有公共的的概率。

答案：(1)∵x,y都是整数且，

　　　 ∴x=1，2，3，6，

∴P1(1，6)，(2，3)，(3，2)，(6，1)；

(2)以P1 ,P2，，P3，P4中任取两点的直线有共六条；

(3)∵只有直线与抛物线有公共点，

　　 ∴P=。

8．(2010年厦门湖里模拟)一次函数y＝x－3的图象与x轴，y轴分别交于点A，B．一个二次函数y＝x2+bx+c的图象经过点A，B．

(1)求点A，B的坐标，并画出一次函数y＝x－3的图象；

(2)求二次函数的解析式及它的最小值．

答案：解：(1)令，得，点的坐标是

令，得，点的坐标是

图象如右所示。

(2)二次函数的图象经过点，

，解得：．　　　　

二次函数的解析式是，

　，

函数的最小值为．

14.(2010福建模拟)如图，在平面直角坐标系中，直线与轴交于点A，与y轴交于点C. 抛物线经过A、C两点，且与x轴交于另一点B(点B在点A右侧).

(1)求抛物线的解析式及点B坐标；

(2)若点M是线段BC上一动点，过点M的直线EF平行y轴交轴于点F，交抛物线于点E.求ME长的最大值；

(3)试探究当ME取最大值时，在抛物线x轴下方是否存在点P，使以M、F、B、P为顶点的四边形是平行四边形？若存在，请求出点P的坐标；若不存在，试说明理由.

解：(1) 当y＝0时， 　　∴A(－1, 0)

当x＝0时， 　　　∴　 C(0,－3)　　　　

∴　　　　　　　 ∴

抛物线的解析式是：　　　　　 　　　　　　　　

　 当y＝0时， 解得： x1＝－1　 x2＝3 　∴ B(3, 0) 　

(2)由(1)知 B(3, 0) ， C(0,－3)　 直线BC的解析式是：　

　　 设M(x,x-3)(0≤x≤3),则E(x,x2-2x-3)

　　 ∴ME=(x-3)-( x2-2x-3)=- x2+3x =　　　　　

　　　 ∴当 时，ME的最大值＝ 　　　　　　　　　　

(3)答：不存在.　　　　　　　　　　　　　　　　　　　

由(2)知 ME 取最大值时ME＝ 　，E，M

　∴MF＝，BF=OB-OF=.　

设在抛物线x轴下方存在点P，使以P、M、F、B为顶点的四边形是平行四边形，

则BP∥MF，BF∥PM. ∴P1 或 P2 　　　　　

当P1 时，由(1)知　　　　　　　　　　　　

∴P1不在抛物线上.　　　　　　　　　　　　　　　　　　　

当P2 时，由(1)知　　　　　　　　　　　　

∴P1不在抛物线上.　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　

综上所述：抛物线x轴下方不存在点P，使以P、M、F、B为顶点的四边形是平行四边形.

13.(2010天水模拟)如图，二次函数y=ax2+bx+c的图象开口向上，图象经过点(-1，2)和(1，0)，且与y轴相交于负半轴。

第(1)问：给出四个结论：①a>0；②b>0；③c>0；④a+b+c=0；.其中正确结论的序号(答对得3分，少选、错选均不得分)

第(2)问：给出四个结论：①abc<0②2a+b>0③a+c=1④a>1.其中正确结论的序号(答对得5分，少选、错选均不得分)

答案：a>0;　 b<0;　 C<0　 abc>0;

2a+b>0　 2a>-b　 1>

　 ①+②得　 2a+2c=2　 a+c=1　 a=1-c

12.(2010天水模拟)已知:抛物线y=-x2+4x-3与x轴相交于A、B，两点(A点在B点的左侧)，顶点为这。

(1)求A、B、P三点坐标；

(2)在下面的直角坐标系内画出此抛物线的简图，并根据简图写出当x取何值时，函数值y大于零；

(3)确定此抛物线与直线y=-2x+6公共点的个数，并说明理由。

解：(1)-x2+4x-3=0　　 x2-4x+3=0　　 (x-1)(x-3)=0　　 x1=1,x2=3

H===2　 k==

∴A(1,0) B(3,0)　　 P(2,1)

(2)略

(3)

将①代入②中　 -x2+4x-3=-2x+6

-x2+6x-9=0

△=36-4×(-1)×(-9)

=36-36=0

∴只有一个

11．(2010年铁岭市加速度辅导学校)已知：抛物线经过点．

(1)求的值；

(2)若，求这条抛物线的顶点坐标；

(3)若，过点作直线轴，交轴于点，交抛物线于另一点，且，求这条抛物线所对应的二次函数关系式．(提示：请画示意图思考)

解：(1)依题意得：，

．

(2)当时，，

抛物线的顶点坐标是．

(3)当时，抛物线对称轴，

对称轴在点的左侧．

因为抛物线是轴对称图形，且．

．

．

又，．

抛物线所对应的二次函数关系式．

解法2：(3)当时，，

对称轴在点的左侧．因为抛物线是轴对称图形，

，且

．

又，解得：

这条抛物线对应的二次函数关系式是．

解法3：(3)，，

分

轴，

即：．

解得：，即

由，．

这条抛物线对应的二次函数关系式

10．(2010年江苏省泰州市济川实验初中中考模拟题) 某企业信息部进行市场调研发现：

信息一：如果单独投资A种产品，所获利润yA(万元)与投资金额x(万元)之间存在某种关系的部分对应值如下表：

信息二：如果单独投资B种产品，则所获利润yB(万元)与投资金额x(万元)之间存在二次函数关系：yB＝ax2+bx，且投资2万元时获利润2.4万元，当投资4万元时，可获利润3.2万元．

(1)求出yB与x的函数关系式．

(2)从所学过的一次函数、二次函数、反比例函数中确定哪种函数能表示yA与x之间的关系，并求出yA与x的函数关系式．

(3)如果企业同时对A、B两种产品共投资15万元，请设计一个能获得最大利润的投资方案，并求出按此方案能获得的最大利润是多少？

答案：(1)yB=－0.2x2+1.6x,

　 (2)一次函数,yA=0.4x,

　 (3)设投资B产品x万元，投资A产品(15－x)万元，投资两种产品共获利W万元， 则W=(－0.2x2+1.6x)+0.4(15－x)=－0.2x2+1.2x+6=－0.2(x－3)2+7.8,　

∴当x=3时,W最大值=7.8,

答:该企业投资A产品12万元,投资B产品3万元,可获得最大利润5.8万元.