8．某乡的粮食总产量为a(a 为常数)吨，设这个乡平均每人占有粮食为y(吨)，人口数为x，则y 与x 之间的函数关系为……………………………………………(　　 )

(A)　　 (B)　　 (C)　　　 (D)

[提示]粮食总产量一定，则人均占有粮食与人口数成反比，即y＝．又因为人口数不为负数，故图象只能是第一象限内的一个分支．

[答案]D．

[点评]本题考查反比例函数图象在实际问题中的应用．(A)错在画出了x＜0时的图象，而本题中x 不可能小于0．

7．已知函数y＝x²－1840 x+1997与x 轴的交点是(m，0)(n，0)，则(m²－1841 m+1997)(n²－1841 n+1997)的值是……………………………………………(　　 )

(A)1997　　 (B)1840　　 (C)1984　　 (D)1897

[提示]抛物线与x 轴交于(m，0)(n，0)，则m，n 是一元二次方程x²－1840 x+1997＝0的两个根．所以m²－1840 m+1997＝0，n²－1840 n+1997＝0，mn＝1997．

原式＝［(m²－1840 m+1997)－m］［(n²－1840 n+1997)－n］＝mn＝1997．

[答案]A．

[点评]本题揭示了二次函数与一元二次方程间的联系，应用了方程的根的定义、根与系数的关系等知识点，并要灵活地把所求代数式进行适当的变形．

6．直线y＝ax+c 与抛物线y＝ax²+bx+c 在同一坐标系内大致的图象是……(　　 )

(A)　　　 (B)　　　 (C)　　　 (D)

[提示]两个解析式的常数项都为c，表明图象交于y 轴上的同一点，排除(A)，(B)．再从a 的大小去判断．

[答案]D．

[点评]本题综合运用了一次函数、二次函数的性质．(B)错误的原因是由抛物线开口向上，知a＞0，此时直线必过第一、三象限．

5．若点A(1，y₁)，B(2，y₂)，C(p，y₃)在反比例函数y＝－的图象上，则(　　 )

(A)y₁＝y₂＝y₃　 　(B)y₁＜y₂＜y₃　　 (C)y₁＞y₂＞y₃　　 (D)y₁＞y₃＞y₂

[提示]因－(k²+1)＜0，且－(k²+1)＝y₁＝2 y₂＝p y₃，故y₁＜y₂＜y₃．或用图象法求解，因－(k²+1)＜0，且x 都大于0，取第四象限的一个分支，找到在y 轴负半轴上y₁，y₂，y₃ 的相应位置即可判定．

[答案]B．

[点评]本题是反比例函数图象的性质的应用，图象法是最常用的方法．在分析时应注意本题中的－(k²+1)＜0．

4．如图，已知A，B 是反比例函数y＝的图象上两点，设矩形APOQ 与矩形MONB 的面积为S₁，S₂，则………………………………………………………………(　　 )

(A)S₁＝S₂　 (B)S₁＞S₂　 (C)S₁＜S₂　 (D)上述(A)、(B)、(C)都可能

[提示]因为S_APOQ＝|k|＝2，S_MONB＝2，故S₁＝S₂．

[答案]A．

[点评]本题可以推广为：从双曲线上任意一点向两坐标轴引垂线，由这点及两个垂足和原点构成的矩形的面积都等于|k|．

3．若一元二次方程x²－2 x－m＝0无实数根，则一次函数y＝(m+1)x+m－1的图象不经过…………………………………………………………………………………(　　 )

(A)第一象限　 (B)第二象限　 (C)第三象限　 (D)第四象限

[提示]由D ＝4+4 m＜0，得m+1＜0，则m－1＜0，直线过第二、三、四象限．

[答案]A．

[点评]本题综合运用了一元二次方程根的判别式及一次函数图象的性质．注意，题中问的是一次函数图象不经过的象限．

2．二次函数y＝ax²+bx+c 的图象如图，则下列各式中成立的个数是…………(　　 )

(1)abc＜0；　 (2)a+b+c＜0；　 (3)a+c＞b；　 (4)a＜－．

(A)1　　　　　 (B)2　　　　　 (C)3　　　　　 (D)4

[提示]由图象知a＜0，－＞0，故b＞0，而c＞0，则abc＜0．当x＝1时，y＞0，即a+c－b＞0；当x＝－1时，y＜0，即a+c－b＜0．

[答案]B．

[点评]本题要综合运用抛物线性质与解析式系数间的关系．因a＜0，把(4)a＜－两边同除以a，得1＞－，即－＜1，所以(4)是正确的；也可以根据对称轴在x＝1的左侧，判断出－＜1，两边同时乘a，得a＜－，知(4)是正确的．

1．直线y＝3 x－1与y＝x－k 的交点在第四象限，则k 的范围是………………(　　 )

(A)k＜　　 (B)＜k＜1　　 (C)k＞1　　 (D)k＞1或k＜1

[提示]由，解得因点在第四象限，故＞0，＜0．

∴　 ＜k＜1．

[答案]B．

[点评]本题应用了两函数图象交点坐标的求法，结合了不等式组的解法、象限内点的坐标符号特征等．

9、(2006临安)如图，△OAB是边长为的等边三角形，其中O是坐标原点，顶点B在轴正方向上，将△OAB 折叠，使点A落在边OB上，记为A′，折痕为EF.

(1)当A′E//轴时，求点A′和E的坐标；

(2)当A′E//轴，且抛物线经过点A′和E时，求抛物线与轴的交点的坐标；

(3)　　　 当点A′在OB上运动，但不与点O、B重合时，能否使△A′EF成为直角三角形？若能，请求出此时点A′的坐标；若不能，请你说明理由.

[解析](1)由已知可得∠A^，OE=60^o　 , A^，E=AE

由A′E//轴,得△OA^，E是直角三角形，

设A^，的坐标为(0，b)

AE=A^，E=,OE=2b

所以b=1，A^，、E的坐标分别是(0，1)与(，1)

(2)　　　　　　　　　 因为A^，、E在抛物线上，所以

所以，函数关系式为

由得

与x轴的两个交点坐标分别是(，0)与(，0)

(3)　　　　　　　　　 不可能使△A′EF成为直角三角形。

∵∠FA^，E=∠FAE=60^o,若△A′EF成为直角三角形,只能是∠A^，EF=90^o或∠A^，FE=90^o

若∠A^，EF=90^o,利用对称性,则∠AEF=90^o, A^，、E、A三点共线，O与A重合，与已知矛盾；

同理若∠A^，FE=90^o也不可能

所以不能使△A′EF成为直角三角形。

8、(2006吉林长春)如图，在平面直角坐标系中，两个函数的图象交于点A。动点P从点O开始沿OA方向以每秒1个单位的速度运动，作PQ∥x轴交直线BC于点Q，以PQ为一边向下作正方形PQMN，设它与△OAB重叠部分的面积为S。

(1)求点A的坐标。

(2)试求出点P在线段OA上运动时，S与运动时间t(秒)的关系式。

(3)在(2)的条件下，S是否有最大值？若有，求出t为何值时，S有最大值，并求出最大值；若没有，请说明理由。

(4)若点P经过点A后继续按原方向、原速度运动，当正方形PQMN与△OAB重叠部分面积最大时，运动时间t满足的条件是____________。

[解析]

(1)由　　　 可得

　　　　 ∴A(4，4)。　　　　　　

(2)点P在y = x上，OP = t，

则点P坐标为

点Q的纵坐标为，并且点Q在上。

∴，

即点Q坐标为。

。　　　

当时，。

当，

当点P到达A点时，，

当时，

　 。

(3)有最大值，最大值应在中，

当时，S的最大值为12。　　　 　

(4)。