2. (石中)设平面向量=(2,-1),
=(2,4),若存在实数m和
,使向量
=
+(2sin
-3)
,
=-m
+
sin
且
⊥
.
(1)求函数m=f()的关系式.
(2)求m的最大值和最小值
解:(1)∵=(2,-1),
=(2,4),
﹒
=2×2+(-1)×4=0,
|
|
=2
+(-1)
=5, |
|
=2
+4
=20
﹒
=(
+(2sin
-3)
)﹒(-m
+
sin
)
=-ma+(2sin
-3sin
)
=-5m+20(2sin
-3sin
)
又∵⊥
,∴
﹒
=0,即-5m+20(2sin
-3sin
)=0
∵m=4(2sin-3sin
),即f(
)=4(2sin
-3sin
).
(2)设sin=t,则m=4(2t
-3t),(t
﹝-1,1﹞),
令g(t)= 2t-3t (t
﹝-1,1﹞), 则
(t)=6t
-3,
令(t)=0,可得t=
,当t变化时,g(t) ,
(t)的变化情况如下表:
t |
﹝-1,-![]() |
-![]() |
(-![]() ![]() |
![]() |
(![]() |
![]() |
+ |
0 |
- |
0 |
+ |
g(t) |
↗ |
极大值![]() |
↘ |
极小值-![]() |
↗ |
又g(1)=-1,g(-1)=1,故g(t)的最大值为,最小值为-
,
∵m的最大值为4,最小值为-4
。