27.(2009宁夏海南卷文)(本小题满分12分)某工厂有工人1000名，其中250名工人参加过短期培训(称为A类工人)，另外750名工人参加过长期培训(称为B类工人).现用分层抽样方法(按A类，B类分二层)从该工厂的工人中共抽查100名工人，调查他们的生产能力(生产能力指一天加工的零件数).
(1)A类工人中和B类工人各抽查多少工人？
(2)从A类工人中抽查结果和从B类工人中的抽查结果分别如下表1和表2
表1：
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生产能力分组 |
 |
 |
 |
 |
 |
|
人数 |
4 |
8 |
 |
5 |
3 |
表2：
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生产能力分组 |
|
|
|
|
|
人数 |
6 |
y |
36 |
18 |
(1)先确定
，再在答题纸上完成下列频率分布直方图。就生产能力而言，A类工人中
个体间的差异程度与B类工人中个体间的差异程度哪个更小？(不用计算，可通过观察
直方图直接回答结论)
(2)分别估计
类工人和
类工人生产能力的平均数，并估计该工厂工人和生产能力的平
均数(同一组中的数据用该区间的中点值作代表)。
解 (1)类工人中和类工人中分别抽查25名和75名.
(2)(ⅰ)由
，得
，
，得
.
频率分布直方图如下
从直方图可以判断：类工人中个体间的差异程度更小.
(2) 
，
，
A类工人生产能力的平均数，B类工人生产能力的平均数以及全厂工人生产能力的平均
数的估计值分别为123，133.8和131.1.
2005-2008年高考题
26.(2009辽宁文)(本小题满分12分)某企业有两个分厂生产某种零件，按规定内径尺寸(单位：mm)的值落在(29.94，30.06)的零件为优质品。从两个分厂生产的零件中个抽出500件，量其内径尺寸，的结果如下表：
甲厂
试分别估计两个分厂生产的零件的优质品率；
(1)由于以上统计数据填下面
列联表，并问是否有99%的把握认为“两个分厂生产的零件的质量有差异”。
|
|
甲 厂 |
乙 厂 |
合计 |
|
优质品 |
|
|
|
|
非优质品 |
|
|
|
|
合计 |
|
|
|
附：
解 (1)甲厂抽查的产品中有360件优质品，从而甲厂生产的零件的优质品率估计为
；
乙厂抽查的产品中有320件优质品，从而乙厂生产的零件的优质品率估计为
(2)
|
|
甲厂 |
乙厂 |
合计 |
|
优质品 |
360 |
320 |
680 |
|
非优质品 |
140 |
180 |
320 |
|
合计 |
500 |
500 |
1000 |
所以有99%的把握认为“两个分厂生产的零件的质量有差异”。
25.(2009宁夏海南卷理)(本小题满分12分)某工厂有工人1000名， 其中250名工人参加过短期培训(称为A类工人)，另外750名工人参加过长期培训(称为B类工人)，现用分层抽样方法(按A类、B类分二层)从该工厂的工人中共抽查100名工人，调查他们的生产能力(此处生产能力指一天加工的零件数)。
(1)求甲、乙两工人都被抽到的概率，其中甲为A类工人，乙为B类工人；
(2)从A类工人中的抽查结果和从B类工人中的抽插结果分别如下表1和表2.
表1
|
生产能力分组 |
|
|
|
|
|
|
人数 |
4 |
8 |
|
5 |
3 |
表2
|
生产能力分组 |
|
|
|
|
|
人数 |
6 |
y |
36 |
18 |
(1)先确定x，y，再在答题纸上完成下列频率分布直方图。就生产能力而言，A类工人中个体间的差异程度与B类工人中个体间的差异程度哪个更小？(不用计算，可通过观察直方图直接回答结论)
(2)分别估计A类工人和B类工人生产能力的平均数，并估计该工厂工人的生产能力的平均数，同一组中的数据用该组区间的中点值作代表)
解 (1)甲、乙被抽到的概率均为
，且事件“甲工人被抽到”与事件“乙工人被抽到”相互独立，故甲、乙两工人都被抽到的概率为
.
(2)(i)由题意知A类工人中应抽查25名，B类工人中应抽查75名.
故
，得，，得 .
频率分布直方图如下
从直方图可以判断：B类工人中个体间的关异程度更小 .
(ii) 
，
，
A类工人生产能力的平均数，B类工人生产能力的平均数以及全工厂工人生产能力的
平均数的会计值分别为123，133.8和131.1 .
表示抽取的3名工人中男工人数，求
，
，
，
时，采用分类的方
，所以从
为在A区中抽得的2个工厂，
为在B区中抽得的3个工厂，
为在C区中抽得的2个工厂，这7个工厂中随机的抽取2个，全部的可能结果
种，随机的抽取的2个工厂至少有一个来自A区的结果有
，
,同理
还能组合5种，一共有11种.
22.(2009安徽卷文)(本小题满分12分)某良种培育基地正在培育一种小麦新品种A，将
其与原有的一个优良品种B进行对照试验，两种小麦各种植了25亩，所得亩产数据(单
位：千克)如下：
品种A:357，359，367，368，375，388，392，399，400，405，414，
415，421，423，423，427，430，430，434，443，445，451，454
品种B：363，371，374，383，385，386，391，392，394，395，397
397，400，401，401，403，406，407，410，412，415，416，422，430
(Ⅰ)完成所附的茎叶图
(Ⅱ)用茎叶图处理现有的数据，有什么优点？
(Ⅲ)通过观察茎叶图，对品种A与B的亩产量及其稳定性进行比较，写出统计结论。
思路
由统计知识可求出A、B两种品种的小麦稳定性大小并画出茎叶图，用茎叶图处理数据，看其分布就比较明了。
解析 (1)茎叶图如图所示
|
A |
|
B |
|
9 7 |
35 |
|
|
8 7 |
36 |
3 |
|
5 |
37 |
1 4 |
|
8 |
38 |
3 5 6 |
|
9 2 |
39 |
1 2 4 457 7 |
|
5 0 |
40 |
0 1 1 3 6 7 |
|
5 4 2 |
41 |
0 2 5 6 |
|
7 3 3 1 |
42 |
2 |
|
4 0 0 |
43 |
0 |
|
5 5 3 |
44 |
|
|
4 1 |
45 |
|
(2)用茎叶图处理现有的数据不仅可以看出数据的分布状况,而且可以看出每组中的具
体数据.
(3)通过观察茎叶图，可以发现品种A的平均每亩产量为411.1千克，品种B的平均亩
产量为397.8千克.由此可知,品种A的平均亩产量比品种B的平均亩产量高.但品种A的
亩产量不够稳定，而品种B的亩产量比较集中D平均产量附近.
表示事件：从甲组抽取的2名工人中恰有
名男工人，
表示事件：从乙组抽取的2名工人中恰有
名男工人，
独立，
，且
20.(2009山东卷文)(本小题满分12分)一汽车厂生产A,B,C三类轿车,每类轿车均有舒适型和标准型两种型号,某月的产量如下表(单位:辆):
|
|
轿车A |
轿车B |
轿车C |
|
舒适型 |
100 |
150 |
z |
|
标准型 |
300 |
450 |
600 |
按类型分层抽样的方法在这个月生产的轿车中抽取50辆,其中有A类轿车10辆.
(1)求z的值.
(2)用分层抽样的方法在C类轿车中抽取一个容量为5的样本.将该样本看成一个总体,从中任取2辆,求至少有1辆舒适型轿车的概率;
(3)用随机抽样的方法从B类舒适型轿车中抽取8辆,经检测它们的得分如下:9.4, 8.6, 9.2, 9.6, 8.7, 9.3, 9.0, 8.2.把这8辆轿车的得分看作一个总体,从中任取一个数,求该数与样本平均数之差的绝对值不超过0.5的概率.
解 (1)设该厂本月生产轿车为n辆,由题意得,
,所以n=2000.
z=2000-100-300-150-450-600=400
(2)设所抽样本中有m辆舒适型轿车,因为用分层抽样的方法在C类轿车中抽取一个容量
为5的样本,所以
,解得m=2也就是抽取了2辆舒适型轿车,3辆标准型轿车,分
别记作S1,S2;B1,B2,B3,则从中任取2辆的所有基本事件为(S1, B1), (S1, B2) , (S1, B3) (S2 ,B1),
(S2 ,B2), (S2 ,B3),( (S1, S2),(B1 ,B2), (B2 ,B3) ,(B1 ,B3)共10个,其中至少有1辆舒适型轿车的基本
事件有7个基本事件: (S1, B1), (S1, B2) , (S1, B3) (S2 ,B1), (S2 ,B2), (S2 ,B3),( (S1, S2),所以从中任取
2辆,至少有1辆舒适型轿车的概率为
.
(3)样本的平均数为
,
那么与样本平均数之差的绝对值不超过0.5的数为9.4, 8.6, 9.2, 8.7, 9.3, 9.0这6个数,总的个数为8,所以该数与样本平均数之差的绝对值不超过0.5的概率为
.
[命题立意]本题为概率与统计的知识内容,涉及到分层抽样以及古典概型求事件的概率
问题.要读懂题意,分清类型,列出基本事件,查清个数.,利用公式解答.
根据空气质量指数API(为整数)的不同，可将空气质量分级如下表：
对某城市一年(365天)的空气质量进行监测，获得的API数据按照区间
，
，
，
，
，
进行分组，得到频率分布
，
，
，
)
，解得
；
；
，则空气质量不为良且不为轻微污染的概率为 
，一周至少有两天空气质量为良或轻微污染的概率为
.
随机抽取某中学甲乙两班各10名同学,测量他们的身高(单位:cm),获得身高数据的茎叶图
之间。因此乙班平
＝57
；