题型1：求最大公约数

例1．(1)用辗转相除法求123和48的最大公约数？

(2)用更相减损来求80和36的最大公约数？

解析：(1)辗转相除法求最大公约数的过程如下：(建立带余除式)

　123＝2×48+27

　48＝1×27+21

　27＝1×21+6

　21＝3×6+3

　6＝2×3+0

最后6能被3整除，得123和48的最大公约数为3。

(2)分析：我们将80作为大数，36作为小数，执行更相减损术来求两数的最大公约数。执行结束的准则是减数和差相等

更相减损术：

因为80和36都是偶数，要去公因数2。

80÷2=40，36÷2=18；

40和18都是偶数，要去公因数2。

40÷2=20，18÷2=9

下面来求20与9的最大公约数，

20－9=11

11－9=2

9－2=7

7－2=5

5－2=3

3－2=1

2－1=1

可得80和36的最大公约数为2²×1=4。

点评：对比两种方法控制好算法的结束，辗转相除法是到达余数为0，更相减损术是到达减数和差相等。

例2．设计一个算法，求出840与1764的最大公因数。

解析：我们已经学习过了对自然数的素因数分解的方法，下面的算法就是在此基础上设计的。

解题思路如下：

首先对两个数进行素因数分解：

840=2³×3×5×7，1764=2²×3²×7²_，

其次，确定两个数的公共素因数：2，3，7。

接着确定公共素因数的指数：对于公共素因数2，840中为2³，1764中为2²，应取较少的一个2²，同理可得下面的因数为3和7。

算法步骤：

第一步：将840进行素数分解2³×3×5×7；

第二步：将1764进行素数分解2²×3²×7²；

第三步：确定它们的公共素因数：2，3，7；

第四步：确定公共素因数2，3，7的指数分别是：2，1，1；

第五步：最大公因数为2²×3¹×7¹=84。

点评：质数是除1以外只能被1和本身整除的正整数，它应该是无限多个，但是目前没有一个规律来确定所有的质数

题型2：秦九韶算法

例3．(2009福州模拟)如果执行右面的程序框图，那么输出的　　　　　　　　　　 (　　　 )

A．22　　　　　　　　　 B．46　　　　　　　　 C．　　　　　　　 D．190

答案　 C

2、(2009浙江卷理)某程序框图如图所示，该程序运行后输出的的　　

值是　　　　　　　　　　　　　　　　　　　 (　　 )

A．　　　 B．　　　　　 C．　　　　 D．

[解析]对于，而对于，则　

，后面是，不　

符合条件时输出的．

答案 A

4．进位制

(1)概念

进位制是一种记数方式，用有限的数字在不同的位置表示不同的数值。可使用数字符号的个数称为基数，基数为n，即可称n进位制，简称n进制。现在最常用的是十进制，通常使用10个阿拉伯数字0-9进行记数。

对于任何一个数，我们可以用不同的进位制来表示。比如：十进数57，可以用二进制表示为111001，也可以用八进制表示为71、用十六进制表示为39，它们所代表的数值都是一样的。

一般地，若k是一个大于一的整数，那么以k为基数的k进制可以表示为：

，

而表示各种进位制数一般在数字右下脚加注来表示,如111001₍₂₎表示二进制数,34₍₅₎表示5进制数。

(2)进位制间的转换

关于进位制的转换，教科书上以十进制和二进制之间的转换为例讲解，并推广到十进制和其它进制之间的转换。这样做的原因是，计算机是以二进制的形式进行存储和计算数据的，而一般我们传输给计算机的数据是十进制数据，因此计算机必须先将十进制数转换为二进制数，再处理，显然运算后首次得到的结果为二进制数，同时计算机又把运算结果由二进制数转换成十进制数输出。

非十进制数转换为十进制数比较简单，只要计算下面的式子值即可：

第一步：从左到右依次取出k进制数各位上的数字，乘以相应的k的幂，k的幂从n开始取值，每次递减1，递减到0，即；

第二步：把所得到的乘积加起来，所得的结果就是相应的十进制数。

十进制数转换成非十进制数

把十进制数转换为二进制数，教科书上提供了“除2取余法”，我们可以类比得到十进制数转换成k进制数的算法“除k取余法”。

非十进制之间的转换

一个自然的想法是利用十进制作为桥梁。教科书上提供了一个二进制数据与16进制数据之间的互化的方法，也就是先有二进制数转化为十进制数，再由十进制数转化成为16进制数。

7．将新数据列中的第7个数97与右边相邻的数49进行比较，因为49<97，97应下沉，所以顺序改变，得到新的数据列：

{38，49，65， 76， 13，97， 49，27}

我们把上述过程称为一趟排序。其基本特征是最大的数据沉到底，即排在最左边位置上的数据是数组中最大的数据。反复执行上面的步骤，就能完成排序工作，排序过程不会超过7趟。这种排序的方法称为冒泡排序。

上面的分析具有一般性，如果数据列有n个数据组成，至多经过n－1趟排序，就能完成整个排序过程

6．将新数据列中的第6个数97与右边相邻的数27进行比较，因为27<97，97应下沉，所以顺序改变，得到新的数据列：

{38，49，65， 76， 13，97，27，49}

5．将新数据列中的第5个数97与右边相邻的数13进行比较，因为13<97，97应下沉，所以顺序改变，得到新的数据列：

{38，49，65， 76， 13，97，27，49}

4．将新数据列中的第4个数97与右边相邻的数76进行比较，因为76<97，97应下沉，所以顺序不变，得到新的数据列：

{38，49，65， 76，97，13，27，49}

3．将新数据列中的第3个数65与右边相邻的数97进行比较，因为97>65，所以顺序不变，得到新的数据列：

{38，49，65，97，76，13，27，49}

2．将新数据列中的第2个数49与右边相邻的数65进行比较，因为65>49，所以顺序不变，得到新的数据列：

{38，49，65，97，76，13，27，49}

1．将第1个数与右边相邻的数38进行比较，因为38<49，49应下沉，即向右移动，所以交换他们的位置，得到新的数据列：

{38，49，65，97，76，13，27，49}