10、(2011•江津区)如图,四边形ABCD中,AC=a,BD=b,且AC丄BD,顺次连接四边形ABCD 各边中点,得到四边形A1B1C1D1,再顺次连接四边形A1B1C1D1各边中点,得到四边形A2B2C2D2…,如此进行下去,得到四边形AnBnCnDn.下列结论正确的有( )

①四边形A2B2C2D2是矩形;

②四边形A4B4C4D4是菱形;

③四边形A5B5C5D5的周长是

④四边形AnBnCnDn的面积是

   A、①②   B、②③

   C、②③④    D、①②③④

考点:三角形中位线定理;菱形的判定与性质;矩形的判定与性质。

专题:规律型。

分析:首先根据题意,找出变化后的四边形的边长与四边形ABCD中各边长的长度关系规律,然后对以下选项作出分析与判断:

①根据矩形的判定与性质作出判断;

②根据菱形的判定与性质作出判断;

③由四边形的周长公式:周长=边长之和,来计算四边形A5B5C5D5的周长;

④根据四边形AnBnCnDn的面积与四边形ABCD的面积间的数量关系来求其面积.

解答:解:①连接A1C1,B1D1.

∵在四边形ABCD中,顺次连接四边形ABCD 各边中点,得到四边形A1B1C1D1,

∴A1D1∥BD,B1C1∥BD,C1D1∥AC,A1B1∥AC;

∴A1D1∥B1C1,A1B1∥C1D1,

∴四边形ABCD是平行四边形;

∴B1D1=A1C1(平行四边形的两条对角线相等);

∴A2D2=C2D2=C2B2=B2A2(中位线定理),

∴四边形A2B2C2D2是菱形;

故本选项错误;

②由①知,四边形A2B2C2D2是菱形;

∴根据中位线定理知,四边形A4B4C4D4是菱形;

故本选项正确;

③根据中位线的性质易知,A5B5=A3B3=×A1B1=××AB,B5C5=B3C3=×B1C1=××BC,

∴四边形A5B5C5D5的周长是2×(a+b)=

故本选项正确;

④∵四边形ABCD中,AC=a,BD=b,且AC丄BD,

∴S四边形ABCD=ab;

由三角形的中位线的性质可以推知,每得到一次四边形,它的面积变为原来的一半,

四边形AnBnCnDn的面积是

故本选项错误;

综上所述,②③④正确;

故选C.

点评:本题主要考查了菱形的判定与性质、矩形的判定与性质及三角形的中位线定理(三角形的中位线平行于第三边且等于第三边的一半).解答此题时,需理清菱形、矩形与平行四边形的关系.

 0  43473  43481  43487  43491  43497  43499  43503  43509  43511  43517  43523  43527  43529  43533  43539  43541  43547  43551  43553  43557  43559  43563  43565  43567  43568  43569  43571  43572  43573  43575  43577  43581  43583  43587  43589  43593  43599  43601  43607  43611  43613  43617  43623  43629  43631  43637  43641  43643  43649  43653  43659  43667  447348 

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