1.(1999年，全国)如图示，两木块的质量分别为m₁和m₂，两轻质弹簧的劲度系数分别为k₁和k₂，上面木块压在上面的弹簧上(但不拴接)，整个系统处于平衡状态．现缓慢向上提上面的木块，直到它刚离开上面弹簧．在这过程中下面木块移动的距离为(　　 )

A.m₁g/k₁　 B.m₂g/k₂　 C.m₁g/k₂　 D.m₂g/k₂

此题是共点力的平衡条件与胡克定律的综合题．题中空间距离的变化，要通过弹簧形变量的计算求出．注意缓慢上提，说明整个系统处于一动态平衡过程，直至m₁离开上面的弹簧．开始时，下面的弹簧被压缩，比原长短(m₁ + m₂)g／k₂，而m_l刚离开上面的弹簧，下面的弹簧仍被压缩，比原长短m₂g／k2，因而m₂移动△x＝(m₁ + m₂)·g／k₂ - m₂g／k₂＝m_lg／k₂．

此题若求m_l移动的距离又当如何求解?　　

　 例8. 如图8所示，质量为2m的木板，静止放在光滑的水平面上，木板左侧固定着一根劲度系数为k的轻质弹簧，弹簧的自由端到小车右端的距离为L₀，一个质量为m的小木块从板的右端以初速度v₀开始沿木块向左滑行，最终回到木板右端，刚好不从木板右端滑出，设木板与木块间的动摩擦因数为，求在木块压缩弹簧过程中(一直在弹性限度内)弹簧所具有的最大弹性势能。

图8

　　 解：弹簧被压缩至最短时，具有最大弹性势能，设m在M上运动时，摩擦力做的总功产生内能为2E，从初状态到弹簧具有最大弹性势能及从初状态到末状态，系统均满足动量守恒定律，即：

　　 　①

　　 由初状态到弹簧具有最大弹性势能，系统满足能量守恒：

　　 　②

　　 由初状态到末状态，系统也满足能量守恒且有：

　　 　③

　　 由①②③求得：

　　 从以上各例可以看出，尽管弹簧类问题综合性很强，物理情景复杂，物理过程较多，但只要我们仔细分析物理过程，找出每一现象所对应的物理规律，正确判断各物理量之间的关系，此类问题一定会迎刃而解。

　 例7. 如图7所示，小车质量为M，木块质量为m，它们之间静摩擦力最大值为F_f，轻质弹簧劲度系数为k，振动系统沿水平地面做简谐运动，设木块与小车间未发生相对滑动，小车振幅的最大值是多少？

图7

　　 解析：在最大位移处，M和m相对静止，它们具有相同的加速度，所以对整体有：　 ①

　　 对m有：　 　②

　　 所以由①②解得：。

　 例6. 两木块A、B质量分别为m、M，用劲度系数为k的轻质弹簧连在一起，放在水平地面上，如图6所示，用外力将木块A压下一段距离静止，释放后A做简谐运动，在A振动过程中，木块B刚好始终未离开地面，求木块A的最大加速度。

图6

　　 解析：撤去外力后，A以未加外力时的位置为平衡位置作简谐运动，当A运动到平衡位置上方最大位移处时，B恰好对地面压力为零，此时A的加速度最大，设为a_m。

　　 对A：由牛顿第二定律有

　　 对B：

　　 所以，方向向下。

　 例5. 有一水平放置的圆盘，上面放一个劲度系数为k的轻弹簧，其一端固定于轴O上，另一端系着质量为m的物体A，物体A与盘面间最大静摩擦力为F_fm，弹簧原长为L，现将弹簧伸长后置于旋转的桌面上，如图5所示，问：要使物体相对于桌面静止，圆盘转速n的最大值和最小值各是多少？

图5

　　 解析：当转速n较大时，静摩擦力与弹簧弹力同向，即：

　　 　①

　　 当转速n较小时，静摩擦力与弹簧弹力反向，即：

　　 　②

　　 所以圆盘转速n的最大值和最小值分别为：

　　 。

　 例3. 如图3所示，一个劲度系数为k的轻弹簧竖直立于水平地面上，下端固定于地面，上端与一质量为m的平板B相连而处于静止状态。今有另一质量为m的物块A从B的正上方h高处自由下落，与B发生碰撞而粘在一起，已知它们共同向下运动到速度最大时，系统增加的弹性势能与动能相等，求系统的这一最大速度v。

图3

　　 解析：A下落到与B碰前的速度v₁为：

　　 　①

　　 A、B碰后的共同速度v₂为：　 ②

　　 B静止在弹簧上时，弹簧的压缩量为x₀，且：

　　 　③

　　 A、B一起向下运动到最大速度v时的位移为x，此时A、B的加速度为0，即有：　 ④

　　 由机械能守恒得：

　　 　⑤

　　 　⑥

　　 解①~⑥得：

　 例4. 在光滑水平面内，有A、B两个质量相等的木块，，中间用轻质弹簧相连。现对B施一水平恒力F，如图4所示，经过一段时间，A、B的速度等于5m/s时恰好一起做匀加速直线运动，此过程恒力做功为100J，当A、B恰好一起做匀加速运动时撤除恒力，在以后的运动过程中求木块A的最小速度。

图4

　　 解析：当撤除恒力F后，A做加速度越来越小的加速运动，弹簧等于原长时，加速度等于零，A的速度最大，此后弹簧压缩到最大，当弹簧再次回复原长时速度最小，根据动量守恒得：　 ①

　　 根据机械能守恒得：　 ②

　　 由以上两式解得木块A的最小速度v＝0。

　 例2. 如图2所示，质量为m的钢板与直立弹簧的上端连接，弹簧下端固定在地面上，平衡时弹簧的压缩量为。一物体从钢板正上方距离为的A处自由下落打在钢板上，并立即与钢板一起向下运动，但不粘连，它们到达最低点后又向上运动，已知物块质量也为m时，它们恰能回到O点，若物体质量为2m仍从A处自由下落，则物块与钢板回到O点时还有向上的速度，求物块向上运动到达的最高点与O点的距离。

图2

　　 解析：物块碰撞钢板前作自由落体运动，设表示物块与钢板碰撞时的速度，则：　 ①

　　 物块与钢板碰撞后一起以v₁速度向下运动，因碰撞时间极短，碰撞时遵循动量守恒，即：　 ②

　　 刚碰完时弹簧的弹性势能为，当它们一起回到O点时，弹簧无形变，弹性势能为0，根据机械能守恒有：　 ③

　 　设表示质量为2m的物块与钢板碰撞后开始向下运动的速度，由动量守恒有：　 ④

　　 碰撞后，当它们回到O点时具有一定速度v，由机械能守恒定律得：

　　 　⑤

　　 当质量为2m的物块与钢板一起回到O点时两者分离，分离后，物块以v竖直上升，其上升的最大高度：

　　 　⑥

　　 解①~⑥式可得。

　 例1. 一个劲度系数为k＝600N/m的轻弹簧，两端分别连接着质量均为m＝15kg的物体A、B，将它们竖直静止地放在水平地面上，如图1所示，现加一竖直向上的外力F在物体A上，使物体A开始向上做匀加速运动，经0.5s，B物体刚离开地面(设整个加速过程弹簧都处于弹性限度内，且g＝10m/s²)。求此过程中所加外力的最大和最小值。

图1

　　 解析：开始时弹簧弹力恰等于A的重力，弹簧压缩量，0.5s末B物体刚要离开地面，此时弹簧弹力恰等于B的重力，，故对A物体有，代入数据得。刚开始时F为最小且，B物体刚要离开地面时，F为最大且有，解得。

5.(01年上海)如图9-12(A)所示，一质量为m的物体系于长度分别为l₁、l₂的两根细线上，l₁的一端悬挂在天花板上，与竖直方向夹角为θ，l₂水平拉直，物体处于平衡状态.现将l₂线剪断，求剪断瞬时物体的加速度.

(1)下面是某同学对该题的一种解法：

解：设l₁线上拉力为T₁，l₂线上拉力为T₂，重力为mg，物体在三力作用下保持平衡：

T₁cosθ=mg,T₁sinθ=T₂,T₂=mgtanθ

剪断线的瞬间，T₂突然消失，物体即在T₂反方向获得加速度.因为mgtanθ=ma,所以

加速度a=gtanθ,方向在T₂反方向.

你认为这个结果正确吗?请对该解法作出评价并说明理由.

(2)若将图A中的细线l₁改为长度相同、质量不计的轻弹簧，如图2-12(B)所示，其他条件不变，求解的步骤与(1)完全相同，即a=gtanθ，你认为这个结果正确吗?请说明理由.

*6.如图2-13所示，A、B、C三物块质量均为m，置于光滑水平台面上.B、C间夹有原已完全压紧不能再压缩的弹簧，两物块用细绳相连，使弹簧不能伸展.物块A以初速度v₀沿B、C连线方向向B运动，相碰后，A与B、C粘合在一起，然后连接B、C的细绳因受扰动而突然断开，弹簧伸展，从而使C与A、B分离，脱离弹簧后C的速度为v₀.

(1)求弹簧所释放的势能ΔE.

(2)若更换B、C间的弹簧，当物块A以初速v向B运动，物块C在脱离弹簧后的速度为2v₀，则弹簧所释放的势能ΔE′是多少?

(3)若情况(2)中的弹簧与情况(1)中的弹簧相同，为使物块C在脱离弹簧后的速度仍为　 2v₀，A的初速度v应为多大?