1、直棱柱、正棱锥、正棱台侧面积是如何推导出的？特别的，关于棱柱、正棱锥、棱台有什么侧面积公式？

（棱柱棱锥棱台侧面积通过侧面展开图推导出的；S_棱柱侧＝c×h^/，S_正棱锥侧＝c×h^/，S_正棱台侧＝（c＋c^/）×h^/，介绍直棱柱、正棱台、正棱锥的概念）

2、圆柱、圆锥、圆台有类似的结论吗？如何得出？

（答：圆柱、圆锥、圆台有类似的结论；

（1）圆柱侧面展开图是一个矩形，S_圆柱＝cl

（2）圆锥侧面展开图是一个扇形S_圆锥侧＝＝πl

（3）圆台的侧面展开图为一个扇环

S_圆台侧＝πc(l+x)-πc^/x=π[cl+(c-c^/)x],=(c-c^/)x=c^/l, S_圆台侧＝(c+c^/)l

3、你能发现柱、锥、台侧面积公式间有什么内在联系？柱锥台间有什么内在联系？

（答： ）

例1、已知底面为菱形的直棱柱，过不相邻两测棱的截面面积为Q₁,Q₂,求其侧面积

解：设底面边长为a，高为h,则S_侧＝4ah

Q₁=AC.h,Q₂=BD.h,a²=()²+()²=2ah=,S_侧＝2

    说明：柱、锥、台的侧面积公式可以直接用时用之，不能直接用时，可以用相加法或展开法。

练习：一个直角梯形上底、下底及高的比为2:4:,求它旋转而成的圆台的上底面、下底面面积及侧面积的比（答：2:8:9）

例2、正方形ABCD是一个圆柱的轴截面，圆柱的半径为r，一条绳子沿圆柱侧面从A到C旋转的最短路径是多少？再旋转一周呢？

解：将半个圆柱展开，最短路径为A^/C=r;再旋转一周后为r

说明：求沿表面两点间的最短路径问题，一般用展开法

例3、斜三棱柱ABC-A₁B₁C₁底面是边长为2的正三角形，顶点A₁在平面ABC内的射影O是三角形的中心，侧棱AA₁与AB的成角为45⁰，求此三棱柱的表面积

解：过A₁作A₁D⊥AB于D，由于OD是A₁D在平面ABC内的射影，AB⊥OD,D是AB的中点，这样A₁A=,AD=1=A₁D,=2×1＝2，同理＝2。S_底＝×2×＝。

BC⊥AO,AO为A₁A在面ABC内的射影BC⊥A₁A, A₁A∥B₁B,BC⊥B₁B,B₁BCC₁为矩形，＝2。S_表＝2S_底＋＋＋＝2＋4＋2

五、小结：求侧面积的一般方法有展开法、公式法、相加法；求沿表面两点间的最短路径问题，一般用展开法

六、作业：教材P57---习题1，3，4，8

【补充习题】

1、长方体ABCD-A₁B₁C₁D₁中，(1)三度(共顶点的三条棱长)分别为a、b、c(a> b>c),则由A沿长方体表面到C₁的最短路径长为__________;(2)若其全面积为S，所有棱长和为E，则其对角线长为__________

2、圆锥被平行于底面的截面所截，若此截面为中截面（过高的中点的截面），分圆锥上下两部分的侧面积的比为___________；若此截面分高上下两部分的比为λ，则它分圆锥上下两部分的侧面积的比为___________

3、正三棱锥侧面积是底面积的2倍，高为3，则此三棱锥的表面积为________

4、一个侧棱长为a斜棱柱，垂直于侧棱的截面（称直截面）的周长为c,则此三棱柱的侧面积为____________(以三棱柱为例说明)

5、(1)类比“三角形两边之和大于第三边”的结论，如果一个直三棱柱一个侧面面积为A,其余两个侧面积之和为F，则A与F的大小关系是_____

（2）如果一个直四棱柱一个侧面面积为A,其余侧面积之和为F，则A与F的大小关系是_____

（3）由（1）（2）你能猜想出一个什么命题，将之写出，并说明真假（注：直棱柱为侧棱垂直于底面的棱柱）。猜想命题______________________________________________，命题的真假_______

6、圆锥底面半径为r,高为2r，求圆锥内接圆柱侧面积的最大值。

7、如图是一个烟筒设计的三视图图纸，现要往其表面贴瓷砖，若损耗定为5％，需要多少面积的瓷砖（保留整数，≈1.732）

8*、在正四棱台ABCD-A₁B₁C₁D₁中，A₁B₁=a,AB=b(a>b),O₁为底面A₁B₁C₁D₁的中心，且棱台侧面积与四棱锥O₁―ABCD的侧面积相等，求棱台的高（两底面间的距离），并说明是否总有解。

【答案】

1、(1);   (2)

2、1：3，

3、27

4、ca

5、(1)A<F;(2)A<F;(3)直棱柱一个侧面面积小于其他侧面面积的和，真

6、设圆柱的底面半径为x，高为h，则,h=2r-2x,圆柱的侧面积S=2πxh

=4π(-x²+rx),当x=时,S_max=πr²

7、15115平方厘米

8*、取AD、A₁D₁的中点E、E₁,ABCD的中心为O，则OO₁为棱台的高，设为h，EE₁为棱台的斜高，棱锥与棱台的侧面积相等，bEO₁=(a+b)EE₁,EE₁²=h²+,

EO₁²=h²+,代入有b²[h²+]=(a+b)²[h²+],当2b²>a²即b>a>b时，方程有解h=

      1.3.2空间几何体的体积（1）??－柱锥台的体积

【教学目标】

2，掌握公式法求体积的方法，会用隔补法求空间几何体的体积，会用等积法求点到平面的距离

推导过程为：祖?原理→柱体体积棱锥（推广到锥体）台体

应用过程为：公式法（教材）、割补法、等积法

【教学难点】割补法（本节是课件）

【教学重点】公式的推导及总结

【教学流程】

一、公式推导：

通过一摞书演示，说明祖?原理：两个登高的几何体，若在所有高处的截面面积相等，则此两个几何体的体积相等

1、由长方体的体积得到柱体的体积V_柱=S_底h

2、锥体的体积

（1）三棱锥的体积：V_柱＝++,而＝，＝＝＝，故V_柱＝3V_锥，V_三棱锥＝V_棱柱＝Sh

(2)根据祖?原理，一般锥体体积V_锥＝Sh

3、台体的体积：

台体由锥体截得，以三棱台为例，有

设台体上下底面面积为S^/、S,高为h,补成棱锥后上面小棱锥的高为x，则V_台＝V_大锥－V_小锥＝S(x+h)-S^/x=Sh+(S-S^/)x,而,于是x=,代入V_台=Sh+(+)h=(S++S^/)h

4、柱锥台体积公式间的关系

V_柱=S_底hV_台=(S++S^/)hV_锥＝Sh

思考：如何求几何体的体积？（1）公式法；（2）割补法

  二、公式应用

  例1、有一堆相同规格的六角螺帽毛坯，共重6kg，已知毛坯底面正六边形边长是12mm.高是10mm，内孔直径是10mm，那么这堆毛坯约有多少个？（铁的密度为7.8g/cm³）

(教材P53---例1，此题可以上学生自己看)

练习：教材P54―1~4

例2、AB、CD分别在两平行平面α、β内，AB⊥CD，AB=CD=a,α、β的距离为h，求四面体ABCD的体积

   解：【方法一】（割）α、β的距离为h，AB、CD的距离也是h,设AB、CD的公垂线为OH,则体积V=V_C-AOB+V_D-AOB=S_AOB(CO+OD)=S_AOBCD=(ah)a=a²h

【方法二】（补）将之补成一个长方体，则四面体得体积V=V_长方体－4V_三棱锥＝－4×＝a²h

   说明：补的技巧是：分析出要补成的结果，先画后找

例3、已知三棱锥P-ABC中，侧棱两两垂直且都等于a，求点P到平面ABC的距离

解【方法一】由已知，△ABC是等边三角形，且P在平面ABC内的射影O是△ABC的垂心（也是重心），PO即为所求。PO.CD=PC.PDPO== =

说明：该方法还是用的：作出??证出――指出――求出的方法

【方法二】设点P到平面ABC的距离为h,V_P-ABC=V_C-PAB即S_△ABCh=S_△PAB.CP

h===

   说明1：此方法称等体积法，其步骤一般为：设值??转化为高好求的三棱锥的体积求

   说明2：原来的根据面积相等求一边上的高称等面积法。等面积法求高与等体积法求高统称等积法

2、求点到平面的距离的方法有：“作指证求”及等积法

【补充作业】

1、一个正四棱柱侧面展开图是一个边长为4的正方形，则其体积为_______

2、在△ABC中，AB=2=BC，∠ABC＝120⁰，将△ABC绕BC旋转一周，所得旋转体的体积为________,表面积为_________

3、三棱台ABC-A₁B₁C₁中，AB:A₁B₁=1:2,则三棱锥A₁-ABC,B₁-A₁BC,C-A₁B₁C₁的体积比为_____________

4、（1）一个棱长为3a的正方体，无论从那个面看，其正中间都有一个打通底面边长为a的正四棱柱洞，则此几何体的体积是____________,表面积为___________

(2)已知一个火箭的上部为一个圆锥，中间是一个圆柱，下部是一个圆台，其轴截面及尺寸如图，则该火箭的体积为___________（结果可以包含π）

（3）一个三棱柱容器中盛有水，且侧棱AA₁=h,若侧面AA₁BB₁水平放置时，液面恰好过AC、BC、A₁C₁、B₁C₁的中点，当底面ABC水平放置时，液面的高为_________

5、（1）一个斜棱柱，侧棱长为a，垂直于侧棱的一个截面面积为S，则此棱柱的体积为__________；（2）一个三棱柱一个侧面面积为A，与其相对的侧棱到该面的距离为d，则三棱柱的体积为__________

6、“一个定正三角形内任意一点到三边的距离之和为定值”证明如下：

设正三角形的边长为a，高为h,D为其内任意一点，D到三边的距离分别为r₁,r₂,r₃,则

S_△ABC＝S_△BOC+S_△COA+S_△AOB,即：ah=a(r₁+r₂+r₃)r₁+r₂+r₃=h定值。仿此，类比出空间的一个结论，并证明

   7、三棱锥S-ABC中，一条棱长为a，其余棱长都是1，求a为何值时，三棱锥的体积V最大，并求最大值

   8*（选作）、一个斜三棱柱ABC-A₁B₁C₁,所有的棱长都是a，侧棱AA₁与底边AB、AC的成角都是60⁰

(1)求侧棱与底面的成角的余弦值；（2）求此三棱锥的体积V及表面积S；（3）求AA₁到对面BB₁CC₁的距离

【答案】

1、4

2、2π，（6＋2）π

3、1：2：4

4、（1）20a³,72a²；（2）49π/3；（3）3h/4

5、（1）Sa；  (2)Ad

6、正四面体内任意一点到各面距离的之和为定值

证明：设正四面体ABCD每个面面积为S，高为h，其内有一点P,则其体积

V=V_p-ABC+V_P-ABD+V_P-ACD+V_P-BCD,即：Sh=S(r₁+r₂+r₃+r₄)r₁+r₂+r₃+r₄=h定值

7*、设SC＝a【方法一】取AB的中点H，过S作SO⊥CH于O，则

SO⊥AB,又SO⊥CHSO⊥平面ABC，

V=S_△ABCSO≤S_△ABC．ＳＨ＝××＝，当且仅当SH=SO即O与H重合时,等号成立,此时平面SAB⊥平面ABC,a=SH=

    总之,当a=时,V_max=

【方法二】取SC的中点D，则SC⊥平面ABD,V=V_S-ABD+V_C-ABD=S_ABDSC=

,V²=(-a⁴+3a²),当a²=时，V²_max=即,当a=时,V_max=

     8*、（1）设A₁在面ABC内的射影为O∵∠A₁AC=∠A₁AB=60⁰∴O在∠BAC的平分线上，∠A₁AO为侧棱与底面的成角

   【方法一】过O作OD⊥AC于D，∵OD是A₁D在平面ABC内的射影∴AB⊥A₁D

AO=acos∠A₁AO,AD=AOcos30⁰=acos∠A₁AOcos30⁰,AD=AA₁cos∠A₁AB

∴cos∠A₁AO==侧棱与底面的成角的余弦值为

[方法二]∵cos∠(AA₁,AC)=cos∠(AA₁,AO)cos∠(AO,AC)即cos60⁰=cos∠A₁AOcos30⁰∴cos∠A₁AO==,侧棱与底面的成角的余弦值为

（2）V=S_ABCA₁O=asin∠A₁AO=

S=+2S_底＋+,ABB₁A₁≌ACC₁A₁=aasin60⁰=

∵AO⊥BC ，AO为AA₁在面ABC内的射影∴BC⊥AA₁∵AA₁∥BB₁∴BC⊥BB₁∴BB₁C₁C为正方形，＝a²∴S=(+1)a²

(3)[方法一]设平面A₁AO∩平面B₁BCC₁=EE₁,则E、E₁为BC、B₁C₁的中点，且平面AA₁E₁E⊥平面B₁BCC₁，过A₁作A₁H⊥EE₁于H,则A₁H⊥平面B ₁BCC₁,A₁H即为所求。A₁H=A₁E₁sin∠A₁E₁E==

[方法二] 设AA₁到对面BB₁CC₁的距离为d,由5（2）知V=d,d=

1.2.3空间几何体的体积（3）??球的体积与表面积

【教学目标】

2、会用球的体积及表面积公式求相应的体积与面积

【教学重点】公式应用（本节是课件）

【教学难点】公式推导

【教学流程】

二、推进新课

1、球的体积表面积如何求？

（1）整个球不易剖分，要求球的体积只要求半球的体积（这是我国南北朝时期的祖?与1653年意大利数学家Cavalieri共同的想法）

祖?：比较圆锥、半球、圆柱体积得到猜想V_半球＝

Cavalieri：倒沙试验得到V_半球＝  

如何证明呢？

（2）半球被平行于大圆的面所截，高为x处，球的半径为r，截面面积是_______π（r²-x²）

(3)能否构造出一个学过的几何体，使在高为x处的面积也是πr²-πx²

a,半球的半径是r，所找几何体的半径也是r

b, πr²为一个圆柱的底面面积

c，据底面x，小的底面半径也是x

e，找出底面半径及高都为r的圆柱，找出以上底面为底面，下底面圆的圆心为顶点的圆锥

f,挖去圆锥即可

g，结论：一个半径为r的半球的体积等于一个底面半径何高都等于r的圆柱，挖去一个以上底面为底面，下底面圆心为顶点的圆锥的体积

（4）计算推导：V_半＝πr²r-πr²r V_球＝

设想一个球有许多顶点在球心，底面都在球面上的准锥体组成，当分得无线小时，，锥体得高就无限趋近于r，于是＝rS₁+rS₂+rS₃+……=r(S₁+S₂+S₃+……)=rS_球

S_球＝4πr²

2、公式应用

例1、教材P53---例2（可以看书）

练习：教材P54---5,6

思考1：球半径变为原来的2倍，体积及表面积变为原来得多少倍？(4倍，8倍)

思考2：球的表面积变为原来的2倍，体积变为原来的多少倍？（2）

（1）半径；（2）半径增加原来的2倍

说明：两球的表面积的比是半径的平方比，体积的比是半径的立方比

例2、有一个正方体，球A与其各面相切，球B与各棱都相切，球C过各顶点，求球A、B、C的体积比（1：2：3）

思考：矩形的外接圆的直径是其对角线，长方体的外接球的直径是什么？

例3、（1）平面△的三边为a,b,c ,面积为S，求其内切圆的半径。（2）妨此过程，求出一个四面体四个面面积为S₁、S₂、S₃、S₄，其体积为V，求其内切球的半径。（3）求正四面体内切球半径与高的比

解（1）三角形S=S_AOB+S_BOC+S_COA=(a+b+c)rr=

 (2)V=V_O-ABC+V_O-ACD+V_O-ABD+V_O-BCD=(S₁+S₂+S₃+S₄)rr=

(3)对于正四面体r==,故

【补充习题】

1、一个球外切圆台上、下底面半径分别为r、R,球的体积为_____________

2、（1）一个长方体有一个外接球，此外接球的直径是长方体的__________;（2）若长方体三度为3，4，5，则其外接球的表面积为__________;（3）正方体的内切球与外接球的表面积比为________

3、半径为R的三个球两两相切放在桌面上，第四个小球与三个球都外切，且与桌面也相切，则第四个小球与前每个球的体积比为__________

4、半径为R的半球内有一个内接圆柱，则其内接圆柱侧面积的最大值为_________

5、一个平面截球得到直径是6cm的圆面，球心到此截面的距离为4cm，则此球的体积为______

6、棱长为a的正方体内有一个球与各棱都相切，求此球的体积

7、有一个轴截面为正三角形的倒置圆锥形容器内盛水的高度为h,放入一个球后水面恰好与球相切（如图是其轴截面），求球的半径

8*、地球可以近似看作一个球体，球面上任意一点由其经度和纬度来确定：如图，球心为O，OA与赤道平面的成角称点A的纬度（在南称南纬，北称北纬）；规定为0⁰经线，二面角W-NS-A的平面角称点A的经度（东称东经，西称西经）．设地球的半径为Ｒ

(1)若A在北纬45⁰东经114⁰，B在北纬45⁰东经24⁰，北纬45⁰的截面圆记为⊙O₁,求∠AOB及∠AO₁B的大小

（2）北纬45⁰的⊙O₁上AB两点的劣弧长记作L₁,过AOB的截面圆中AB的劣弧长记作L₂,计算并比较二者的大小

（3）若C在南纬30⁰东经180⁰,D在南纬30⁰的0⁰经线上，南纬30⁰的圆记作⊙O₂,CD在⊙O₂上劣弧的记作L₁^/,过COD的截面圆中CD的劣弧的长为L₂^/,比较L₁^/与L₂^/的大小

（4）由（2）（3）你能得到一个什么样的结论？

[答案]

1、πrR

2、（1）体对角线；（2）50π；（3）1：3；

3、1：27

4、πR²

5、

6、球的半径为，体积V=π()³=πa³

7、设球的半径为r,则水面下圆锥的体积－球的体积＝水的体积

π(r)²3r-πr³=π()²h,r=

8*、（1）∠AO₁B=90⁰,∠AOB=60⁰

(2)L₁=πR>L₂=πR

(3)L₁^/=πR>L₂^/=πR

(4)沿球面上两点的弧长，过球心的截面圆劣弧长最短