1．若方程x²－5x=0的一个根是a，则a²－5a+2的值为(    )．

   A．－2          B．0           C．2            D．4

2．如图，⊙O的半径OA等于5，半径OC与弦AB垂直，垂足为

   D，若OD=3，则弦AB的长为(    )．

   A．10           B．8           C．6            D．4

3．将抛物线y=2x²经过怎样的平移可得到抛物线y=2(x+3)²+4？答：(    )．

   A．先向左平移3个单位，再向上平移4个单位

   B．先向左平移3个单位，再向下平移4个单位

  C．先向右平移3个单位，再向上平移4个单位

   D．先向右平移3个单位，再向下平移4个单位

4．小莉站在离一棵树水平距离为a米的地方，用一块含

   30°的直角三角板按如图所示的方式测量这棵树的高

   度，已知小莉的眼睛离地面的高度是1.5米，那么她

   测得这棵树的高度为(    )．

  A．()米

   B．(a)米

   C．(1.5+)米

   D．(1.5+a)米

5．如图，以某点为位似中心，将△AOB进行位似变换得到

   △CDE，记△AOB与△CDE对应边的比为k，则位似中

   心的坐标和k的值分别为(    )．

   A．(0，0)，2

   B．(2，2)，

   C．(2，2)，2

   D．(2，2)，3

初三数学 第1页（共4页）

6．将抛物线y=x²+1绕原点O旋转180°，则旋转后的抛物线的解析式为(    )．

A．y=－x²           B．y=－x²+1          C．y=x²－1         D．y=x²－1

7．如图，PA、PB与⊙O相切，切点分别为A、B，PA=3，

  ∠P=60°，若AC为⊙O的直径，则图中阴影部分的面

  积为(    )．

   A．        B．       C．     D．π

8．已知b>0时，二次函数y=ax²+bx+a²－1的图象如下列四个图之一所示．

根据图象分析，a的值等于(    )．

   A．－2               B．－1             C．1              D．2

第Ⅱ卷(非机读卷，共88分)

9．若△ABC∽△DEF，且对应边BC与EF的比为2∶3，则△ABC与△DEF的面积

比等于　　　．

10．如图，⊙O的直径是AB，CD是⊙O的弦，若∠D=70°，

则∠ABC等于　　　．

11．如图，∠ABC=90°，O为射线BC上一点，以点O

    为圆心，OB长为半径作⊙O，将射线BA绕点B

    按顺时针方向旋转至BA＇，若BA＇与⊙O相切，则旋

    转的角度α(0°＜α＜180°)等于　　　．

12．等腰△ABC中，BC=8，若AB、AC的长是关于x

的方程x²－10x+m=0的根，则m的值等于    ．

初三数学 第2页(共4页)

13．解方程：2x²－6x+1=0．

14．计算：－tan45°+sin²45°.

15．已知：关于x的方程x²+2x=3－4k有两个不相等的实数根(其中k为实数)．

    (1)求k的取值范围；

    (2)若k为非负整数，求此时方程的根．

16．已知：如图，AB是⊙O的直径，BC是弦，∠B=30°，

  延长BA到D，使∠BDC=30°．

  (1)求证：DC是⊙O的切线；

  (2)若AB=2，求DC的长．

17．已知：如图，△ABC中，AB=2，BC=4，D为

    BC边上一点，BD=1．

    (1)求证：△ABD∽△CBA；

    (2)若DE∥AB交AC于点E，请再写出另一个与

      △ABD相似的三角形，并直接写出DE的长．

18．已知：如图，∠MAN=45°，B为AM上的一个定点．

    若点P在射线AN上，以P为圆心，PA为半径的圆

    与射线AN的另一个交点为C．请确定⊙P的位置，使

    BC恰与⊙P相切．

    (1)画出⊙P；(不要求尺规作图，不要求写画法)

    (2)连接BC、BP并填空：

    ①∠ABC=　　　　°；

    ②比较大小：∠ABP　　　　∠CBP．(用“>”“<”或“=”连接)

19．已知抛物线y=ax²+bx+c经过点A(0，3)、B(4，3)、C(1，0)．

    (1)填空：抛物线的对称轴为直线x=       ，抛物线与x轴的另一个交点D的

      坐标为       ；

    (2)求该抛物线的解析式．

20．已知：如图，等腰△ABC中，AB=BC，AE⊥BC

    于E，EF⊥AB于F，若CE=2，cos∠AEF=，

求EF的长．

初三数学 第3页（共4页）

21．某水果批发市场经销一种水果，如果每千克盈利10元，每天可售出500千克．经市场

    调查发现，在进货价不变的情况下，若每千克这种水果在原售价的基础上每涨价1元，日销售量将减少20千克．

    (1)如果市场某天销售这种水果盈利了6 000元，同时顾客又得到了实惠，那么每千克

      这种水果涨了多少元?

    (2)设每千克这种水果涨价x元时(0<x≤25)，市场每天销售这种水果所获利润为y元．

      若不考虑其他因素，单纯从经济角度看，每千克这种水果涨价多少元时，市场每天

      销售这种水果盈利最多?最多盈利多少元?

22．已知：如图，△ABC中，AB=3，∠BAC=120°，AC=1，

    D为AB延长线上一点，BD=1，点P在∠BAC的平分线

    上，且满足△PAD是等边三角形．

    (1)求证：BC=BP；

(2)求点C到BP的距离．

五、解答题(本题共22分,第23题7分，第24题7分，第25题8分)

23．已知关于x的方程x²-2ax-a+2b=0，其中a、b为实数．

    (1)若此方程有一个根为2a(a<0)，判断a与b的大小关系并说明理由；

(2)若对于任何实数a，此方程都有实数根，求b的取值范围．

24．已知：如图，⊙O的内接△ABC中，∠BAC=45°,∠ABC=15°，AD∥OC并交BC的延

长线于D，OC交AB于E．

(1)求∠D的度数；

(2)求证：AC²=AD?CE；

(3)求的值．               

25．已知：抛物线y=－x²－2 (a-1)x－ (a²－2a)与x轴交于点A(x₁，0)、

B(x₂，0)，且x₁<1<x₂．

    (1)求A、B两点的坐标(用a表示)；

    (2)设抛物线的顶点为C，求△ABC的面积；

    (3)若a是整数，P为线段AB上的一个动点(P点与A、B两点不重合)，在x轴上方作

      等边△APM和等边△BPN，记线段MN的中点为Q，求抛物线的解析式及线段PQ

      的长的取值范围．

   初三数学 第4页(共4页)

北京市西城区2008-2009学年度第一学期期末测试

              初三数学试卷答案及评分参考         2009．1

第I卷  (机读卷　共32分)

题号

1

2

3

4

5

6

7

8

答案

C

B

A

C

C

D

A

B

第Ⅱ卷  (非机读卷　共88分)

题号

9

10

11

12

答案

4∶9

20°

60°或120°（各2分）

16或25（或2分）

13．解：因为a=2，b=－6，c=1，……………………………………………………………1分

        所以b²－4ac=(－6)²－4×2×1=28．………………………………………………2分

        代入公式，得x=…………………………………………………3分

                     ===．

        所以 原方程的根为 x₁=，x ₂=．（每个根各1分）……………5分

14．解：－tan45°+sin²45°．

       =………………………………………………………………………4分

       =．…………………………………………………………………………………5分

15．（1）解一：原方程可化为（x+1）²=4－4k．…………………………………………1分

              ∵该方程有两个不相等的实数根，

              ∴4－4k＞0．………………………………………………………………2分

              解得k＜1．

              ∴k 的取值范围是k＜1．…………………………………………………2分

解二：原方程可化为 x²+2x+4k－3=0．…………………………………………………1分

      Δ=2²－4(4 k－3)=4(4－k)．以下同解法一．

西城区初三数学试卷答案及评分参考第1页(共6页)

   （2）解：∵k为非负整数，k＜1，

∴k= 0．………………………………………………………………………4分

此时方程为x²+2x=3，它的根为x₁=－3，x₂=1．…………………………5分

16．(1)证明：连结OC．

∵OB=OC，∠B=30°，

∴∠OCB=∠B=30°．

∴∠COD=∠B+∠OCB=60°．………………1分

∵∠BDC=30°，

∴∠BDC+∠COD=90°，DC⊥OC．…………………………………………2分

∵BC是弦，

∴点C是⊙O的切线．………………………………………………………3分

        ∴点C是⊙O上,

        ∴点BC是⊙O的切线．

(2)解：∵AB=2，

∴OC=OB==1．……………………………………………………………4分

∵在Rt△COD中，∠OCD=90°，∠D=30°，

∴DC=OC=．……………………………………………………………5分

17．(1)证明：∵AB=2，BC=4，BD=1，

∴．………………1分

∵∠ABD=∠CBA，…………2分

∴△ABD∽△CBA．…………3分

(2)答：△ABD  ∽ △CDE  ；……………4分

      DE=  1.5   ．…………………5分

18．解：（1）图形见右．…………………2分

       （2）①∠ABC=  45   °；…………3分

②∠ABP   ＜  ∠CBP．……4分

19．解：(1)?物线的对称轴为直线x=  2   ?物线与x轴的另一个交点D的坐标为（3，0）；

                      ………………………………………2分

       (2) ∵?物线经过点C（1，0）、D（3，0），

∴设?物线的解析式为y=a(x－1)( x－3) ．……4分

由?物线经过点A（0，3），得a=1．……………5分

∴?物线的解析式为 y= x²－4 x+3．……………………………………………6分

20．∵AE⊥BC，EF⊥AB，

∴∠1+∠2=90°，∠B+∠2=90°

西城区初三数学试卷答案及评分参考第2页(共6页)

∴∠1=∠B．………………………………………………………………………………1分

∵cos∠AEF=，

∴Rt△ABE 中，cosB=．…………………………2分

设BE=4k, 则AB=BC=5k，EC=BC－BE=k=2．

∴BE=8，………………………………………………………3分

∴Rt△BEF中，EF=BE?sinB=8×=．…………………………………………4分

21．解：(1)设市场某天销售这种水果盈利了6 000元，同时顾客又得到了实惠时，每千克这

    种水果涨了x元．

    由题意得(10+x)(500－20x)=6 000．………………………………………………1分

          整理，得x²－15x+50=0．

    解得   x₁=5，x ₂=10．……………………………………………………………2分

          因为顾客得到了实惠，应取x=5．………………………………………………3分

          答：市场某天销售这种水果盈利6 000元，同时顾客又得到了实惠时，每千克这

    种水果涨了5元．

       (2)因为每千克这种水果涨价x元时，市场每天销售这种水果所获利润为y元，

         y关于x的函数解析式为y=(10+x)(500－20 x) (0< x≤25)．……………………4分

         而y=(10+x)(500－20x)=－20x²+300x+5 000=－20(x －7.5)²+6 125．

    所以，当x =7.5时(0<7.5≤25)，y取得最大值，最大值为6 125．……6分

         答：不考虑其他因素，单纯从经济角度看，每千克这种水果涨价7.5元时，市场

    每天销售这种水果盈利最多，最多盈利6 125元．

22．(1)证明：如图1，连结PC．……………………………………………………………1分

       ∵AC=1，BD=1，∴AC=BD．

    ∵∠BAC=120°，AP平分∠BAC，

    ∴∠1=∠BAC，∠D=60°．

    ∵△PAD是等边三角形，

    ∴PA=PD，∠D=60°．

    ∴∠1=∠D．

    ∴△PAC≌△PDB………………………………………………………………2分

    ∴PC=PB，∠2=∠3．

    ∴∠2+∠4=∠3+∠4，  ∠BPC=∠DPA=60°．

    ∴△PBC是等边三角形， BC=BP………3分

证法二：作BM∥PA交．PD于M，证明△PBM≌△BCA．

(2)解法一：如图2，作CE⊥PB于E，  PF⊥AB于F．

   ∵AB=3，BD=1，  ∴AD=4．

   ∴△PAD是等边三角形，PF⊥AB，

西城区初三数学试卷答案及评分参考第3页(共6页)

            ∴DF=AD=2，PF=PD?sin60°=．

∴BF=DF－BD=1, BP=………………………………4分

∴CE=BC?sin60°=BP?sin60°=×=．…………………5分

即点C至BP的距离等于．

     解法二：作BN⊥DP于N，DN=，NP=DP－DN=，BN=，BP==

以下同解法一．

五、解答题（本题共22分，第23题7分，第24题7分，第25题8分）

23．解：（1）∵方程x²－2ax－a+2b=0有一个根为2a，

∴4a²－4 a²－a+2 b=0．…………………………………………………………1分

整理，得b=．………………………………………………………………2分

∵a＜0,∴a＜，即a＜b．…………………………………………………3分

（2）Δ=4a²－4（－a+2 b）=4a²+4a－8b．………………………………………4分

∵对于任何实数a，此方程都有实数根，

∴对于作何实数a，都有4a²+4a－8b≥0，即a²+a－2b≥0，……………5分

∴对于任何实数a，都有b≤．

∵=(a+)²－，

当a=－时，有最小值－．……………………………………6分

∴b的取值范围是b≤－．…………………7分

24．（1）解：如图3，连结OB．……………………………1分

            ∵⊙O的内接△ABC中，∠BAC=45°，

∴∠BOC=2∠BAC=90°．

∵OB=OC，

∴∠OBC=∠OCB=45°．

∵AD∥OC，

∴∠D=∠OCB=45°．……………………………………………………2分

   （2）证明：∵∠BAC=45°，∠D=45°，

  ∴∠BAC=∠D．…………………………………………………………3分

  ∵AD∥OC，

西城区初三数学试卷答案及评分参考第4页(共6页)

            ∴∠ACE=∠DAC．………………………………………………………………4分

∴△ACE∽△DAC．

∴．

∴AC²=AD?CE…………………………………………………………………5分

（3）解法一：如图4，延长BO交DA的延长线于F，连结OA．

             ∵AD∥OC，

∴∠F=∠BOC=90°．

∵∠ABC=15°，

∴∠OBA=∠OBC－∠ABC=30°．

∵OA=OB，

∴∠FOA=∠OBA+∠OAB=60°，∠OAF=30°．

∴OF= OA．

∵AD∥OC，

∴△BOC∽△BFD．

∴．

∴=2，即的值为2．………………………………7分

解法二：作OM⊥BA于M，设⊙O的半径为r，可得BM=,OM=,∠MOE=30°，

        ME=OM?tan30°=，BE=，AE=，所以=2．

25．解：(1) ∵?物线与x轴交于点A(x₁，0)、B(x₂，0)，

       ∴x₁、x₂是关于x的方程-的解.

           方程可化简为x²+2(a－1) x +(a²－2a)=0.

解方程，得x=-a或x=-a+2.

∵x_1­＜x₂,-a＜-a+2，……………………………………………………………1分

∴x₁=－a，x₂=－ a+2

∴A、B两点的坐标分别为A(－a，0),B(－a+2,0)……………………………2分

(2) ∵AB=2，顶点C的纵坐标为，……………………………………………3分

   ∴△ABC的面积等于.………………………………………………………4分

(3) ∵x_1­＜1＜x₂，   ∴－a＜1＜－a+2.

    ∴－1＜a＜1.…………………………………………………………………5分

∵a是整数，

∴a=0，所求?物线的解析式为y=－x²+2x.………………………6分

西城区初三数学试卷答案及评分参考第5页(共6页)

        解一：此时顶点C的坐标为C(1，).如图5，

作CD⊥AB于D，连结CQ. 则AD=1，

CD=，tan∠BAC.∴∠BAC=60°.

由?物线的对称性可知△ABC是等边三角形.

由△APM和△BPN是等边三角形，线段MN

的中点为Q可得，点M、N分别在AC和BC

边上，四边形PMCN的平行四边形，C、Q、

P三点共线，且PQ=PC.…………………………7分

∵点P线段AB上运动的过程中， P与A、B两点不重合，

  DC≤PC＜AC，DC=， AC=2，

∴≤PQ＜1.……………………………………………………………8分

解二:设点P的坐标为P(x,0)(0＜x＜2).如图6，作MM₁⊥AB于M₁，NN₁⊥AB于N₁.                  

∵△APM和△BPN是等边三角形，且都在x轴上方，

∴AM =AP=x，BN=BP=2－x，∠MAP=60°，∠NBP=60°.

∴AM₁=AM?cos∠MAB=，

  MM₁=AM?sin∠MAB=，

  BN₁=BN?cos∠NBP=，

  NN₁=BN?sin∠NBP=.

∴AN₁=AB－BN₁=.

∴M、N两点的坐标分别为M（，），N（，）.

可得线段MN的中点Q的坐标为Q(,).

由勾股定理得PQ=.……………7分

∵点P在线段AB上运动的过程中，P与A、B两点不重合，0＜x＜2，

∴3≤(x-1)²+3＜4. ∴≤PQ＜1.……………………………………8分

西城区初三数学试卷答案及评分参考第6页(共6页)