2.若函数f(x)的定义域是［0，1］，则f(x+a)·f(x-a)(0＜a＜)的定义域是　　　　　　　　　　　　　 (　　 )　

?A.?　　　　 B.［a，1-a］　　　　　　 C.［-a，1+a］?　　　　　 　D.［0，1］　

答案?B

1.求下列函数的定义域：　

(1)y=+(x-1)⁰ ;　　　　　　　　　　　 (2)y=+(5x-4)⁰;　

(3)y=+lgcosx;　　　　　　　　 　　　　　(4)y=lg(a^x-k·2^x) (a＞0).　

解 (1)由得　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　

所以-3＜x＜2且x≠1.　

故所求函数的定义域为(-3，1)∪(1,2).　

(2)由得　

∴函数的定义域为

(3)由,得

借助于数轴，解这个不等式组，得函数的定义域为　

(4)由a^x-k·2^x＞0^x＞k (a＞0).若k≤0,∵()^x＞0,∴x∈R.　

若k＞0,则当＞1,即a＞2时，　

函数的定义域为{x|x＞logk};　

当0＜＜1,即0＜a＜2时，　

函数的定义域为{x|x＜logk};　

当=1,即a=2时，　

则有1^x＞k，若0＜k＜1,则函数的定义域为R；　

若k≥1，则x∈,即原式无意义.

5.若函数y=x²-3x-4的定义域为［0，m］，值域为，则m的取值范围是　　　　　　　　　　 　(　　 )　

?A.?　　　 　 　　B.　?　　　 　　　 　　　C.(0，3］?　　　　　　 D.

答案?B?　

例1求下列函数的定义域：　

(1)y=;　

(2)y=;　

(3)y=.　

解 (1)由题意得化简得

即故函数的定义域为{x|x＜0且x≠-1}.　

(2)由题意可得解得　

故函数的定义域为{x|-≤x≤且x≠±}.　

(3)要使函数有意义，必须有　

即∴x≥1,故函数的定义域为［1，+∞).　

例2 设函数y=f(x)的定义域为［0，1］，求下列函数的定义域.　

(1)y=f(3x);　 　(2)y=f();　

(3)y=f(;　

(4)y=f(x+a)+f(x-a).　

解 (1)0≤3x≤1,故0≤x≤,　

y=f(3x)的定义域为［0, ］.　

(2)仿(1)解得定义域为［1，+∞).　

(3)由条件，y的定义域是f与定义域的交集.　

列出不等式组

故y=f的定义域为.

(4)由条件得讨论：　

①当即0≤a≤时，定义域为［a,1-a］;　

②当即-≤a≤0时，定义域为［-a,1+a］.　

综上所述：当0≤a≤时，定义域为［a，1-a］；　

当-≤a≤0时，定义域为［-a，1+a］.　

例3　 求下列函数的值域：　

(1)y=(2)y=x-;　

(3)y=.　

解 (1)方法一　 (配方法)　

∵y=1-而

∴0＜∴∴值域为.

方法二 (判别式法)

由y=得(y-1)

∵y=1时,1.又∵R，∴必须=(1-y)²-4y(y-1)≥0.

∴∵∴函数的值域为.22²²²²²²

(2)方法一　 (单调性法)　

定义域，函数y=x,y=-均在上递增，故y≤

∴函数的值域为.

方法二 (换元法)　

令=t,则t≥0，且x=　

∴y=-(t+1)²+1≤(t≥0),　

∴y∈(-∞，］.　

(3)由y=得,e^x=　

∵e^x＞0,即＞0,解得-1＜y＜1.　

∴函数的值域为{y|-1＜y＜1}.　

例4(12分)若函数f(x)=x²-x+a的定义域和值域均为［1，b］(b＞1)，求a、b的值.　

解　 ∵f(x)=(x-1)²+a-.　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　 　2分　

∴其对称轴为x=1，即［1，b］为f(x)的单调递增区间.　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　 　4分　

∴f(x)_min=f(1)=a-=1　　　　　　　　　　　　　　　　 　　　　　　　　　　　　　　　　　①　　　 6分　

f(x)_max=f(b)=b²-b+a=b　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　 ②　　　 8分

由①②解得　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　 　　　　　　　　12分

4.函数y=的值域是　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　 　　(　 )　

?A.　　　　　　　 B.?　　　　　　　　 C.［0，1］?　　　　　 　D.［0，+∞)　

答案?B?　

2.若函数f(x)=log_a(x+1)(a＞0且a≠1)的定义域和值域都是［0，1］，则a等于　　　　　　　　　　　 　　(　 )　

?A.?　　　　　　　　 　B.　　　　　　　　　　 　C.?　　　　　　　　 D.2　

答案?D?　

2.函数f(x)=3^x(0＜x≤2)的反函数的定义域为　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　 (　　 )

?A.(0，+∞)　　　　　　 　B.(1,9］?　　　　　　　 C.(0,1)?　　　　　　　 D.［9,+∞)　

答案?B?　

1.(2008·全国Ⅰ理，1)函数y=的定义域为　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　 (　 )　

?A.{x|x≥0}?　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　 B.{x|x≥1}　

?C.{x|x≥1}∪{0}?　　　　　 　　　　　　　　　　　　　　　　　D.{x|0≤x≤1}　

答案　 C?　

12.某租赁公司拥有汽车100辆.当每辆车的月租金为3 000元时，可全部租出.当每辆车的月租金每增加50元时,未租出的车将会增加一辆.租出的车每月需要维护费150元，未租出的车每辆每月需要维护费50元.　

(1)当每辆车的月租金定为3 600元时，能租出多少辆车？　

(2)当每辆车的月租金定为多少元时，租赁公司的月收益最大？最大月收益是多少？　

解 (1)当每辆车的月租金定为3 600元时，未租出的车辆数为=12，所以这时租出了88辆车.

(2)设每辆车的月租金定为x元，则租赁公司的月收益为f(x)=(100-×50

整理得f(x)=-+162x-21 000=-(x-4 050)²+307 050.　

所以，当x=4 050时，f(x)最大，最大值为f(4 050)=307 050.

即当每辆车的月租金定为4 050元时，租赁公司的月收益最大，最大月收益为307 050元.

§2.2 函数的定义域、值域

2²xc2

基础自测

11.如图所示，有一块半径为R的半圆形钢板，计划剪裁成等腰梯形ABCD的形状，它的下底AB是⊙O的直径,且上底CD的端点在圆周上，写出梯形周长y关于腰长x的函数关系式，并求出它的定义域.　

解 　AB=2R，C、D在⊙O的半圆周上，　

设腰长AD=BC=x，作DE⊥AB，　

垂足为E，连接BD，　

那么∠ADB是直角，

由此Rt△ADE∽Rt△ABD.　

∴AD²=AE×AB，即AE=，∴CD=AB-2AE=2R-，　

所以y=2R+2x+(2R-),　即y=-+2x+4R.　

再由,解得0＜x＜R.所以y=-+2x+4R,定义域为(0，R).

10.已知函数f(x)和g(x)的图象关于原点对称，且f(x)=x²+2x.

　 (1)求g(x)的解析式；

　 (2)解不等式g(x)≥f(x)-|x-1|.

　 解　 (1)设函数y=f(x)的图象上任一点Q(x₀,y₀)关于原点的对称点为P(x,y),

　 则　　 即

∵点Q(x₀,y₀)在函数y=f(x)的图象上∴-y=x²-2x,即y=-x²+2x,故g(x)=-x²+2x.

(2)由g(x)≥可得：2x²-|x-1|≤0.

当x≥1时，2x²-x+1≤0,此时不等式无解.

当x＜1时，2x²+x-1≤0,∴-1≤x≤因此，原不等式的解集为.