1.讨论函数f(x)=x+(a＞0)的单调性.　

解　 方法一　 显然f(x)为奇函数，所以先讨论函数f(x)在(0，+∞)上的单调性，设x₁＞x₂＞0,则　

f(x₁)-f(x₂) =(x₁+)-(x₂+)=(x₁-x₂)·(1-).

∴当0＜x₂＜x₁≤时，＞1,　

则f(x₁)-f(x₂)＜0，即f(x₁)＜f(x₂),故f(x)在(0，］上是减函数.　

当x₁＞x₂≥时，0＜＜1，则f(x₁)-f(x₂)＞0,即f(x₁)＞f(x₂),　

故f(x)在［，+∞)上是增函数.∵f(x)是奇函数，　

∴f(x)分别在(-∞，-］、［，+∞)上为增函数；　

f(x)分别在［-，0)、(0，］上为减函数.　

方法二 　由=1-=0可得x=±

当x＞或x＜-时，＞0∴f(x)分别在(，+∞)、(-∞，-］上是增函数.　

同理0＜x＜或-＜x＜0时，＜0　

即f(x)分别在(0，］、［-，0)上是减函数.

5.(2009·成都检测)已知函数f(x)=x²-2x+3在闭区间［0,m］上最大值为3，最小值为2，则m的取值范

围为　　　　 　 　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　 　　　　　　　　(　 )

?　 　A.［1，+∞)　　　　　 B.［0，2］?　　　　　 C.(-∞，-2］　　　　　 ?D.［1，2］　

答案?D?　

例1 已知函数f(x)=a^x+ (a＞1).　

证明：函数f(x)在(-1,+∞)上为增函数.　

证明　 方法一　 任取x₁,x₂∈(-1,+∞),

不妨设x₁＜x₂,则x₂-x₁＞0, ＞1且＞0,　

∴，又∵x₁+1＞0,x₂+1＞0,　

∴＞0,　

于是f(x₂)-f(x₁)=+＞0,　

故函数f(x)在(-1,+∞)上为增函数.　

方法二 　f(x)=a^x+1-(a＞1),　

求导数得=a^xlna+,∵a＞1,∴当x＞-1时，a^xlna＞0,＞0,　

＞0在(-1，+∞)上恒成立，则f(x)在(-1,+∞)上为增函数.　

方法三　 ∵a＞1,∴y=a^x为增函数，　

又y=，在(-1，+∞)上也是增函数.　

∴y=a^x+在(-1，+∞)上为增函数.

　例2　 判断函数f(x)=在定义域上的单调性.　

解 　函数的定义域为{x|x≤-1或x≥1},　

则f(x)= ,　

可分解成两个简单函数.　

f(x)= =x²-1的形式.当x≥1时，u(x)为增函数，为增函数.　

∴f(x)=在［1，+∞)上为增函数.当x≤-1时，u(x)为减函数，为减函数，　

∴f(x)=在(-∞,-1］上为减函数.　

　例3 　求下列函数的最值与值域：　

(1)y=4-; (2)y=x+;(3)y=.　

解 (1)由3+2x-x²≥0得函数定义域为［-1，3］，又t=3+2x-x²=4-(x-1)².　

∴t∈［0，4］，∈［0，2］，从而，当x=1时，y_min=2，当x=-1或x=3时，y_max=4.故值域为［2，4］.　

　(2)方法一　 函数y=x+是定义域为{x|x≠0}上的奇函数,故其图象关于原点对称,故只讨论x＞0时,即可知x＜0时的最值.　

∴当x＞0时,y=x+≥2=4，等号当且仅当x=2时取得.当x＜0时，y≤-4,　

等号当且仅当x=-2时取得.综上函数的值域为(-∞，-4］∪［4，+∞)，无最值.　

方法二　 任取x₁,x₂,且x₁＜x₂,　

因为f(x₁)-f(x₂)=x₁+-(x₂+)=　

所以当x≤-2或x≥2时，f(x)递增,当-2＜x＜0或0＜x＜2时，f(x)递减.　

故x=-2时，f(x)_最大值=f(-2)=-4,x=2时，

f(x)_最小值=f(2)=4,　

所以所求函数的值域为(-∞，-4］∪［4，+∞)，无最大(小)值.　

(3)将函数式变形为　

y=,　

可视为动点M(x,0)与定点A(0，1)、B(2，-2)距离之和，连结AB，则直线AB与x轴的交点(横坐标)即为所求的最小值点.　

y_min=|AB|=，可求得x=时，y_min=.　

显然无最大值.故值域为［，+∞).　

例4 　(12分)函数f(x)对任意的a、b∈R,都有f(a+b)=f(a)+f(b)-1,并且当x＞0时，f(x)＞1.　

(1)求证：f(x)是R上的增函数；　

(2)若f(4)=5,解不等式f(3m²-m-2)＜3.　

解　 (1)设x₁,x₂∈R，且x₁＜x₂,　

则x₂-x₁＞0,∴f(x₂-x₁)＞1.　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　 　　　2分　

f(x₂)-f(x₁)=f((x₂-x₁)+x₁)-f(x₁)　

=f(x₂-x₁)+f(x₁)-1-f(x₁)=f(x₂-x₁)-1＞0.　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　 　　　5分

∴f(x₂)＞f(x₁).　

即f(x)是R上的增函数.　 　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　6分

(2)∵f(4)=f(2+2)=f(2)+f(2)-1=5，　

∴f(2)=3，　　　 　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　8分

∴原不等式可化为f(3m²-m-2)＜f(2),　

∵f(x)是R上的增函数，∴3m²-m-2＜2,　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　 　　　　10分

解得-1＜m＜,故解集为(-1,).　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　 　　　　12分

4.函数f(x)=x³+ax²+bx+c，其中a、b、c∈R，则a²-3b＜0时，f(x)是　　　　　　　　　　　　　　 　　　(　　 )

A.增函数　 　　　　　　　?B.减函数　　　　　　　　　 C.常数函数?　　　　 D.单调性不确定的函数　

答案?A?　

3.若函数f(x)=x²+(a²-4a+1)x+2在区间(-∞，1］上是减函数，则a的取值范围是　　　　 　　　　　　　(　 　)

A.［-3，-1］　　　　 　　　　　　　　　　　　　　　?B.(-∞，-3］∪［-1，+∞)　

C.［1，3］　　　　　 　　　　　　　　　　　　　　　?D.(-∞，1］∪［3，+∞)　

答案 ?C?　

2.(2008·保定联考)已知f(x)是R上的增函数，若令F(x)=f(1-x)-f(1+x)，则F(x)是R上的　　　 (　 　)

A.增函数　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　 ?B.减函数　

? C.先减后增的函数　　　　　　　　　　　　　　　　 ?D.先增后减的函数　

答案?B

1.已知函数y=f(x)是定义在R上的增函数，则f(x)=0的根　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　 (　 )　　　　　　　　　　　

A.有且只有一个　　　　　　　　　　　　　　　　　　 　　B.有2个　

?C.至多有一个　　　　　　　　　　　　　　　　　　　 　　D.以上均不对　

答案?C?　

12.已知函数f(x)=2^x-1的反函数为,g(x)=log₄(3x+1)?.　

(1)用定义证明在定义域上的单调性；　

(2)若≤g(x),求x的取值集合D；　

(3)设函数H(x)=g(x)-，当x∈D时，求函数H(x)的值域.　

(1)证明 函数f(x)的值域为(-1，+∞)，　

由y=2^x-1得x=log₂(y+1),　

所以f ^-1(x)=log₂(x+1) (x＞-1).　

任取-1＜x₁＜x₂,　

-=log₂(x₁+1)-log₂(x₂+1)　

=log_2.　

由-1＜x₁＜x₂,得0＜x₁+1＜x₂+1,　

因此0＜＜1,得log₂＜0,　

所以(x₁)＜(x₂),　

故(x)在(-1,+∞)上单调递增.　

(2)解≤g(x),即log₂(x+1)≤log₄(3x+1)　

?

解得0≤x≤1，所以D=［0，1］.　

(3)解 H(x)=g(x)-f ^-1(x)　

=log₄(3x+1)-log₂(x+1)　

=log₂=

由0≤x≤1，得1≤3-≤2,所以0≤log₂≤1，

因此函数H(x)的值域为

§2.3 函数的单调性与最大(小)值

基础自测

11.已知二次函数f(x)的二次项系数为a,且不等式f(x)＞-2x的解集为(1，3).　

(1)若方程f(x)+6a=0有两个相等的根，求f(x)的解析式；　

(2)若f(x)的最大值为正数，求a的取值范围.　

解 (1)∵f(x)+2x＞0的解集为(1，3)，　

则可令f(x)+2x=a(x-1)(x-3),且a＜0,因而有　

f(x)=a(x-1)(x-3)-2x=ax²-(2+4a)x+3a,　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　 ①　

由方程f(x)+6a=0,得ax²-(2+4a)x+9a=0,　 　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　②　

因为方程②有两个相等的根，　

∴Δ=［-(2+4a)］²-4a·9a=0，即5a²-4a-1=0,解得a=1或a=-.　

由于a＜0,舍去a=1.将a=-代入①式，得f(x)的解析式为　

f(x)=- x²-x-.　

(2)由f(x)=ax²-2(1+2a)x+3a=a,　

及a＜0，可得f(x)的最大值为-由

解得a＜-2-或-2+＜a＜0.故当f(x)的最大值为正数时，实数a的取值范围是　

(-∞,-2-)∪(-2+,0).

10.(2007·北京理，19)如图，有一块半椭圆形钢板，其长半轴长为2r，短半轴长为r.计划将此钢板切割成等腰梯形的形状,下底AB是半椭圆的短轴，上底CD的端点在椭圆上.记CD=2x,梯形面积为S.　

(1)求面积S以x为自变量的函数式，并写出其定义域；　

(2)求面积S的最大值.　

解(1)依题意，以AB的中点O为原点建立直角坐标系O-xy(如图)，

则点C的横坐标为x,点C的纵坐标y满足方程

(y≥0),　

解得y=2(0＜x＜r).S=(2x+2r)·2　

=2(x+r)·,其定义域为{x|0＜x＜r}.　

(2)记f(x)=4(x+r)²(r²-x²),0＜x＜r,则=8(x+r)²(r-2x).　

令=0,得x=r.因为当0＜x＜时，＞0;　

当＜x＜r时, ＜0，所以f(r)是f(x)的最大值.　

因此，当x=r时，S也取得最大值，最大值为.　

即梯形面积S的最大值为

9.(1)求函数f(x)=的定义域；　

(2)已知函数f(2^x)的定义域是［-1，1］，求f(log₂x)的定义域.　

解 　(1)要使函数有意义，则只需要：　

解得-3＜x＜0或2＜x＜3.　

故函数的定义域是(-3,0)∪(2,3).

(2)∵y=f(2^x)的定义域是［-1，1］，即-1≤x≤1,∴≤2^x≤2.　

∴函数y=f(log₂x)中≤log₂x≤2.即log₂≤log₂x≤log₂4,∴≤x≤4.　

故函数f(log₂x)的定义域为［，4］