5.(2009北京卷理)在复平面内，复数对应的点位于　　　　　　 (　　 )

　 A．第一象限　　　　 B．第二象限　　 C．第三象限　　 D．第四象限 　　

　[解析] ∵，∴复数所对应的点为，故选B.

答案 B

4.(2009浙江卷文)设(是虚数单位)，则　　　　　　　　　 ( 　　)

A．　　　　　　 B．　　　　　　 C．　　　　　 D．

[解析]对于 　　　

答案　 D

3.(2009浙江卷理)设(是虚数单位)，则 　　　　　　　　　　　　　 (　 　)

　A．　 B．　　 C．　　 D． 　

　 　[解析]对于

答案　 D

2. (2009广东卷理)设是复数，表示满足的最小正整数，则对虚数单位，　　　　　　　　　　　　 　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　 (　　 )

A. 8　　　　　　 　B. 6 　　　　　　　C. 4　　　 　　　　D. 2

[解析]，则最小正整数为4，选C.

答案　 C

1.(2009年广东卷文)下列n的取值中，使=1(i是虚数单位)的是　　　　　　　 (　　 )

A.n=2　 　　　B .n=3　　 　　C .n=4　 　　　D .n=5

[解析]因为,故选C.

答案 C

2009年高考题

(三)　　　　 解答题

16、已知tan(α-β)=，tanβ=，α，β∈(-π，0)，求2α-β的值。

17、是否存在实数a，使得函数y=sin²x+acosx+在闭区间[0，]上的最大值是1？若存在，求出对应的a值。

　　 18、已知f(x)=5sinxcosx-cos²x+(x∈R)

(1)求f(x)的最小正周期；

(2)求f(x)单调区间；

(二)　　　　 填空题

11、函数f(x)=sin(x+θ)+cos(x-θ)的图象关于y轴对称，则θ=________。

12、已知α+β=，且(tanαtanβ+c)+tanα=0(c为常数)，那么tanβ=______。

13、函数y=2sinxcosx-(cos²x-sin²x)的最大值与最小值的积为________。

14、已知(x-1)²+(y-1)²=1，则x+y的最大值为________。

15、函数f(x)=sin3x图象的对称中心是________。

(一)　　　　 选择题

　　 1、下列函数中，既是(0，)上的增函数，又是以π为周期的偶函数是

A、y=lgx²　　　　 B、y=|sinx|　　　 C、y=cosx　　　 D、y=

2、如果函数y=sin2x+acos2x图象关于直线x=-对称，则a值为

A、　 -　　　　 B、-1　　　　　　 C、1　　　　　 D、

　　 3、函数y=Asin(ωx+φ)(A>0，φ>0)，在一个周期内，当x=时，y_max=2；当x=时，y_min=-2，则此函数解析式为

A、　　　　　　　　 B、

C、　　　　　　　　　 D、

4、已知=1998，则的值为

A、1997　　　　　 B、1998　　 　　　C、1999　　　　 D、2000

5、已知tanα，tanβ是方程两根，且α，β，则α+β等于

A、　　　　 B、或　　　 C、或　 D、

6、若，则sinx·siny的最小值为

A、-1　　　　　　 B、-　　　　　　 C、　　　　 D、

7、函数f(x)=3sin(x+10⁰)+5sin(x+70⁰)的最大值是

A、5.5　　　　　 B、6.5　　　　　　 C、7　　　　 　D、8

8、若θ∈(0，2π]，则使sinθ<cosθ<cotθ<tanθ成立的θ取值范围是

A、()　　　 B、()　　　 C、()　 D、()

9、下列命题正确的是

A、若α，β是第一象限角，α>β，则sinα>sinβ

B、函数y=sinx·cotx的单调区间是，k∈Z

C、函数的最小正周期是2π

D、函数y=sinxcos2φ-cosxsin2x的图象关于y轴对称，则，k∈Z

10、函数的单调减区间是

A、　 　　　　　　　B、

B、　 　　　　　　D、 k∈Z

例1、　 已知函数f(x)=

(1)求它的定义域和值域；

(2)求它的单调区间；

(3)判断它的奇偶性；

(4)判断它的周期性。

分析：

　 (1)x必须满足sinx-cosx>0，利用单位圆中的三角函数线及，k∈Z

∴ 函数定义域为，k∈Z

∵

∴ 当x∈时，

∴

∴

∴ 函数值域为[)

　 (3)∵ f(x)定义域在数轴上对应的点关于原点不对称

∴ f(x)不具备奇偶性

　 (4)∵ f(x+2π)=f(x)

∴ 函数f(x)最小正周期为2π

注；利用单位圆中的三角函数线可知，以Ⅰ、Ⅱ象限角平分线为标准，可区分sinx-cosx的符号；

以Ⅱ、Ⅲ象限角平分线为标准，可区分sinx+cosx的符号，如图。

例2、　 化简，α∈(π，2π)

分析：

凑根号下为完全平方式，化无理式为有理式

∵

∴ 原式=

∵ α∈(π，2π)

∴

∴

当时，

∴ 原式=

当时，

∴ 原式=

∴ 原式=

注：

　　 1、本题利用了“1”的逆代技巧，即化1为，是欲擒故纵原则。一般地有，，。

　　 2、三角函数式asinx+bcosx是基本三角函数式之一，引进辅助角，将它化为(取)是常用变形手段。特别是与特殊角有关的sin±cosx，±sinx±cosx，要熟练掌握变形结论。

例3、　 求。

分析：

原式=

注：在化简三角函数式过程中，除利用三角变换公式，还需用到代数变形公式，如本题平方差公式。

例4、已知0⁰<α<β<90⁰，且sinα，sinβ是方程=0的两个实数根，求sin(β-5α)的值。

分析：

由韦达定理得sinα+sinβ=cos40⁰，sinαsinβ=cos²40⁰-

∴ sinβ-sinα=

又sinα+sinβ=cos40⁰

∴

∵ 0⁰<α<β< 90⁰

∴

∴ sin(β-5α)=sin60⁰=

注：利用韦达定理变形寻找与sinα，sinβ相关的方程组，在求出sinα，sinβ后再利用单调性求α，β的值。

例5、(1)已知cos(2α+β)+5cosβ=0，求tan(α+β)·tanα的值；

　 (2)已知，求的值。

分析：

(1)从变换角的差异着手。

∵ 2α+β=(α+β)+α，β=(α+β)-α

∴ 8cos[(α+β)+α]+5cos[(α+β)-α]=0

展开得：

13cos(α+β)cosα-3sin(α+β)sinα=0

同除以cos(α+β)cosα得：tan(α+β)tanα=

(2)以三角函数结构特点出发

∵

∴

∴ tanθ=2

∴

注；齐次式是三角函数式中的基本式，其处理方法是化切或降幂。

例6、已知函数(a∈(0，1))，求f(x)的最值，并讨论周期性，奇偶性，单调性。

分析：

对三角函数式降幂

∴ f(x)=

令

则 y=a^u

∴ 0<a<1

∴ y=a^u是减函数

∴ 由得，此为f(x)的减区间

由得，此为f(x)增区间

∵ u(-x)=u(x)

∴ f(x)=f(-x)

∴ f(x)为偶函数

∵ u(x+π)=f(x)

∴ f(x+π)=f(x)

∴ f(x)为周期函数，最小正周期为π

当x=kπ(k∈Z)时，y_min=1

当x=kπ+(k∈Z)时，y_nax=

注：研究三角函数性质，一般降幂化为y=Asin(ωx+φ)等一名一次一项的形式。

同步练习