9.(04全国卷Ⅱ25)柴油打桩机的重锤由气缸、活塞等若干部件组成，气缸与活塞间有柴油与空气的混合物.在重锤与桩碰撞的过程中，通过压缩使混合物燃烧，产生高温高压气体，从而使桩向下运动，锤向上运动.现把柴油打桩机和打桩过程简化如下：　

柴油打桩机重锤的质量为m，锤在桩帽以上高度为h处(如图甲所示)从静止开始沿竖直轨道自由落下，打在质量为M(包括桩帽)的钢筋混凝土桩子上.同时，柴油燃烧，产生猛烈推力，锤和桩分离，这一过程的时间极短.随后，桩在泥土中向下移动一距离l.已知锤反跳后到达最高点时，锤与已停下的桩帽之间的距离也为h(如图乙所示).已知m=1.0×103　 kg,M=2.0×103 kg,h=2.0 m,l=0.20 m,重力加速度g取10 m/s2,混合物的质量不计.设桩向下移动的过程中泥土对桩的作用力F是恒力，求此力的大小.　

答案　 2.1×100　 N

解析　 锤自由下落，碰桩前速度v1向下　

v 1=　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　 ①　

碰后，已知锤上升高度为(h-l)，故刚碰后向上的速度为　

v2=　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　 ②　

设碰后桩的速度为v，方向向下，由动量守恒定律得　

mv1=Mv-mv2　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　 　　　 　 ③　

桩下降的过程中，根据功能关系　

Mv2+Mgl=Fl　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　 ④　

由①②③④式得　

F=Mg+ ()［2h-l+2］　　　　　　　　　　　　 ⑤　

代入数值，得　F=2.1×105 N　　　　　　　　　　　　　　　　　　　 ⑥　

8.(04江苏18)一个质量为M的雪橇静止在水平雪地上,一条质量为m的爱斯基摩狗站在该雪橇上.狗向雪橇的正后方跳下,随后又追赶并向前跳上雪橇;其后狗又反复地跳下、追赶并跳上雪橇,狗与雪橇始终沿一条直线运动.若狗跳离雪橇时雪橇的速度为v,则此时狗相对于地面的速度为v+u(其中u为狗相对于雪橇的速度,v+u为代数和.若以雪橇运动的方向为正方向,则v为正值,u为负值).设狗总以速度v′追赶和跳上雪橇,雪橇与雪地间的摩擦忽略不计.已知v′的大小为5 m/s,u的大小为4 m/s,M=30 kg,m=10 kg.?　

(1)求狗第一次跳上雪橇后两者的共同速度的大小;　

(2)求雪橇最终速度的大小和狗最多能跳上雪橇的次数;　

(供使用但不一定用到的对数值：lg2=0.301,lg3=0.477)　

答案　 (1)2 m/s　　 (2)5.625 m/s　　 3次

解析　 (1)设雪橇运动的方向为正方向,狗第1次跳下雪橇后雪橇的速度为v1,根据动量守恒定律,有　

Mv1+m(v1+u)=0　

狗第1次跳上雪橇时,雪橇与狗的共同速度v1′满足　

Mv1+mv′=(M+m)v1′

可解得v1′=

将u=-4 m/s,v′=5 m/s,M=30 kg,m=10 kg代入,得v1′=2 m/s.　

(2)解法一　 设雪橇运动的方向为正方向,狗第(n-1)次跳下雪橇后雪橇的速度为vn-1,则狗第(n-1)次跳上雪橇后的速度v(n-1)′满足

Mvn-1+mv′=(M+m)v(n-1)′

这样,狗n次跳下雪橇后,雪橇的速度vn满足

Mvn+m(vn+u)=(M+m)v(n-1)′　

解得　vn=(v′-u)［1-()n-1］- ()n-1

狗追不上雪橇的条件是vn≥v′

可化为()n-1≤

最后可求得n≥1+

代入n≥3.41　

狗最多能跳上雪橇3次　

雪橇的最终速度大小为v4=5.625 m/s.　

解法二　 设雪橇的运动方向为正方向,狗第i次跳下雪橇后,雪橇的速度为vi,狗的速度为vi+u;狗第i次跳上雪橇后,雪橇和狗的共同速度为vi′,由动量守恒定律可得　

第一次跳下雪橇 Mv1+m(v1+u)=0　v1=-=1 m/s?　

第一次跳上雪橇 Mv1+mv′=(M+m)v1′　

第二次跳下雪橇(M+m)v1′=Mv2+m(v2+u)　v2==3 m/s?　

第二次跳上雪橇 Mv2+mv′=(M+m)v2′　v2′=

第三次跳下雪橇 (M+m)v2′=Mv3+m(v3+u)　v3=

第三次跳上雪橇 Mv3+mv′=(M+m)v3′　v3′=

第四次跳下雪橇 (M+m)v3′=Mv4+m(v4+u)　v0==5.625 m/s?　

此时雪橇的速度已大于狗追赶的速度,狗将不可能追上雪橇.因此,狗最多能跳上雪橇3次,雪橇最终的速

度大小为5.625 m/s.　

4.0 m/s沿木板向前滑动,直到和挡板相碰.碰撞后,小物块恰好回到a端而不脱离木板.求碰撞过程中损失的机械能.　

答案　 2.4 J?　

解析　 设木板和物块最后共同速度为v,由动量守恒定律mv0=(m+M)v　

设全过程损失的机械能为E　

E=mv02-(m+M)v2　

用s1表示物块开始运动到碰撞前瞬间木板的位移,W1表示在这段时间内摩擦力对木板所做的功,用W2表示同样时间内摩擦力对物块所做的功.用s2表示从碰撞后瞬间到物块回到a端时木板的位移,W3表示在这段时间内摩擦力对木板所做的功,用W4表示同样时间内摩擦力对物块所做的功.用W表示在全过程中摩擦力做的总功,则

W1=μmgs1,W2=-μmg(s1+s),W3=-μmgs2　

W4=μmg(s2-s)　

W=W1+W+W3+W4　

用E1表示在碰撞过程中损失的机械能,则E1=E-W　

由上列各式解得E1=·v02-2μmgs　

代入数据得E1=2.4 J?

7.(04全国卷Ⅲ 25)如图,长木板ab的b端固定一挡板,木板连同挡板的质量为

M=4.0 kg,a、b间距离s=2.0 m.木板位于光滑水平面上.在木板a端有一小物

块,其质量m=1.0 kg,小物块与木板间的动摩擦因数μ=0.10,它们都处于静止状态.现令小物块以初速度v0=

6.(2004·广东·17)如图所示，轻弹簧的一端固定，另一端与滑块B相连，B静止在水平直导轨上，弹簧处在原长状态.另一质量与B相同的滑块A,从导轨上的P点以某一初速度向B滑行.当A滑过距离l1时,与B相碰,碰撞时间极短,碰后A、B紧贴在一起运动,但互不粘连.已知最后A恰好

返回到出发点P并停止.滑块A和B与导轨的动摩擦因数都为μ,运动过

程中弹簧最大形变量为l2,重力加速度为g.求A从P点出发时的初速度v0.　

答案　

解析　 令A、B质量皆为m,A刚接触B时速度为v1(碰前),由功能关系有:

mv02-mv12=μmgl1　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　 ①　

A、B碰撞过程中动量守恒,令碰后A、B共同运动的速度为v2,有

mv1=2mv2　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　 ②　

碰后,A、B先一起向左运动,接着A、B一起被弹回,当弹簧恢复到原长时,设A、B的共同速度为v3,在这过程中,弹簧势能始末两态都为零,利用功能关系,有　

×2mv22-×2mv32=2m×2l2μg　　　　　　　　　　　　　　 ③　

此后A、B开始分离,A单独向右滑到P点停下,由功能关系有

mv32=μmgl1　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　 ④　

由以上①②③④式,解得v0=

5.(04全国卷Ⅳ25)如图所示,在一光滑的水平面上有两块相同的木板B和C.重物A(视为质点)位于B的右端,A、B、C的质量相等.现A和B以同一速度滑向静止的C,B与C发生正碰.碰后B和C粘在一起运动，A在C上滑行,A与C有摩擦力.已知A滑到C的右端而未掉下.试问：

B、C发生正碰到A刚移动到C右端期间,C所走过的距离是C板长

度的多少倍？

　 答案　 倍

　 解析　　 设A、B、C的质量均为m.碰撞前,A与B的共同速度为v0,碰撞后B与C的共同速度为v1。对B、C,由动量守恒定律得　 mv0=2mv1　　 　　　　　 　　①

设A滑至C的右端时,三者的共同速度为v2.对A、B、C,由动量守恒定律得　

2mv0=3mv1　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　 　　 　　　 ②

设A与C的动摩擦因数为μ,从发生碰撞到A移至C的右端时C所走过的距离为S.对B、C由功能关系

μ(2m)gs=(2m)v22-(2m)v12　　　　　　　　　　　 ③

Μmg(s+l)= mv02-mv22　　　　　　　　　　　　　　　　 ④

由以上各式解得=

4.(04上海21)滑雪者从A点由静止沿斜面滑下,经一平台后水平飞离B点,

地面上紧靠平台有一个水平台阶,空间几何尺度如图所示.斜面、平台与滑雪

板之间的动摩擦因数均为μ.假设滑雪者由斜面底端进入平台后立即沿水平方

向运动,且速度大小不变.求:

(1)滑雪者离开B点时的速度大小；

(2)滑雪者从B点开始做平抛运动的水平距离s.

答案 (1)　

(2)当H-μL<2h时,s=当H-μL>2h时,s=2

解析　　 (1)设滑雪者质量为m,斜面与水平面间的夹角为θ,滑雪者滑行过程中克服摩擦力做功W=μmgs?cosθ+μmg(L-scosθ)=μmgL

由动能定理mg(H-h)-μmgL=mv2

离开B点时的速度v=

(2)设滑雪者离开B点后落在台阶上=gt12,s1=vt1<h

可解得s1=<h

此时必须满足H-μL<2h.

当H-μL>2h时,滑雪者直接落到地面上.h=gt22,s=vt2

可解得s=2

3.(04广东14)一质量为m的小球,以初速度v0沿水平方向射出,恰好垂直地射到一倾角为30°的固定斜面上,并立即沿反方向弹回.已知反弹速度的大小是入射速度大小的,求在碰撞过程中斜面对小球的冲量大小.

答案　

解析　 令小球与斜面相碰时速度大小为v,由题意可知,碰后的速度大小为v,因小球与斜面垂直相碰撞,后被反弹回,则碰撞中斜面对小球的冲量大小为I,(设定反弹回的速度方向为正)由动量定理得:

I=Δp=m×v-(-mv)=

又因小球水平的初速度为v0,由右图可得:v==2v0

所以碰撞中斜面对小球的冲量大小为:I==

2.(05北京春招24)下雪天,卡车在笔直的高速公路上匀速行驶.司机突然发现前方停着一辆故障车,他将刹车踩到底,车轮被抱死,但卡车仍向前滑行,并撞上故障车,且推着它共同滑行了一段距离l后停下.事故发生后,经测量,卡车刹车时与故障车距离为L,撞车后共同滑行的距离l=L.假定两车轮胎与雪地之间的动摩擦因数相同.已知卡车质量M为故障车质量m的4倍.　

(1)设卡车与故障车相撞前的速度为v1,两车相撞后的速度变为v2,求；

(2)卡车司机至少在距故障车多远处采取同样的紧急刹车措施,事故才能免于发生.　

答案　　 (1)　　 (2) L

解析　　 (1)由碰撞过程动量守恒知　

Mv1=(M+m)v2　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　 　　　 TH①　

则

(2)设卡车刹车前速度为v0,轮胎与雪地之间的动摩擦因数为μ,两车相撞前卡车动能变化　

Mv02-Mv12=μMgL　　　　　　　　　　　　 　　 　　　 ②　

碰撞后两车共同向前滑动到最后静止,动能变化　

(M+m)v22-0=μ(M+m)gl　　　　　　　　　　　　　　 ③　

由②式得v02-v12=2μgL　

由③式得v22=2μgl　

又因l=L,得v02=3μgL　

如果卡车滑到故障车前刚好停止,由　

Mv02-0=μMgL′　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　 ④　

故L′=L　

这意味着卡车司机在距故障车至少L处紧急刹车,事故就能够免于发生.　

1.(05广东18) 如图所示，两个完全相同的质量为m的木板A、B置

于水平地面上，它们的间距s=2.88 m.质量为2m、大小可忽略的物

块C置于A板的左端.C与A之间的动摩擦因数为μ1=0.22，A、B与水平地面之间的动摩擦因数为μ2=0.10，最大静摩擦力可认为等于滑动摩擦力.开始时，三个物体处于静止状态.现给C施加一个水平向右，大小为mg的恒力F，假定木板A、B碰撞时间极短且碰撞后粘连在一起.要使C最终不脱离木板，每块木板的长度至少应为多少？　

答案　 0.3 m?

解析　 设A、C之间的滑动摩擦力大小为f1，A与水平地面之间的滑动摩擦力大小为f2　

∵μ1=0.22,μ2=0.10　

∴F=mg＜f1=2μ1mg　

且F=mg＞f2=μ2(2m+m)g　

∴一开始A和C保持相对静止，在F的作用下向右加速运动，有　

(F-f2)·s=(2m+m)v12

A、B两木板的碰撞瞬间，内力的冲量远大于外力的冲量，A、B组成的系统动量守恒，由动量守恒定律得：

mv1=(m+m)v2

碰撞结束后三个物体达到共同速度的相互作用过程中，设木板向前移动的位移为x1，选三个物体构成的整体为研究对象，外力之和为零，则　

2mv1+(m+m)v2=(2m+m+m)v3　

设A、B系统与水平地面之间的滑动摩擦力大小为f3，对A、B系统，由动能定理　

f1·s1-f3·s1=·2mv32-·2mv22　

f3=μ2(2m+m+m)g　

对C物体，由动能定理　

F·(2l+x1)-f1·(2l+x1)= ·2mv32-·2mv12　

由以上各式、再代入数据可得l=0.3 m