4.取特殊位置

例7.(2008宁夏区银川一中)如图，边长为的正中线与中位线相交于，已知是绕旋转过程中的一个图形，现给出下列命题，其中正确的命题

有　　　　　　　　　　 (填上所有正确命题的序号)　　　　　　　

(1)动点在平面上的射影在线段上；

(2)三棱锥的体积有最大值；

(3)恒有平面平面；

(4)异面直线与不可能互相垂直；

分析:由于是绕旋转过程中的一个图形,可以转动到特殊位置,需要考虑特殊情况.

解: 不论怎样转动,,(1)(3)正确,(2)不再变化,当高最大时,三棱锥的体积有最大值,即当时, 三棱锥的体积有最大值也正确,(4)不正确,由三垂线定理知,当在平面内的射影与平行时就一定垂直.

评注:特殊位置法是解决变化的图形的一种策略,要想到一些特殊位置.

例8.(福建省八闽高中)某校高三年级老师到外校参观学习2天，留下6位老师值班，记每天上午、下午、晚上各为一“工作时”，则每位老师必须且只需值班一个“工作时”，由于有事，甲老师不能值晚班，乙老师不能值下午班，那么年级值班排法共有…………………………………(　　 )

A．288种　　　　 B．312种　　　　　 　C．336种 　　　　　D．360种

分析：甲老师、乙老师都有特殊要求，应该先满足他们的特殊要求先排，如果先排甲老师，则由于他排在上午和下午会影响到乙老师的排法，所以需要分类讨论。

解：先排甲老师有两种情况，(1)甲老师排在上午值班，有2种方法，乙老师排在晚上值班也有2种方法，其余4位老师有种方法，共2×2×24=96种方法。(2)甲老师排在下午值班，有2种方法，乙老师与其他4位老师随便排都可以，有种方法，共有240种方法；由(1)(2)可知共336种方法。

评注：本题为排列组合的特殊元素和特殊位置题，按特殊元素和特殊位置优先的原则，分情况讨论。

3．取特殊数列

例6.(2008四川卷，理7)已知等比数列中，则其前3项的和的取值范围是(　 　)

　(A)　　　　　　　　 (B)　

　(C)　　　　　　　　　 (D)

分析：本题中的等比数列只知道，如果再知道公比，数列就可以确定，而选项是范围问题，可取定公比加以排除。

解法一：∵等比数列中 ∴当公比为1时，， ；

　　　　 当公比为时，， 从而淘汰(A)(B)(C)

故选D；

解法二：∵等比数列中 ∴

　 ∴当公比时，；

　 当公比时，　

∴　 故选D；

评注：取特殊数列入手淘汰，如果一次不能区分，则需多次取有区分度的值进行排除，直至能辨别出正确答案为止，也可多种方法并存。要重视等比数列的通项公式，前项和公式，以及均值不等式的应用，特别注重均值不等式使用的条件是否具备，不具备就要进行分类讨论。

2．取特殊函数

例4．(2008陕西卷，理11.改编)定义在上的函数满足()，，则等于(　　 )

A．2　　　　　　　　　 B．3　　　　　　　　　 C．6　　　　　　　　　 D．9

分析：由及，可令为特殊值，求出，

再取特值研究函数的奇偶性；或直接取满足条件的特殊函数解答。

解法一：取，则满足和，∴，选D

解法二：中，令，得，再令得，再令，得，令得，，再令，得，选D

评注:对于抽象函数来说,取特殊值和取特殊函数是常用的方法.

例5.(取特殊函数的三角题)

1.取特殊数值

例1．(2008重庆卷,理6)若定义在上的函数满足：对任意有,则下列说法一定正确的是(　　　　　 )

(A) 为奇函数(B)为偶函数(C) 为奇函数(D)为偶函数

分析：判断函数的奇偶性需要用定义，即找与之间的关系，由于所以需要先求出的值，这时需要取特殊值解答。

解：令，得，令得∴，∴为奇函数，故选　　　　

答案：

评注：在对于抽象函数来说，常常通过取特殊值研究函数的奇偶性。

例2.若，则下列代数式中值最大的是

A．　　　 B．　　　 C．　　　 D．

分析：本题比较大小，可以取特殊值，也可以作差比较，还可以用基本不等式或排序不等式。

解法一：特殊值法.取，通过计算比较最大。选A

解法二：

解法三：根据排序不等式知 　、 　、中，最大，再取特值比较与

答案： A.

评注：本题中有多种做法，其中取特殊值法最简单，最直接。

例3(2008福建德化一中，理)已知对一切实数都有，且当＞时，＜

(1)证明为奇函数且是上的减函数；　　　　　　　　　

(2)若关于的不等式对一切恒成立，求m的取值范围；

(3)如果，，记数列的前n项和分别为，求证

分析：本题中的函数为抽象函数，可通过取特殊值研究函数的单调性，再利用函数的单调性把不等式转化，得到关于的不等式恒成立，有函数求的最值解答，

(1)证明:依题意取

∴　 又取可得

∴ 由x的任意性可知为奇函数

又设

∴

∵ ∴　 ∴在R上减函数

(2)解：∵函数是奇函数，∴由

得

∴即

又∵是上的减函数　 ∴恒成立

当时，，故此时的最小值为，

∴

(3)∵　 ∴

又，∴数列是以1为首项，以1为公差的等差数列，

∴，　　 要证明不等式，即是证明

也就是证明由柯西不等式得

要使不等式取得等号，当且仅当，而这是不可能成立的。

∴当时，，即

评注：研究抽象函数的单调性常用取特殊值法，本题较为综合的考查了抽象函数的单调性以及利用函数的单调性解得不等式及函数的最值，还有把函数问题转化为数列，最终利用柯西不等式证出。

(二)考点预测题

1．(2007天津 理工13)设等差数列的公差是2，前项的和为，则　　　 ．

[解析]本题设出首项，表示出通项和前和(有限项)，然后代入求极限.而在求极限的时候，利用到已经掌握的极限知识和，其中为常数.

[答案]设首项为，则，

，

.

2.(2008山东卷 文20)将数列中的所有项按每一行比上一行多一项的规则排成如下数表：

．．．．．．

记表中的第一列数构成的数列为，．为数列的前项和，且满足．

(Ⅰ)证明数列成等差数列，并求数列的通项公式；

(Ⅱ)上表中，若从第三行起，每一行中的数按从左到右的顺序均构成等比数列，且公比为同一个正数．当时，求上表中第行所有项的和．

[解析]第(Ⅰ)问从无穷数列中抽出它的一个无穷的子数列，由与的递推关系式消去，从而证明是无穷的等差数列. 第(Ⅱ)问就是求从第三行起的每一行所有的这些无穷多项的和.

[答案](Ⅰ)证明：由已知，当时，，

又，所以，

即，所以，

又．所以数列是首项为1，公差为的等差数列．

由上可知，即．

所以当时，．

因此

(Ⅱ)解：设上表中从第三行起，每行的公比都为，且．

因为，所以表中第1行至第12行共含有数列的前78项，

故在表中第13行第三列，因此．

又，所以．

记表中第行所有项的和为，

则

(一)考点预测

根据近几年各地高考试题和模拟试题来看，有限与无限的思想逐年增加考查广度，我们认为2009年的高考一定会有更多的体现.在题型上来看，热点问题仍然是以数列为载体考查极限的知识和用数学归纳法证题.

2．(安徽省皖南八校2008届高三第三次联考，数学，18)数列的首项=1，前项和为满足(常数，)．

　　 (1)求证：数列是等比数列.

　　 (2)设数列的公比为，作数列，使，(2，3，4，…)

求数列的通项公式；

　　 (3)设，若存在，且；使(…)，试求的最小值．

[解析]第(1)问通过对递推关系式的变形得到相邻两项的比，正是利用这两个有限项的比是非零常数来证明该数列是等比数列的.第(2)问也是通过对递推关系式(无限的问题)的变形来求通项公式的(无限的问题).第(3)问通过抓住通项来求有限项的极限，再根据这个极限求出的最小值.

[答案] 解：(1) ①

　　 当时， ②

①-②得，即

　　 由①, 　，∴，

　　 又符合上式，∴是以1为首项，为公比的等比数列．

(2)由(1)知，∴()，

∴.又，即，，

∴数列是为1首项，为公比的等比数列．

∴，∴．

(3)由(2)知，则.

∴…=

=，

∴，∴. 　 ∵，∴，.

又∵，∴的最小值为7.

1.(福建省泉州一中2008届高三毕业班第二次模拟检测，数学，22)数列中，，

　(为常数，) ，且

(1)求的值；

(2)① 证明：；

② 猜测数列是否有极限？如果有，写出极限的值(不必证明)；

(3)比较与的大小，并加以证明.

[解析]第(1)问由通项公式(揭示无限问题)求出有限项后可得的值；第(2)问通过对有限项的处理证明出结论，从而可猜出的极限；第(3)问对得到的递推关系式进行变形，再用作差法求解，需要用到数学归纳法证得.然后通过前几项(有限项)的比较与第(2)问已证的单调性得到结果.

[答案](Ⅰ)依题意，

由，得，解得，或(舍去).　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　

(Ⅱ)① 证明：因为，

当且仅当时，.因为，所以，即　 ().

　　 　② 数列有极限,且 .　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　 　

(Ⅲ)由，可得，从而.

因为，所以

所以

因为，由(Ⅱ)① 得 　().　 (*)

下面用数学归纳法证明：对于任意，有成立.

当时，由，显然结论成立.

假设结论对时成立，即

因为，且函数在时单调递增，

所以.即当时，结论也成立. 于是，当时，有成立. (**)

根据(*)及(**)得 .　　　

由 及， 经计算可得

所以，当时， ；当时，；

当时，由，得

所以.　　　

3.(2008辽宁卷21)在数列，中，a₁=2，b₁=4，且成等差数列，成等比数列().

(Ⅰ)求a₂，a₃，a₄及b₂，b₃，b₄，由此猜测，的通项公式，并证明你的结论；

(Ⅱ)证明：．

[解析]第(Ⅰ)问由题设可得两个数列的递推关系式，进而得到两个数列的前几项(有限项) ，可以猜出两者的通项公式(无限的问题)，再用数学归纳法证明这个无限的问题.第(Ⅱ)问可以通过研究通项公式(无限的问题)直接解决无限的问题.

[答案](Ⅰ)由条件得，由此可得

．猜测．

下面用数学归纳法证明：

①当n=1时，由上可得结论成立．

②假设当n=k时，结论成立，即，

那么当n=k+1时，,

所以当n=k+1时，结论也成立．

由①②，可知对一切正整数都成立．

(Ⅱ)．n≥2时，由(Ⅰ)知．

故

.

综上，原不等式成立．

2. (2005年福建卷，理，22) 已知数列满足,我们知道当a取不同的值时，得到不同的数列，如当时，得到无穷数列：当时,得到有穷数列：.

(Ⅰ)求当为何值时；

(Ⅱ)设数列满足, ，求证：取数列中的任一个数，都可以得到一个有穷数列；

(Ⅲ)若，求的取值范围.

[解析]　 这是一道蕴含有限与无限的思想的典型试题. 对于题设的递推关系，随着所给出的初始条件不同，得到的数列既可能是无限数列也可能是有限的数列，第(Ⅱ)问则可以通过有有限次的试验，得出对无限个都可以得到一个有穷数列{a_n}的猜想，再用数学归纳法进行证明.或者通过对有限问题的推理直接得到无限问题的解答.第(Ⅲ)问是把对无限个都成立的结果，通过有限次分析获得解决.

[答案](Ⅰ)

(Ⅱ) 解法一：,,

当时, ,

当时,,,

当时,,.

一般地, 当时,可得一个含有项的有穷数列.

下面用数学归纳法证明.

(1)　　 当时, ,显然,可得一个含有2项的有穷数列

(2)　　 假设当时,,得到一个含有项的有穷数列,其中

,则时,,,

　　 由假设可知, 得到一个含有项的有穷数列,其中.

所以,当时, 可以得到一个含有项的有穷数列,,其中

由(1),(2)知,对一切,命题都成立.

解法二：

故取数列中的任一个数，都可以得到一个有穷数列.

(Ⅲ)即,

所以要使,当且仅当它的前一项满足.

由于,所以只须当时,都有

由,得, 解得.