1. 转化运算．

例1.若动直线与函数和的图像分别交于两点，则的最大值为(　　 )

A．1　　　　　　　　　 B．　 　　　　 C．　　　　　　 D．2

分析: 动直线与函数和的图像分别交于两点, 横坐标相同，那么就是纵坐标之差，即求最值。

解: 最大值为

评注:审题要审准，读懂题意，将问题学会转化。

例2．(2008湖北卷，理14)已知函数,等差数列的公差为.若,则　　　 .

分析：题目中的已知条件很容易求得，而所求的为可以转化为等差数列的前10项之和，根据公差，可以把前10项之和转化为用表示出来，从而求得。

解：由和知，

=

评注：仔细分析题目，把运算进行转化，可以大大地节省时间，提高做题的效率。本题中把等差数列的前10项之和转化为用表示出来，比较快捷，减少计算量。

[例6]数列{a_n}，a₁=1，

　 (1)求a₂，a₃的值；

　 (2)是否存在常数，使得数列是等比数列，若存在，求出的值；若不存在，说明理由；

　 (3)设，

证明：当

命题意图：数列的综合问题主要考点是数列、导数、不等式、数学归纳法，重点是综合、灵活运用数学知识分析、解决问题的能力，充分体现考生的综合数学素质。

解：(1)

　 　(2)设，

即

故

∴

又　 使得数列 是等比数列

(3)证明：由(1)得

∴，故

∵

∴

，现证

当n=2时，，

故n=2时不等式成立，当得

∵

评注：数列解答题的命题热点是与不等式交汇,主要是呈现递推关系的综合性试题，其中,以函数与数列、不等式为命题载体,有着高等数学背景的数列解答题是未来高考命题的一个新的亮点,而命题的冷门则是数列的应用性解答题.

跟踪训练6．(本小题满分12分)在直角坐标平面上有一点列 对一切正整数n，点P_n在函数的图象上，且P_n的横坐标构成以为首项，－1为公差的等差数列{x_n}.

　 (1)求点P_n的坐标；

　 (2)设抛物线列C₁，C₂，C₃，…，C_n，…中的每一条的对称轴都垂直于x轴，抛物线C_n的顶点为P_n，且过点D_n(0，).记与抛物线C_n相切于点D_n的直线的斜率为k_n，求

　 (3)设等差数列的任一项，其中是中的最大数，，求数列的通项公式.

[例5]已知抛物线，过定点的直线交抛物线于A、B两点.

　 (Ⅰ)分别过A、B作抛物线的两条切线，A、B为切点，求证：这两条切线的交点在定直线上.

　 (Ⅱ)当时，在抛物线上存在不同的两点P、Q关于直线对称，弦长|PQ|中是否存在最大值？若存在，求其最大值(用表示)，若不存在，请说明理由.

命题意图：圆锥曲线的综合问题主要考点是双曲线、抛物线、椭圆相结合，重点是圆锥曲线

的统一定义，点、弦、面积、取值范围、定值，函数与方程思想、数形结合思想。

[分析及解](Ⅰ)由，得，设

过点A的切线方程为：，即

同理求得过点B的切线方程为：

∵直线PA、PB过，∴,

∴点在直线上，∵直线AB过定点，

∴，即∴两条切线PA、PB的交点在定直线上.

　 (Ⅱ) 设，设直线的方程为：，

则直线的方程为：，

，

，　　　　　　　 ①

设弦PQ的中点，则

∵弦PQ的中点在直线上，∴，

即　　　 ②

②代入①中，得　　　　　　 ③

由已知，当时， 弦长|PQ|中不存在最大值.

当时，这时，此时，弦长|PQ|中存在最大值，

即当时，弦长|PQ|中的最大值为

评注：圆锥曲线的试题涉及到函数、方程、导数、不等式、三角、向量、数列等各章节的知识，常把代数、三角、向量、数列、导数等知识交汇在一起成为典型题。而求曲线方程、弦长、角、面积、最值、轨迹、参数的值或取值范围，证明某种关系、证明定值、探索型、存在性讨论等问题是常考的题型，具有一定的综合性和灵活性，计算也较复杂，需要有较强的综合能力。解题中需用到函数与方程思想、分类讨论思想、数形结合思想、转化与划归思想。

跟踪训练5．(本小题满分12分)

已知椭圆C:(a＞b＞0)，点F₁、F₂分别是椭圆的左、右焦点，点P(2,)在直线x=上，且|F₁F₂|=|PF₂|,直线:y=kx+m为动直线，且直线与椭圆C交于不同的两点A、B。

　 (Ⅰ)求椭圆C的方程；

　 (Ⅱ)若在椭圆C上存在点Q，满足(O为坐标原点)，求实数的取值范围；

(Ⅲ)在(Ⅱ)的条件下，当取何值时，△ABO的面积最大，并求出这个最大值．

[例4]已知

　 (1)若存在单调递减区间，求的取值范围；

　 (2)若时，求证成立；

　 (3)利用(2)的结论证明：若

命题意图：函数与导数的综合问题主要考点是函数、导数、单调性、极值、切线、不等式，重点是三次或含自然对数的函数的导数、单调性、极值、切线、不等式(主要是恒成立、能成立或利用导数证明不等式问题)。属高档题的范畴，考查交汇知识综合处理能力。解题中需用到函数与方程思想、分类讨论思想、数形结合思想、转化与划归思想

[分析及解](1)

　 ，有单调减区间，∴ 有解

　　 ， ∴有解

　　 ①时合题意

②时，，即， ∴的范围是

　 (2)设， ，

		0
	+	0	-
		最大值

　　 ∴有最大值0，∴恒成立

即成立

(3)

，∴求证成立

评注：导数是研究函数的工具，导数进入新教材之后，给函数问题注入了生机和活力，开辟了许多解题新途径，拓展了高考对函数问题的命题空间。所以把导数与函数综合在一起是顺理成章的事情，对函数的命题已不再拘泥于一次函数，二次函数，反比例函数，指数函数，对数函数等，对研究函数的目标也不仅限于求定义域，值域，单调性，奇偶性，对称性，周期性等，而是把高次多项式函数，分式函数，指数型，对数型函数，以及初等基本函数的和、差、积、商都成为命题的对象，试题的命制往往融函数，导数，不等式，方程等知识于一体，通过演绎证明，运算推理等理性思维，解决单调性，极值，最值，切线，方程的根，参数的范围等问题，这类题难度很大，综合性强，内容新，背景新，方法新，是高考命题的丰富宝藏。通过构造函数，以导数为工具，证明不等式，解题技巧是构造辅助函数，把不等式的证明转化为利用导数研究函数的单调性或求最值，从而证得不等式，而如何根据不等式的结构特征构造一个可导函数是用导数证明不等式的关键。

跟踪训练4．(本小题满分12分)已知函数

　 (I)当的单调区间和极值；

　 (II)若函数在[1，4]上是减函数，求实数a的取值范围.

　 [例3]如图所示，已知ABCD是正方形，PD⊥平面ABCD，

PD=AD=2.

　　 (1)求异面直线PC与BD所成的角；

　　 (2)在线段PB上是否存在一点E，使PC⊥平面ADE？

　　　　 若存在，确定E点的位置；若不存在，说明理由.

　 命题意图：立体几何问题主要考点是底面为四边形的柱体或锥体或折叠问题，主要考距离、二面角、线面垂直、平行。重点是处理空间线、面关系的能力，运动的观点、探究、开放的思想(存在性问题)。从这个角度来看，变化并不大，题目的难度也不大，属中档题的范畴，但是还要关注立体几何试题命题的一些变化趋势，关注试题的创新。因此，立体几何的复习要在强化常规题训练和关注试题创新这两个方面下功夫。本题一道已从解决现成问题发展为探究问题的存在性,解决问题的尝试性。

[分析及解]如图建立空间直角坐标系，则D(0，0，0)，

A(2，0，0)，C(0，2，0)，P(0，0，2)，B(2，2，0)，

　 (1)

　 ∴

　 ∴ ，∴异面直线PC与BD所成的角为60°

(2)假设在PB上存在E点，使PC⊥平 ADE，记

　 ∴ 若PC⊥平面ADE，则有PC⊥AE，

即，∴　　　

∴存在E点且E为PB的中点时，PC⊥平面ADE.

评注：立体几何的试题考查的核心和热点仍然是考查空间图形的线面关系及几何量的计算，即围绕平行，垂直，距离和角的问题进行命题设计，其中平行和垂直是线面的位置关系，距离和角是线面的数量关系，在试题设计时，仍然是以正方体，长方体，棱柱，棱锥为载体，在解法上，则注意解法的多样化，对于一道立体几何试题，往往既能用传统方法求解又能用向量方法求解，有的题目可以用两种方法结合求解。有些立体几何试题,已经不是单一的几何背景,还涉及到解析几何,方程,不等式,最值,概率等其它数学分支,从而考查综合运用数学知识和技能的灵活性.

跟踪训练3．(本小题共12分)在三棱锥中，，

.

　 (Ⅰ)证明：⊥；

　 (Ⅱ)求二面角A-BC-S的大小；

　 (Ⅲ)求直线AB与平面SBC所成角的正弦值.

[例1]已知函数

　 (Ⅰ)求函数f(x)的最小正周期和最小值；

　 (Ⅱ)在给出的直角坐标系中，

画出函数上的图象.

命题意图：三角与三角函数的综合问题主要考点是三角变换、图像、解析式、向量或三角应用题，重点是三角、向量基本知识的综合应用能力。数形结合、函数与方程思想、化归转化的思想是解决三角函数问题时经常使用的基本思想方法。属于基础题或中档题的层面，高考中一定要尽量拿满分。

　 [分析及解](Ⅰ)

　　 　所以，的最小正周期，最小值为

(Ⅱ)列表：

x	0
		2	0	－2	0

故画出函数上的图象为

评注：三角函数的训练应当立足课本，紧扣高考真题，不需要加深加宽．解答三角函数考题的关键是进行必要的三角恒等变形，其解题通法是：发现差异(角度，函数，运算)，寻找联系(套用、变用、活用公式，技巧，方法)，合理转化(由因导果，由果探因)．其解题技巧有：常值代换：特别是用“1”的代换；项的分拆与角的配凑；化弦(切)法；降次与升次；引入辅助角：asinθ+bcosθ=sin(θ+)，这里辅助角所在象限由a、b的符号确定，角的值由确定．此类题目的特点是主要考查三角函数的概念、周期性、单调性、有界性、“五点法”作图，以及求三角函数的最大(最小)值等.

跟踪训练1．(本小题满分12分)设函数,其中向量, ,x∈R.

　 (I)求的值及函数的最大值；

　 (II)求函数的单调递增区间.

7．预测题

(1)(07天津)在上定义的函数是偶函数，且，若在区间是减函数，则函数(　　　 )

A.在区间上是增函数，区间上是增函数

B.在区间上是增函数，区间上是减函数

C.在区间上是减函数，区间上是增函数

D.在区间上是减函数，区间上是减函数

分析：本题为抽象函数，可以从函数的性质入手，研究函数的单调性和周期以及图象。也可以具体化，把一般转为特殊，取符合条件的特殊的例子解答。

解法一：因为函数在上是偶函数，在区间是减函数，可知函数在区间上是增函数，并且，由此知为以2为周期的周期函数，所以在区间上的单调性与在区间是一致的，是减函数。故选B

解法二：由知函数图象关于对称，又因为函数在上是偶函数，图象又关于对称，于是可以作如图所示的示意图。

从图中判断，选择B。

答案：B

评注：解法一利用性质解答，解法二把一般转化为特殊，

结合图形一目了然，不适为好的方法。

(2)(原创)过抛物线的焦点，作直线与此抛物线相交于两点P和Q，那么线段PQ中点的轨迹方程是(　 )

(A) 　(B) 　(C)　 (D)

分析：本题中的直线任意，可以先取特殊情况，当线段PQ为抛物线的通径时，其中点就是焦点，即焦点应在所求的轨迹上适合方程。

解：(特殊点筛选法)抛物线的焦点为，直线过抛物线的焦点，当时，线段PQ中点为由已知可知轨迹曲线的顶点为 ，开口向上，由此排除答案A、C、D，所以选B；

另解：(直接法)抛物线的焦点为，设过焦点的直线，则，消y得：，中点坐标有，消得，选B.

评注：通过比较即可看出取特殊位置时解法比较简单。

(3)设，则大小关系是______________；

分析：已知条件中的任意，可以取特殊值进行比较。

解：考虑到三个数的大小关系是确定的，不妨令：，

评注：利用取特殊值法时，所取的值要满足条件、简单而且便于计算，有区分度才有利于解答问题。

(4)．设是公比为的等比数列，是它的前项和，若是等差数列，则=______________；

分析：由于等比数列的前项和公式使用时需要分两种情况，当时和当时，所以首先想到

解：因为非零的常数列是公比为1的等比数列，且前n项和数列{nc}是公差为的等差数列，可知q=1。

评注：注意有些问题的出发点往往很简单，但如果直接计算则相当的麻烦，可以从特殊值或特殊数列入手解答问题。

(5)由下列各式：

你能得出怎样的结论，并进行证明。

分析：对所给各式进行比较观察，注意各不等式左边的最后一项的分母特点：，，，，…，一般地， 第个式子的最后一项的分母为，对应各式右端为。

解：归纳得一般结论

证明：当n=1时，结论显然成立.

当n≥2时，

故结论得证。　　　　　　　　　　　

评注：本题由特殊归纳出一般性的结论，在归纳时要总结每个式子的特点，随着序号发生怎样地变化，得出结论后，又用放缩法给出证明，也可以用数学归纳法给出证明。

(6)．设二次函数满足条件：

①当时，，且；

②当时，

③在上的最小值为0。

求最大值，使得存在，只要，就有

分析：本题先根据题设求出函数解析式，然后假设存在，取得的范围，再令求出的取值范围，进而根据的范围求出的最大值。

解法一：∵，∴函数的图象关于对称

　　 ∴ 即

由③知当时,，即；

由①得 ，由②得 。

∴，即，

又，∴，

∴，

假设存在，只要，就有，

取时，有，

对固定的，取，有：

，

　∴≤=9，

当时，对任意的，

恒有，

∴的最大值为9。

解法二：∵，∴函数的图象关于对称

　　 ∴ 即

由③知当时,，即；

由①得 ，由②得 。

∴，即，

又，∴，

∴，

　 由 在上恒成立

　 ∴当时，恒成立；

　 令 有

令有当时，恒有解；

令得，，

即当时，任取恒有，

∴

评注：本题属于存在性探索问题，处理这道题的方法就是通过的特殊值得出的大致范围，然后根据的范围，再对取特殊值，从而解决问题。

6．由一般到特殊和由特殊到一般

例10．(2008湖北卷，理15)观察下列等式：

……………………………………

可以推测，当≥2()时，　　　　　

　　　　　 .，0

分析：本题为找规律题，可以纵观全局，就会发现这些式子的特点，纵向观察，找出规律和共性，得到答案。

解：纵向观察每个式子的第一项，可知再看每个式子的第二项，都是，所以，同理，，0

答案：，0

评注：本题是由特殊到一般，需要观察归纳总结规律。

例11．(2008辽宁卷，理21)在数列，中，a₁=2，b₁=4，且成等差数列，成等比数列()

(Ⅰ)求a₂，a₃，a₄及b₂，b₃，b₄，由此猜测，的通项公式，并证明你的结论；

(Ⅱ)证明：．

分析：由已知条件可先算出前几项，再归纳总结，用数学归纳法证明。

解：(Ⅰ)由条件得

由此可得

．猜测．

用数学归纳法证明：

①当n=1时，由上可得结论成立．

②假设当n=k时，结论成立，即

，

那么当n=k+1时，

．

所以当n=k+1时，结论也成立．

由①②，可知对一切正整数都成立．

(Ⅱ)．

n≥2时，由(Ⅰ)知．

故

综上，原不等式成立．

评注：本小题主要考查等差数列，等比数列，数学归纳法，不等式等基础知识，考查综合运用数学知识进行归纳、总结、推理、论证等能力．注意不等式的变换技巧。

例12．已知函数的图象如图所示，则满足的关系是(　　 )

A．　　　　　　　　　 B．

C．　　　　　　　 D．

由图可知函数为增函数，所以取得，∴故选A

答案：A

评注：本题采用数形结合，利用取特殊点的办法解决问题，比较简捷。

5．取特殊的点

例9．(2009山东文登三中)已知函数，则的图象是(　 )

A　　　　　　 　　　B　　　　　 　　　　C　　　　　 　　　　D

分析：可以根据已知函数写出所研究的函数，没有必要画出函数图象，只需取特殊点就可以判断。

解：由已知得取特殊值和时，图象所过的点为，结合图形知选D。

答案：D

评注：因为选项中的各图都有区别，可以取特殊值加以辨别。