摘要：取特殊数值 例1．若定义在上的函数满足:对任意有,则下列说法一定正确的是 (A) 为奇函数(B)为偶函数(C) 为奇函数(D)为偶函数 分析:判断函数的奇偶性需要用定义.即找与之间的关系.由于所以需要先求出的值.这时需要取特殊值解答. 解:令.得.令得∴.∴为奇函数.故选 答案: 评注:在对于抽象函数来说.常常通过取特殊值研究函数的奇偶性. 例2.若.则下列代数式中值最大的是 A． B． C． D． 分析:本题比较大小.可以取特殊值.也可以作差比较.还可以用基本不等式或排序不等式. 解法一:特殊值法.取.通过计算比较最大.选A 解法二: 解法三:根据排序不等式知 . .中.最大.再取特值比较与 答案: A. 评注:本题中有多种做法.其中取特殊值法最简单.最直接. 例3已知对一切实数都有.且当＞时.＜ (1)证明为奇函数且是上的减函数, (2)若关于的不等式对一切恒成立.求m的取值范围, (3)如果..记数列的前n项和分别为.求证 分析:本题中的函数为抽象函数.可通过取特殊值研究函数的单调性.再利用函数的单调性把不等式转化.得到关于的不等式恒成立.有函数求的最值解答. (1)证明:依题意取 ∴ 又取可得 ∴ 由x的任意性可知为奇函数 又设 ∴ ∵ ∴ ∴在R上减函数 (2)解:∵函数是奇函数.∴由 得 ∴即 又∵是上的减函数 ∴恒成立 当时..故此时的最小值为. ∴ (3)∵ ∴ 又.∴数列是以1为首项.以1为公差的等差数列. ∴. 要证明不等式.即是证明 也就是证明由柯西不等式得 要使不等式取得等号.当且仅当.而这是不可能成立的. ∴当时..即 评注:研究抽象函数的单调性常用取特殊值法.本题较为综合的考查了抽象函数的单调性以及利用函数的单调性解得不等式及函数的最值.还有把函数问题转化为数列.最终利用柯西不等式证出.

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