摘要：若a=“向东走8 km .b=“向北走8 km .则|a+b|= .a+b的方向是 . 解析:|a+b|==8(km). 答案:8 km 东北方向 ●典例剖析 [例1] 已知向量a.b满足|a|=1.|b|=2.|a-b|=2.则|a+b|等于 A.1 B. C. D. 剖析:欲求|a+b|.一是设出a.b的坐标求.二是直接根据向量模计算. 解法一:设a=(x1.y1).b=(x2.y2).则x12+y12=1.x22+y22=4.a-b=(x1-x2.y1-y2). ∴(x1-x2)2+(y1-y2)2=4. ∴x12-2x1x2+x22+y12-2y1y2+y22=4. ∴1-2x1x2-2y1y2=0.∴2x1x2+2y1y2=1. ∴(x1+x2)2+(y1+y2)2=1+4+2x1x2+2y1y2=5+1=6. ∴|a+b|=. 解法二:∵|a+b|2+|a-b|2=2(|a|2+|b|2). ∴|a+b|2=2(|a|2+|b|2)-|a-b|2 =2(1+4)-22=6. ∴|a+b|=.故选D. 深化拓展 此题也可以利用“解斜三角形 的方法进行处理. [例2] 如图.G是△ABC的重心.求证:++=0. 剖析:要证++=0.只需证+=-.即只需证+与互为相反的向量. 证明:以向量.为邻边作平行四边形GBEC.则+==2.又由G为△ABC的重心知 =2.从而=-2. ∴++=-2+2=0. 评述:向量的加法可以用几何法进行.正确理解向量的各种运算的几何意义.能进一步加深对“向量 的认识.并能体会用向量处理问题的优越性. 深化拓展 此题也可用向量的坐标运算进行证明. [例3] 设.不共线.点P在AB上.求证:=λ+μ且λ+μ=1.λ.μ∈R. 剖析:∵点P在AB上.可知与共线.得=t.再用以O为起点的向量表示. 证明:∵P在AB上.∴与共线. ∴=t.∴-=t(-). ∴=+t-t=(1-t)+t. 设1-t=λ.t=μ.则=λ+μ且λ+μ=1.λ.μ∈R. 评述:本例的重点是考查平面向量的基本定理.及对共线向量的理解及应用. 深化拓展 ①本题也可变为.不共线.若=λ+μ.且λ+μ=1.λ∈R.μ∈R.求证:A.B.P三点共线. 提示:证明与共线. ②当λ=μ=时.=(+).此时P为AB的中点.这是向量的中点公式. [例4] 若a.b是两个不共线的非零向量(t∈R). (1)若a与b起点相同.t为何值时.a.tb.(a+b)三向量的终点在一直线上? (2)若|a|=|b|且a与b夹角为60°.那么t为何值时.|a-tb|的值最小? 解:(1)设a-tb=m［a-(a+b)］(m∈R). 化简得(-1)a=(-t)b. ∵a与b不共线. ∴ ∴t=时.a.tb.(a+b)的终点在一直线上. (2)|a-tb|2=(a-tb)2=|a|2+t2|b|2-2t|a||b|cos60°=(1+t2-t)|a|2.∴t=时.|a-tb|有最小值|a|. 评述:用两个向量共线的充要条件.可解决平面几何中的平行问题或共线问题. 思考讨论 两个向量共线与两条线段在一条直线上是否一样? ●闯关训练 夯实基础

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