1.理解集合、子集、补集、交集、并集的概念；了解属于、包含、相等关系的意义.

3.求可导函数f(x)的最值的方法：

(1)求f(x)在给定区间内的极值；

(2)将f(x)的各极值与端点值比较，其中最大的一个是最大值，最小的一个是最小值.

拓展题例

[例1] 若函数f(x)=ax³－x²+x－5在(－∞，+∞)上单调递增，求a的取值范围.

解： (x)=3ax²－2x+1>0恒成立.

∴即

∴a>.

当a=时，f(x)在(－∞，+∞)上单调递增.

∴a≥.

[例2] 求证：x>1时，2x³>x²+1.

证明：令f(x)=2x³－x²－1，则(x)=6x²－2x=2x(3x－1).

当x>1时，(x)>0恒成立.

∴f(x)在(1，+∞)上单调递增.

又∵f(1)=0，

∴f(x)在(1，+∞)上恒大于零，即当x>1时，2x³>x²+1.

2.求可导函数f(x)的极值的步骤如下：

(1)求f(x)的定义域，求(x)；

(2)由(x)=0，求其稳定点；

(3)检查(x)在方程根左右的值的符号，如果左正右负，那么f(x)在这个根处取极大值；如果左负右正，那么f(x)在这个根处取极小值；如果左右同号，那么f(x)在这个根处不取极值.

1.可导函数f(x)在极值点的导数为0，但是导数为0的点不一定是极值点.如果f(x)在x₀处连续，在x₀两侧的导数异号，那么点x₀是函数f(x)的极值点.

2.f(x)是增函数(x)≥0(f(x)为减函数(x)≤0).

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教学点睛

1.(x)>0f(x)为增函数((x)<0f(x)为减函数).

10.有点难度哟！

证明方程x³－3x+c=0在［0，1］上至多有一实根.

证明：设f(x)=x³－3x+c，则(x)=3x²－3=3(x²－1).

当x∈(0，1)时，(x)<0恒成立.

∴f(x)在(0，1)上单调递减.

∴f(x)的图象与x轴最多有一个交点.

因此方程x³－3x+c=0在［0，1)上至多有一实根.

●思悟小结

9.已知函数f(x)=2ax－x³，a>0，若f(x)在x∈(0，1］上是增函数，求a的取值范围.

解：(x)=2a－3x²在(0，1]上恒为正，

∴2a>3x²，即a>x².

∵x∈(0，1]，

∴x²∈(0，].

∴a>.当a=时也成立.∴a≥.

探究创新

8.已知函数f(x)=ax⁴+bx²+c的图象经过点(0，1)，且在x=1处的切线方程是y=x－2.

(1)求y=f(x)的解析式；

(2)求y=f(x)的单调递增区间.

解：(1)由题意知f(0)=1，(1)=1，f(1)=－1.

∴

∴c=1，a=，b=－，

f(x)=x⁴－x²+1.

(2)∵(x)=10x³－9x，

由10x³－9x>0，得x∈(－，0)∪(，+∞)，

则f(x)的单调递增区间为(－，0)和(，+∞).

7.已知函数f(x)=x³－ax－1.

(1)若f(x)在实数集R上单调递增，求实数a的取值范围；

(2)是否存在实数a，使f(x)在(－1，1)上单调递减?若存在，求出a的取值范围，若不存在，请说明理由；

(3)证明f(x)=x³－ax－1的图象不可能总在直线y=a的上方.

解：(x)=3x²－a，(1)3x²－a>0在R上恒成立，∴a<0.

又a=0时，f(x)=x³－1在R上单调递增，∴a≤0.

(2)3x²－a<0在(－1，1)上恒成立，即a>3x²在(－1，1)上恒成立，即a>3.

又a=3，f(x)=x³－3x－1，(x)=3(x²－1)在(－1，1)上，(x)<0恒成立，即f(x)在(－1，1)上单调递减，∴a≥3.

(3)当x=－1时，f(－1)=a－2<a，因此f(x)的图象不可能总在直线y=a的上方.