3.正态分布

正态分布在实际生产、生活中有着广泛的应用，很多变量，如测量的误差、产品的尺寸等服从或近似服从正态分布，利用正态分布的有关性质可以对产品进行假设检验.

2.样本与总体

用样本估计总体是研究统计问题的一种思想方法.当总体中的个体取不同数值很少时，其频率分布表由所取样本的不同数值及其相应的频率来表示，其几何表示就是相应的条形图，当总体中的个体取不同值较多，甚至无限时，其频率分布的研究要用到初中学过的整理样本数据的知识.

用样本估计总体，除在整体上用样本的频率分布去估计总体的分布以外，还可以从特征数上进行估计，即用样本的平均数去估计总体的平均数，用关于样本的方差(标准差)去估计总体的方差(标准差).

1.抽样

当总体中的个体较少时，一般可用简单随机抽样；当总体中的个体较多时，一般可用系统抽样；当总体由差异明显的几部分组成时，一般可用分层抽样，而简单随机抽样作为一种最简单的抽样方法，又在其中处于一种非常重要的地位.实施简单随机抽样，主要有两种方法：抽签法和随机数表法.

系统抽样适用于总体中的个体数较多的情况，因为这时采用简单随机抽样就显得不方便，系统抽样与简单随机抽样之间存在着密切联系，即在将总体中的个体均匀分后的每一段进行抽样时，采用的是简单随机抽样；与简单随机抽样一样，系统抽样也属于等概率抽样.

分层抽样在内容上与系统抽样是平行的，在每一层进行抽样时，采用简单随机抽样或系统抽样，分层抽样也是等概率抽样.

12.3　 统　 计

●知识梳理

3.要培养学生运用期望与方差的意义解决实际问题的能力.

拓展题例

[例1] 若随机变量A在一次试验中发生的概率为p(0<p<1)，用随机变量ξ表示A在1次试验中发生的次数.

(1)求方差Dξ的最大值；

(2)求的最大值.

剖析：要求Dξ、的最大值，需求Dξ、Eξ关于p的函数式，故需先求ξ的分布列.

解：随机变量ξ的所有可能取值为0，1，并且有P(ξ=1)=p，P(ξ=0)=1－p，从而Eξ=0×(1－p)+1×p=p，Dξ=(0－p)²×(1－p)+(1－p)²×p=p－p².

(1)Dξ=p－p²=－(p－)²+，

∵0<p<1，

∴当p=时，Dξ取得最大值为.

(2)==2－(2p+)，

∵0<p<1，∴2p+≥2.

当且仅当2p=，即p=时，取得最大值2－2.

评述：在知识的交汇点处出题是高考的发展趋势，应引起重视.

[例2] 袋中装有一些大小相同的球，其中有号数为1的球1个，号数为2的球2个，号数为3的球3个，…，号数为n的球n个.从袋中任取一球，其号数作为随机变量ξ，求ξ的概率分布和期望.

解：ξ的概率分布为

ξ	1	2	3	…	n
P				…

Eξ=1×+2×+3×+…+n×

=(1²+2²+3²+…+n²)=.

2.Dξ表示ξ对Eξ的平均偏离程度，Dξ越大表示平均偏离程度越大，说明ξ的取值越分散.

1.期望是算术平均值概念的推广，是概率意义下的平均.Eξ由ξ的分布列唯一确定.

5.对求离散型随机变量的期望和方差的应用问题，首先应仔细地分析题意，当概率分布不是一些熟知的类型时，应全面地剖析各个随机变量所包含的各种事件，并准确判断各事件的相互关系，从而求出各随机变量相应的概率.

●教师下载中心

教学点睛

4.二项分布的期望与方差：若ξ-B(n，p)，则Eξ=np，Dξ=np(1－p).

3.离散型随机变量的期望和方差的计算公式与运算性质：

Eξ=x_i p_i，Dξ=(x_i－Eξ)²p_i，E(aξ+b)=aEξ+b，D(aξ+b)=a²Dξ.