2.归纳、猜想、论证是培养学生观察能力、归纳能力以及推理论证能力的方式之一.

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教学点睛

1．用数学归纳法证明问题应注意：

(1)第一步验证n=n₀时，n₀并不一定是1．

(2)第二步证明的关键是要运用归纳假设，特别要弄清由k到k+1时命题的变化．

(3)由假设n=k时命题成立，证n=k+1时命题也成立，要充分利用归纳假设，要恰当地“凑”出目标.

8.(2004年重庆，22)设数列{a_n}满足a₁=2，a_n+1=a_n+ (n=1，2，…).

(1)证明a_n＞对一切正整数n都成立；

(2)令b_n= (n=1，2，…)，判定b_n与b_n+1的大小，并说明理由.

(1)证法一：当n=1时，a₁=2＞，不等式成立.

假设n=k时，a_k＞成立，

当n=k+1时，a_k+1²=a_k²++2＞2k+3+＞2(k+1)+1，

∴当n=k+1时，a_k+1＞成立.

综上，由数学归纳法可知，a_n＞对一切正整数成立.

证法二：当n=1时，a₁=2＞=结论成立.

假设n=k时结论成立，即a_k＞，

当n=k+1时，由函数f(x)=x+(x＞1)的单调递增性和归纳假设有

a_k+1=a_k+＞+ ===＞=.

∴当n=k+1时，结论成立.

因此，a_n＞对一切正整数n均成立.

(2)解：==(1+)＜(1+) = = =＜1.

故b_n+1＜b_n.

●思悟小结

7.平面内有n条直线，其中无任何两条平行，也无任何三条共点，求证：这n条直线把平面分割成(n²+n+2)块.

证明：(1)当n=1时，1条直线把平面分成2块，又(1²+1+2)=2，命题成立.

(2)假设n=k时，k≥1命题成立，即k条满足题设的直线把平面分成(k²+k+2)块，那么当n=k+1时，第k+1条直线被k条直线分成k+1段，每段把它们所在的平面块又分成了2块，因此，增加了k+1个平面块.所以k+1条直线把平面分成了(k²+k+2)+k+1=　　　 ［(k+1) ²+(k+1)+2］块，这说明当n=k+1时，命题也成立.由(1)(2)知，对一切n∈N*，命题都成立.

探究创新

6.已知数列{b_n}是等差数列，b₁＝1，b₁+b₂+…+b₁₀＝100．

(1)求数列{b_n}的通项公式b_n；

(2)设数列{a_n}的通项a_n＝lg(1+)，记S_n为{a_n}的前n项和，试比较S_n与

lgb_n+1的大小，并证明你的结论．

解：(1)容易得b_n＝2n－1.

(2)由b_n＝2n－1，

知S_n＝lg(1+1)+1g(1+)+…+lg(1+)＝lg(1+1)(1+)·…·(1+).

又1gb_n+1＝1g，

因此要比较S_n与1gb_n+1的大小，可先比较(1+1)(1+)·…·(1+)与的大小.

取n=1，2，3可以发现：前者大于后者，由此推测

(1+1)(1+)· …· (1+)＞.　　　　　　　　　　　　 　　　①

下面用数学归纳法证明上面猜想：

当n=1时，不等式①成立.

假设n=k时，不等式①成立，即

(1+1)(1+)·…·(1+)＞.

那么n=k+1时，

(1+1)(1+)·…·(1+)(1+)＞(1+)

＝.

又［］²－()²＝＞0，

∴＞=

∴当n=k+1时①成立.

综上所述，n∈N*时①成立．

由函数单调性可判定S_n＞1gb_n+1.

5.已知y=f(x)满足f(n－1)=f(n)－lga^n－1(n≥2，n∈N)且f(1)=－lga，是否存在实数α、β使f(n)=(αn²+βn－1)lga对任何n∈N *都成立，证明你的结论.

解：∵f(n)=f(n－1)+lga^n－1，令n=2，则f(2)=f(1)+f(a)=－lga+lga=0.

又f(1)=－lga，

∴

∴

∴f(n)=(n²－n－1)lga.

证明：(1)当n=1时，显然成立.

(2)假设n=k时成立，即f(k)=(k²－k－1)lga，

则n=k+1时，f(k+1)=f(k)+lga^k=f(k)+klga=(k²－k－1+k)lga=［(k+1)²－(k+1)－1］lga.

∴当n=k+1时，等式成立.

综合(1)(2)可知，存在实数α、β且α=，β=－，使f(n)=(αn²+βn－1)lga对任意n∈N*都成立.

培养能力

4.如图，第n个图形是由正n+2边形“扩展”而来(n=1，2，3，…)，则第n－2个图形中共有____________个顶点.

解析：观察规律：第一个图形有3²+3=(1+2)²+(1+2);

第二个图形有(2+2)²+(2+2)=4²+4;

第三个图形有(3+2)²+(3+2)=5²+5;

…

第n－2个图形有(n+2－2)²+(n+2－2)=n²+n个顶点.

答案：n²+n

3.观察下表：

1

2　 3　 4

3　 4　 5　 6　 7

4　 5　 6　 7　 8　 9　 10

……

设第n行的各数之和为S_n，则=__________.

解析：第一行1=1²，

第二行2+3+4=9=3³，

第三行3+4+5+6+7=25=5²，

第四行4+5+6+7+8+9+10=49=7².

归纳：第n项的各数之和S_n=(2n－1)²，

=()²=4.

答案：4

2.用数学归纳法证明“1+++…+＜n(n∈N*，n＞1)”时，由n=k(k＞1)不等式成立，推证n=k+1时，左边应增加的项数是

A.2^k－1　　　 　　　　B.2^k－1 　　　　　C.2^k 　　　　　　　D.2^k+1

解析：左边的特点：分母逐渐增加1，末项为;由n=k，末项为到n=k+1，末项为=，∴应增加的项数为2^k.

答案：C

1.如果命题P(n)对n=k成立，则它对n=k+1也成立，现已知P(n)对n=4不成立，则下列结论正确的是

A.P(n)对n∈N*成立

B.P(n)对n＞4且n∈N*成立

C.P(n)对n＜4且n∈N*成立

D.P(n)对n≤4且n∈N*不成立

解析：由题意可知，P(n)对n=3不成立(否则n=4也成立).同理可推得P(n)对n=2，n=1也不成立.

答案：D