060]解：(1)根据题意，得

，解得

抛物线的解析式为，顶点坐标是(2，4)

(2)，设直线的解析式为

直线经过点点

(3)存在．，，，

058]解：(1)令，得　 解得_，令，得

∴ A　 B　 C　 ··········· 3分

(2)∵OA=OB=OC=　　 ∴BAC=ACO=BCO=

∵AP∥CB，∴PAB=_，过点P作PE轴于E，

则APE为等腰直角三角形

令OE=，则PE=　 ∴P

∵点P在抛物线上 ∴　

解得，(不合题意，舍去)　　 ∴PE=················································· 4分

∴四边形ACBP的面积=AB•OC+AB•PE=························ 5分

(3)． 假设存在∵PAB=BAC =　 ∴PAAC

∵MG轴于点G，　 ∴MGA=PAC =

在Rt△AOC中，OA=OC=　 ∴AC=_，在Rt△PAE中，AE=PE=　 ∴AP= 　·· 6分

设M点的横坐标为，则M

①点M在轴左侧时，则

(ⅰ) 当AMG PCA时，有=∵AG=，

MG=即　 解得(舍去)

(舍去)………7分

(ⅱ) 当MAG PCA时有=

即 _，解得：(舍去)

　∴M ·································································································· 8分

② 点M在轴右侧时，则

(ⅰ) 当AMG PCA时有=

∵AG=，MG=　　　

∴ 　解得(舍去)　 　∴M

(ⅱ) 当MAGPCA时有= 即

解得：(舍去)　 　∴M　　 ∴存在点M，使以A、M、G三点为顶点的三角形与PCA相似，M点的坐标为，，

[059]解：(1)∵四边形ABCD和四边形AEFG是正方形

　　 ∴AB=AD，AE=AG，∠BAD＝∠EAG＝90º

∴∠BAE+∠EAD＝∠DAG+∠EAD

∴∠BAE＝∠DAG

∴△ BAE≌△DAG　　 　　…………4分

(2)∠FCN＝45º　　　　　 …………5分

理由是：作FH⊥MN于H

　　 　　∵∠AEF＝∠ABE＝90º

　　 ∴∠BAE +∠AEB＝90º，∠FEH+∠AEB＝90º

　　 ∴∠FEH＝∠BAE　　 又∵AE=EF，∠EHF＝∠EBA＝90º

∴△EFH≌△ABE　　　　　　　　　 …………7分

∴FH＝BE，EH＝AB＝BC，∴CH＝BE＝FH

∵∠FHC＝90º，∴∠FCH＝45º　 　　…………8分

(3)当点E由B向C运动时，∠FCN的大小总保持不变，…………9分

理由是：作FH⊥MN于H

由已知可得∠EAG＝∠BAD＝∠AEF＝90º

结合(1)(2)得∠FEH＝∠BAE＝∠DAG

又∵G在射线CD上，∠GDA＝∠EHF＝∠EBA＝90º

　 ∴△EFH≌△GAD，△EFH∽△ABE　 ……11分

∴EH＝AD＝BC＝b，∴CH＝BE，∴＝＝

∴在Rt△FEH中，tan∠FCN＝＝＝　

∴当点E由B向C运动时，∠FCN的大小总保持不变，tan∠FCN＝

056]解：(1) C(3，0)；

(2)①抛物线，令=0，则=， ∴A点坐标(0，c)．

∵，∴ ，∴点P的坐标为()．

∵PD⊥轴于D，∴点D的坐标为()． ……………………………………5分

根据题意，得a=a′，c= c′，∴抛物线F′的解析式为．

又∵抛物线F′经过点D()，∴．……………6分

∴．又∵，∴．∴b:b′=．

②由①得，抛物线F′为．

令y=0，则． ∴．

∵点D的横坐标为∴点C的坐标为()．

设直线OP的解析式为．∵点P的坐标为()，

∴，∴，∴．

∵点B是抛物线F与直线OP的交点，∴．∴．

∵点P的横坐标为，∴点B的横坐标为．

把代入，得．

∴点B的坐标为．∴BC∥OA，AB∥OC．(或BC∥OA，BC =OA)，

∴四边形OABC是平行四边形．

又∵∠AOC=90°，∴四边形OABC是矩形．

[057](1)　

　(2)∵，，∴

当点 在上运动时，，

；

当点 在上运动时，作于点，

有∵，∴

∴

(3)当时，，，

此时，过各顶点作对边的平行线，与坐标轴无第二个交点，所以点不存在；

当时，，，此时，、

055](1)过点作轴，垂足为，

；

又，

，

点的坐标为；············································ 4分

(2)抛物线经过点，则得到，························ 5分

解得，所以抛物线的解析式为；············································· 7分

(3)假设存在点，使得仍然是以为直角边的等腰直角三角形：

若以点为直角顶点；

则延长至点，使得，得到等腰直角三角形，··························· 8分

过点作轴，；

，可求得点；········· 11分

若以点为直角顶点；

则过点作，且使得，得到等腰直角三角形，·············· 12分

过点作轴，同理可证；··············································· 13分

，可求得点；················································ 14分

经检验，点与点都在抛物线上．···························· 16分

054](1)由抛物线经过点A(0，1)，C(2，4)，

得解得

∴抛物线对应的函数关系式为：．······························· (2分)

(2)当时，P点坐标为(1，1)，∴Q点坐标为(2，0)．　　　　　　　

　　 当时，P点坐标为(2，3)，∴Q点坐标为(5，0)．···························· (5分)

(3)当≤2时，．S．　　　　　　　　　　　　　　　　

　　 当≤5时，．S．　　　 (8分)

　　 当时，S的最大值为2．································································ (10分)

053]解：(1)设，把代入，得，··························· 2分

∴抛物线的解析式为：．顶点的坐标为．······························· 5分

(2)设直线解析式为：()，把两点坐标代入，

得解得．∴直线解析式为．······················ 7分

，∴················ 9分

　 ．···························································· 10分

∴当时，取得最大值，最大值为．······························································ 11分

(3)当取得最大值，，，∴．∴四边形是矩形．

作点关于直线的对称点，连接．

法一：过作轴于，交轴于点．

设，则．

在中，由勾股定理，．

解得．∵，∴．

由，可得，．∴．

∴坐标．································································································ 13分

法二：连接，交于点，分别过点作的垂线，垂足为．

易证．∴．

设，则．∴，．

由三角形中位线定理，．

∴，即．

∴坐标．······················································· 13分

把坐标代入抛物线解析式，不成立，所以不在抛物线上．·················· 14分

051]解：(1)，(-1，0)，B(3，0)．···················· 3分

(2)如图14(1)，抛物线的顶点为M(1，-4)，连结OM．

　则 △AOC的面积=，△MOC的面积=，△MOB的面积=6，∴ 四边形 ABMC的面积=△AOC的面积+△MOC的面积+△MOB的面积=9．························································ 6分

说明：也可过点M作抛物线的对称轴，将四边形ABMC的面

积转化为求1个梯形与2个直角三角形面积的和．

(3)如图14(2)，设D(m，)，连结OD．

则 0＜m＜3， ＜0． 且 △AOC的面积=，△DOC的面积=，　　　　　　　　　

△DOB的面积=-()，

∴ 四边形 ABDC的面积=△AOC的面积+△DOC的面积+△DOB的面积

==．

∴ 存在点D，使四边形ABDC的面积最大为．

(4)有两种情况：

如图14(3)，过点B作BQ₁⊥BC，交抛物线于点Q₁、交y轴于点E，连接Q₁C．

∵ ∠CBO=45°，∴∠EBO=45°，BO=OE=3．

∴ 点E的坐标为(0，3)． ∴ 直线BE的解析式为．························· 12分

由 解得 ∴ 点Q₁的坐标为(-2，5)．········ 13分

如图14(4)，过点C作CF⊥CB，交抛物线于点Q₂、交x轴于点F，连接BQ₂．

∵ ∠CBO=45°，∴∠CFB=45°，OF=OC=3．

∴ 点F的坐标为(-3，0)．∴ 直线CF的解析式为．························ 14分

由 解得

∴点Q₂的坐标为(1，-4)．综上，在抛物线上存在点Q₁(-2，5)、Q₂(1，-4)，

使△BCQ₁、△BCQ₂是以BC为直角边的直角三角形．

[052]解：(1)根据题意，得

解得．．(2分)

(2)当时，得或，

∵，当时，得，

∴，∵点在第四象限，∴．····································· (4分)

当时，得，∴，

∵点在第四象限，∴．································································ (6分)

(3)假设抛物线上存在一点，使得四边形为平行四边形，则

，点的横坐标为，

当点的坐标为时，点的坐标为，

∵点在抛物线的图象上，∴，∴，

∴，∴(舍去)，∴，

∴．························································································· (9分)

当点的坐标为时，点的坐标为，

∵点在抛物线的图象上，∴，∴，

∴，∴(舍去)，，∴，∴．

051]如图14(1)，抛物线与x轴交于A、B两点，与y轴交于点C(0，)．［图14(2)、图14(3)为解答备用图］

(1)　　　，点A的坐标为　　　，点B的坐标为　　　；

(2)设抛物线的顶点为M，求四边形ABMC的面积；

(3)在x轴下方的抛物线上是否存在一点D，使四边形ABDC的面积最大？若存在，请求出点D的坐标；若不存在，请说明理由；

(4)在抛物线上求点Q，使△BCQ是以BC为直角边的直角三角形．