摘要：例如:如图11-1:AB＝DC.∠A＝∠D 求证:∠ABC＝∠DCB. 分析:由AB＝DC.∠A＝∠D.想到如取AD的中点N.连接NB.NC.再由SAS公理有△ABN≌△DCN.故BN＝CN.∠ABN＝∠DCN.下面只需证∠NBC＝∠NCB.再取BC的中点M.连接MN.则由SSS公理有△NBM≌△NCM.所以∠NBC＝∠NCB.问题得证. 证明:取AD.BC的中点N.M.连接NB.NM.NC.则AN=DN.BM=CM.在△ABN和△DCN中 ∵ ∴△ABN≌△DCN (SAS) ∴∠ABN＝∠DCN NB＝NC (全等三角形对应边.角相等) 在△NBM与△NCM中 ∵ ∴△NMB≌△NCM.(SSS) ∴∠NBC＝∠NCB ∴∠NBC+∠ABN ＝∠NCB+∠DCN 即∠ABC＝∠DCB. 巧求三角形中线段的比值 例1. 如图1.在△ABC中.BD:DC＝1:3.AE:ED＝2:3.求AF:FC. 解:过点D作DG//AC.交BF于点G 所以DG:FC＝BD:BC 因为BD:DC＝1:3 所以BD:BC＝1:4 即DG:FC＝1:4.FC＝4DG 因为DG:AF＝DE:AE 又因为AE:ED＝2:3 所以DG:AF＝3:2 即 所以AF:FC＝:4DG＝1:6 例2. 如图2.BC＝CD.AF＝FC.求EF:FD 解:过点C作CG//DE交AB于点G.则有EF:GC＝AF:AC 因为AF＝FC 所以AF:AC＝1:2 即EF:GC＝1:2 因为CG:DE＝BC:BD 又因为BC＝CD 所以BC:BD＝1:2 CG:DE＝1:2 即DE＝2GC 因为FD＝ED-EF＝所以EF:FD＝ 小结:以上两例中.辅助线都作在了“已知 条件中出现的两条已知线段的交点处.且所作的辅助线与结论中出现的线段平行.请再看两例.让我们感受其中的奥妙! 例3. 如图3.BD:DC＝1:3.AE:EB＝2:3.求AF:FD. 解:过点B作BG//AD.交CE延长线于点G. 所以DF:BG＝CD:CB 因为BD:DC＝1:3 所以CD:CB＝3:4 即DF:BG＝3:4 因为AF:BG＝AE:EB 又因为AE:EB＝2:3 所以AF:BG＝2:3 即 所以AF:DF＝ 例4. 如图4.BD:DC＝1:3.AF＝FD.求EF:FC. 图4 解:过点D作DG//CE.交AB于点G 所以EF:DG＝AF:AD 因为AF＝FD 所以AF:AD＝1:2 即EF:DG＝1:2 因为DG:CE＝BD:BC 又因为BD:CD＝1:3 所以BD:BC＝1:4 即DG:CE＝1:4 CE＝4DG 因为FC＝CE-EF＝ 所以EF:FC＝＝1:7 练习:1. 如图5.BD＝DC.AE:ED＝1:5.求AF:FB.

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