[师)我们已经做了不少用二次函数知识解决实际问题的例子，现在大家能否根据前面的例子作一下总结，解决此类问题的基本思路是什么呢?与同伴进行交流．

　　 [生]首先是理解题目，然后是分析已知量与未知量，转化为数学问题．

　　 [师]看来大家确实学会了用数学知识解决实际问题，基本思想如下：

　　 投影片：(§2．7C)

解决此类问题的基本思路是：

(1)理解问题；

(2)分析问题中的变量和常量以及它们之间的关系；

(3)用数学的方式表示它们之间的关系；

(4)做函数求解；

(5)检验结果的合理性，拓展等．

　　 在总结思路之前，大家已经做得相当出色了，相信以后会更上一层楼的．

　　 Ⅲ．课堂练习

　　 投影片：(§2.7 D)

1．一养鸡专业户计划用116 m长的竹篱笆靠墙(如下图)围成一个长方形鸡舍，怎样设计才能使围成的长方形鸡舍的面积最大?最大为多少?

　 　解：设AB长为x m，则BC长为(116-2x)m，长方形面积为Sm²，根据题意得

　　 S＝x(116-2x)＝-2x²+116x＝-2(x²-58x+29²-29²)=-2(x-29)²+1682.

　　 当x＝29时，S有最大值1682，这时116-2x＝58．

　　 即设计成长为58 m，宽为29 m的长方形时，能使围成的长方形鸡舍的面积最大，最大面积为1682 m²．

　　 Ⅳ．课时小结

　　 本节课我们进一步学习了用二次函数知识解决最大面积问题，增强了应用意识，获得了利用数学方法解决实际问题的经验，并进一步感受了数学模型思想和数学的应用价值．

　　 Ⅴ．课后作业

　　 习题2．8

　　 Ⅵ．活动与探究

　　 已知矩形的长大于宽的2倍，周长为12，从它的一个顶点作一条射线，将矩形分成一个三角形和一个梯形，且这条射线与矩形的一边所成的角的正切值等于．设梯形的面积为S，梯形中较短的底边长为x，试写出梯形面积关于x的函数关系式，并指出自变量x的取值范围．

分析：因为射线与矩形一边所成的角的正切值等于，但没有说明射线与矩形的哪一边所成角的正切值，故本题应考虑两种情况，如下图：

板书设计

§2．7　 最大面积是多少

　　 投影片：(§2.7 B)

某建筑物的窗户如下图所示，它的上半部是半圆，下半部是矩形，制造窗框的材料总长(图中所有黑线的长度和)为15 m，当x等于多少时，窗户通过的光线最多(结果精确到0.01 m)?此时，窗户的面积是多少?

　　 [师]通过刚才的练习，这个问题自己来解决好吗?

　　 [生]可以．

　　 分析：x为半圆的半径，也是矩形的较长边，因此x与半圆面积和矩形面积都有关系．要求透过窗户的光线最多，也就是求矩形和半圆的面积之和最大，即2xy+x²最大，而由于4y+4x+3x+πx＝7x+4y+πx=15，所以y=．面积S=πx²+2xy=πx²+2x·=πx²+=-3.5x²+7.5x，这时已经转化为数学问题即二次函数了，只要化为顶点式或代入顶点坐标公式中即可．

解：∵7x+4y-πx＝15，

∴y=.

设窗户的面积是S(m²)，则

S=πx²+2xy

=πx²+2x·

=πx²+

=-3.5x²+7.5x

=-3.5(x²-x)

=-3.5(x-).

∴当x＝≈1．07时，

S_最大=≈4．02.

　　 即当x≈1．07 m时，S_最大≈4．02 m²，此时．窗户通过的光线最多．

　　 [师]大家做得非常棒．

　　 投影片；(§2．7 A)

如下图，在一个直角三角形的内部作一个长方形ABCD．其中AB和AD分别在两直角边上．

(1)设长方形的一边AB＝x m，那么AD边的长度如何表示?

(2)设长方形的面积为y m²．当x取何值时，y的值最大?最大值是多少?

　　 [师]分析：(1)要求AD边的长度，即求BC边的长度，而BC是△EBC中的一边，因此可以用三角形相似求出BC．由△EBC∽△EAF，得所以AD=BC=(40-x).

　　 (2)要求面积夕的最大值．即求函数y=AB·AD=x·(40-x)的最大值，就转化为数学问题了．

　　 下面请大家讨论写出步骤．

　　 [生](1)∵BC//AD，

　　 ∴△EBC∽△EAF． ∴.

　　 又AB＝x，BE=40-x，

　　 ∴.　 ∴BC=(40-x).

∴AD＝BC=(40-x)＝30-x．

　　 (2)y＝AB·AD=x(30-x)= -x²+30x

=-(x²-40x+400-400)

=-(x²-40x+400)+300

　 　=-(x-20)²+300

　　 当x=20时，　 y_最大=300.

　　 即当x取20 m时，y的值最大，最大值是300m²．

　　 [师]很好．刚才我们先进行了分析．要求面积就需要求矩形的两条边，把这两条边分别用含x的代数式表示出来，代入面积公式就能转化为数学问题了，大家觉得用数学知识解决实际问题很难吗?

　　 [生]不很难．

　　 [师]下面我们换一个条件．看看大家能否解决．设AD边的长为x m，则问题会怎样呢?与同伴交流．

　　 [生]要求面积需求AB的边长，而AB＝DC，所以需要求DC的长度，而DC是△FDC中的一边，所以可以利用三角形相似来求．

　　 解：∵DC//AB，

∴△FDC∽△FAE．

.

∵AD=x，FD＝30-x．

∴.

∴DC=(30-x).

　　 ∴AB=DC=(30-x).

　　 y=AB·AD=x·(30-x)

　　 =-x²+40x

=-(x²-30x+225-225)

=-(x-15)²+300.

当x=15时，y_最大=300．

　　 即当AD的长为15 m时，长方形的面积最大，最大面积是300 m²

备课资料(略)

3．议一议(投影片§2.7 C)

2．做一做(投影片§2.7 B)

　　 [师)我们已经做了不少用二次函数知识解决实际问题的例子，现在大家能否根据前面的例子作一下总结，解决此类问题的基本思路是什么呢?与同伴进行交流．

　　 [生]首先是理解题目，然后是分析已知量与未知量，转化为数学问题．

　　 [师]看来大家确实学会了用数学知识解决实际问题，基本思想如下：

　　 投影片：(§2．7C)

解决此类问题的基本思路是：

(1)理解问题；

(2)分析问题中的变量和常量以及它们之间的关系；

(3)用数学的方式表示它们之间的关系；

(4)做函数求解；

(5)检验结果的合理性，拓展等．

　　 在总结思路之前，大家已经做得相当出色了，相信以后会更上一层楼的．

　　 Ⅲ．课堂练习

　　 投影片：(§2.7 D)

1．一养鸡专业户计划用116 m长的竹篱笆靠墙(如下图)围成一个长方形鸡舍，怎样设计才能使围成的长方形鸡舍的面积最大?最大为多少?

　 　解：设AB长为x m，则BC长为(116-2x)m，长方形面积为Sm²，根据题意得

　　 S＝x(116-2x)＝-2x²+116x＝-2(x²-58x+29²-29²)=-2(x-29)²+1682.

　　 当x＝29时，S有最大值1682，这时116-2x＝58．

　　 即设计成长为58 m，宽为29 m的长方形时，能使围成的长方形鸡舍的面积最大，最大面积为1682 m²．

　　 Ⅳ．课时小结

　　 本节课我们进一步学习了用二次函数知识解决最大面积问题，增强了应用意识，获得了利用数学方法解决实际问题的经验，并进一步感受了数学模型思想和数学的应用价值．

　　 Ⅴ．课后作业

　　 习题2．8

　　 Ⅵ．活动与探究

　　 已知矩形的长大于宽的2倍，周长为12，从它的一个顶点作一条射线，将矩形分成一个三角形和一个梯形，且这条射线与矩形的一边所成的角的正切值等于．设梯形的面积为S，梯形中较短的底边长为x，试写出梯形面积关于x的函数关系式，并指出自变量x的取值范围．

分析：因为射线与矩形一边所成的角的正切值等于，但没有说明射线与矩形的哪一边所成角的正切值，故本题应考虑两种情况，如下图：

板书设计

§2．7　 最大面积是多少

　　 投影片：(§2.7 B)

某建筑物的窗户如下图所示，它的上半部是半圆，下半部是矩形，制造窗框的材料总长(图中所有黑线的长度和)为15 m，当x等于多少时，窗户通过的光线最多(结果精确到0.01 m)?此时，窗户的面积是多少?

　　 [师]通过刚才的练习，这个问题自己来解决好吗?

　　 [生]可以．

　　 分析：x为半圆的半径，也是矩形的较长边，因此x与半圆面积和矩形面积都有关系．要求透过窗户的光线最多，也就是求矩形和半圆的面积之和最大，即2xy+x²最大，而由于4y+4x+3x+πx＝7x+4y+πx=15，所以y=．面积S=πx²+2xy=πx²+2x·=πx²+=-3.5x²+7.5x，这时已经转化为数学问题即二次函数了，只要化为顶点式或代入顶点坐标公式中即可．

解：∵7x+4y-πx＝15，

∴y=.

设窗户的面积是S(m²)，则

S=πx²+2xy

=πx²+2x·

=πx²+

=-3.5x²+7.5x

=-3.5(x²-x)

=-3.5(x-).

∴当x＝≈1．07时，

S_最大=≈4．02.

　　 即当x≈1．07 m时，S_最大≈4．02 m²，此时．窗户通过的光线最多．

　　 [师]大家做得非常棒．

　　 投影片；(§2．7 A)

如下图，在一个直角三角形的内部作一个长方形ABCD．其中AB和AD分别在两直角边上．

(1)设长方形的一边AB＝x m，那么AD边的长度如何表示?

(2)设长方形的面积为y m²．当x取何值时，y的值最大?最大值是多少?

　　 [师]分析：(1)要求AD边的长度，即求BC边的长度，而BC是△EBC中的一边，因此可以用三角形相似求出BC．由△EBC∽△EAF，得所以AD=BC=(40-x).

　　 (2)要求面积夕的最大值．即求函数y=AB·AD=x·(40-x)的最大值，就转化为数学问题了．

　　 下面请大家讨论写出步骤．

　　 [生](1)∵BC//AD，

　　 ∴△EBC∽△EAF． ∴.

　　 又AB＝x，BE=40-x，

　　 ∴.　 ∴BC=(40-x).

∴AD＝BC=(40-x)＝30-x．

　　 (2)y＝AB·AD=x(30-x)= -x²+30x

=-(x²-40x+400-400)

=-(x²-40x+400)+300

　 　=-(x-20)²+300

　　 当x=20时，　 y_最大=300.

　　 即当x取20 m时，y的值最大，最大值是300m²．

　　 [师]很好．刚才我们先进行了分析．要求面积就需要求矩形的两条边，把这两条边分别用含x的代数式表示出来，代入面积公式就能转化为数学问题了，大家觉得用数学知识解决实际问题很难吗?

　　 [生]不很难．

　　 [师]下面我们换一个条件．看看大家能否解决．设AD边的长为x m，则问题会怎样呢?与同伴交流．

　　 [生]要求面积需求AB的边长，而AB＝DC，所以需要求DC的长度，而DC是△FDC中的一边，所以可以利用三角形相似来求．

　　 解：∵DC//AB，

∴△FDC∽△FAE．

.

∵AD=x，FD＝30-x．

∴.

∴DC=(30-x).

　　 ∴AB=DC=(30-x).

　　 y=AB·AD=x·(30-x)

　　 =-x²+40x

=-(x²-30x+225-225)

=-(x-15)²+300.

当x=15时，y_最大=300．

　　 即当AD的长为15 m时，长方形的面积最大，最大面积是300 m²

7.如图,有一座抛物线形拱桥,抛物线可用y=表示.在正常水位时水面AB 的宽为20m,如果水位上升3m时,水面CD的宽是10m.

　　 (1)在正常水位时,有一艘宽8m、高2.5m的小船,它能通过这座桥吗?

　　 (2)现有一辆载有救援物资的货车从甲地出发需经过此桥开往乙地,已知甲地距此桥280km(桥长忽略不计).货车正以每小时40km的速度开往乙地,当行驶1小时时, 忽然接到紧急通过:前方连降暴雨,造成水位以每小时0.25m的速度持续上涨(货车接到通知时水位在CD处,当水位达到桥拱最高点O时,禁止车辆通行).试问:如果货车按原来的速度行驶,能否安全通过此桥?若能,请说明理由.若不能, 要使货车安全通过此桥,速度应超过每小时多少千米?