2．正确应用互逆命题与互逆定理

重点与难点：区分互逆命题与互逆定理

教学过程：

我们已经知道，可以判断正确或错误的句子叫做命题．例如“两直线平行，内错角相等”、“内错角相等，两直线平行”都是命题．

上面两个命题的题设和结论恰好互换了位置．

一般来说，在两个命题中，如果第一个命题的题设是第二个命题的结论，而第一个命题的结论是第二个命题的题设，那么这两个命题叫做互逆命题．如果把其中一个命题叫做原命题，那么另一命题就叫做它的逆命题．

命题“两直线平行，内错角相等”的

题设为____________________________________；

结论为____________________________________．

因此它的逆命题为

_____________________________________________．

每一个命题都有逆命题，只要将原命题的题设改成结论，并将结论改成题设，便可得到原命题的逆命题．但是原命题正确，它的逆命题未必正确．例如真命题“对顶角相等”的逆命题为“相等的角是对顶角”，此命题就是假命题．

如果一个定理的逆命题也是定理，那么这两个定理叫做互逆定理，其中的一个定理叫做另一个定理的逆定理．

我们已经知道命题“两直线平行，内错角相等”和它的逆命题“内错角相等，两直线平行”都是定理，因此它们就是互逆定理．

一个假命题的逆命题可以是真命题，甚至可以是定理．例如“相等的角是对顶角”是假命题，但它的逆命题“对顶角相等”是真命题，且是定理．

练习

1．互逆命题与互逆定理

教学目的：1.理解互逆命题与互逆定理

　　 1．链接生活

　　 链接一：能够成为直角三角形三条边长的正整数，称为勾股数(或勾股弦数)．勾股数有无数组．你能举出几组？

链接二：古埃及人曾用下面的方法画直角：(如图所示)他们把一根长绳打上等距离的13个结，一个工匠同时握住第1个结和第13个结，两个助手分别握住第4个结和第8个结，拉紧绳子，在第4个结处就得到了一个直角．请你说出这种做法的根据．

2．巩固练习

(1)已知：如图所示，在△ABC中，AB=13，BC=10，BC边上的中线AD=12，求证：AB=AC．(提示：因为BD²+AD²=AB²所以AD⊥BC，又BD=CD所以AD为BC的垂直平分线，从而AB=AC)

(2)已知：如图所示，四边形ABCD中，∠B=90°，AB=3，BC=4，CD=12，AD=13，求四边形ABCD的面积．(提示：连结AC，由勾股定理得出AC=5，再由勾股定理逆定理证明AC⊥CD．分别计算△ABC和△ACD的面积即可)

(3)如图所示，已知，CD⊥AB于D，且AC²=AD·AB．求证：△ABC为直角三角形．

(提示：因为BC²=CD²+BD²

　　 而AC²=AD·AB=AD·(AD+BD)=AD²+BD·AD

　　 则CD²=BD·AD

　　 所以BC²=BD·AD+BD²=BD·(AD+BD)=BD·AB

　　 所以AC²+BC²=AB·(AD+BD)=AB²)

5．学习小结

　　 (1)引导学生作知识总结：

　　 ①了解原命题与逆命题的关系．

　　 ②记住并会证明勾股定理的逆定理．

　　 ③能由三边长判定三角形是不是直角三角形．

　　 (2)教师拓展：判定的具体步骤：

　　 ①计算两条较短边的平方和与最长边的平方；

　　 ②比较这两个数值的大小；

　　 ③给出结论．

4．达标反馈

　　 (1)判断题

　　 ①任何命题都有逆命题，任何定理都有逆定理．(×)

　　 ②“若x=y，则x²=y²”的逆命题是假命题．　　　 (∨)

　　 ③一个假命题的逆命题一定是错误的．　　　　 (×)

　　 (2)判断由如下三组线段a，b，c组成的三角形是不是直角三角形．

　　 ①a=10，b=24，c=26　　　 (∨)

　　 ②a=1．5，b=2，c=2．5　　 (∨)

　　 ③a=b=2，c=4　　　　　 (∨)

　　 ④a=4，b=5，c=6　　　　 (×)

　　 (3)已知：△ABC中，三条边长分别为a，b，c，a=n²-1，b=2n，c=n²+1(n>1)，求证：∠C=90°(提示：通过比较得出c最大，再验证明a²+b²=c²)

2．课前热身

　　 生A：“两直线平行，内错角相等”．

　　 生B：题设为“两条直线平行”，结论为“内错角相等”．

　　 生B：“内错角相等，两直线平行”．

　　 生A：题设为“内错角相等”，结论为“两直线平行”．

1．情境导入

　　 游戏：将全班同学分成两组A、B，每组说出一个命题，由另一组说出题设和结论．比一比，看哪组同学说得又快又好．

2．掌握勾股定理逆定理的证明，并会运用逆定理判定直角三角形．