本节课我们学习了有关仰角、俯角的解直角三角形的应用题，对于这些问题，一方面要把它们转化为解直角三角形的数学问题，另一方面，针对转化而来的数学问题选用适当的数学知识加以解决。

课本第114页练习的第l、2题。

　 例1．如图，为了测量电线杆的高度AB，在离电线杆22.7米的C处，用1.20米的测角仪CD测得电线杆顶端B的仰角a＝22°，求电线杆AB的高度。

分析：因为AB＝AE+BE，AE＝CD＝1.20米，所以只要求出BE的长度，问题就得到解决,在△BDE中,已知DE＝CA＝22.7米，∠BDE＝22°，那么用哪个三角函数可解决这个问题呢?显然正切或余切都能解决这个问题。

　 例2．如图，A、B是两幢地平高度相等、隔岸相望的建筑物，B楼不能到达，由于建筑物密集，在A楼的周围没有开阔地带，为测量B楼的高度，只能充分利用A楼的空间，A楼的各层都可到达且能看见B楼，现仅有测量工具为皮尺和测角器(皮尺可用于测量长度，测角器可以测量仰角、俯角或两视线的夹角)。

(1)你设计一个测量B楼高度的方法，要求写出测量步骤和必需的测量数据 (用字母表示)，并画出测量图形。

(2)用你测量的数据(用字母表示)写出计算B楼高度的表达式。　　

分析：如右图，由于楼的各层都能到达，所以A楼的高度可以测量，我们不妨站在A楼的顶层测B楼的顶端的仰角，再测B楼的底端的俯角，这样在Rt△ABD中就可以求出BD的长度，因为AE＝BD，而后Rt△ACE中求得CE的长度，这样CD的长度就可以求出．

请同学们想一想，是否还能用其他的方法测量出B楼的高度。

在本章的开头，我们曾经用自制的测角仪测出视线(眼睛与旗杆顶端的连线)与水平线的夹角，那么把这个角称为什么角呢?

　 如右图，从下往上看，视线与水平线的夹角叫仰角，从上往下看，视线与水平线的夹角叫做俯角。右图中的∠1就是仰角， ∠2就是俯角。

　 参见励耘精品系列丛书《课时导航》华师大版八年级(下)P54－P55

2.　　 在学生回答的基础上,教师归纳总结出主要步骤是:

(1)分析实际问题中某些名词概念的意义,正确理解条件和结论的关系.

(2)将实际问题抽象为数学问题(画出平面图形,转化为解直角三角形).

(3)根据条件的特点,适当选用锐角三角函数的关系式去解直角三角形.

(4)写出解答过程和答案.

1.　　 先向学生提出问题:运用解直角三角形的知识去解答实际问题,它的主要步骤是什么?

(采用讨论、练习和讲解方式进行教学)

　　 例1　 如图，厂房屋顶人字架(等腰三角形)的跨度为10米，∠A＝26°，求中柱BC(C为底边中点)和上弦AB的长?(精确到0.01米)

　 说明：为什么要先讲此例呢?其原因是，虽然它也是实际问题，但它已抽象为数学问题(已画出平面图形)；且一些名词(上弦、中柱和跨度等)已在图中得到直观解释，勿须教师多废喉舌；再说此例归结为解Rt△ACB也是明显的，且求中柱BC和上弦AB也能比较灵活的应用到各种三角函数关系式，所以把它做为首例是非常必要的.

　　 教法：为了从分析中选用哪一个锐角三角函数关系式较好，最好让学生讨论(暂时不写出解答过程)，大家确定较好的方法以后，再要求学生用这种方法写出解答过程如下：

练习1　 如图6-37?某厂车间的人字屋架为等腰三角形，跨度AB＝12米，∠A＝22°?求中柱CD和上弦AC的长?(精确到0.01米)

答：CD≈2.42米，AC≈6.47米.

例2　 如图6-38.线段AB和CD分别表示甲、乙两幢楼的高.AB⊥BD于B，CD⊥BD于D.从甲楼顶部A处测得乙楼顶部C的仰角α＝30°，测得乙楼底部D的俯角β＝60°.已知AB＝24米.求CD＝?

此例按以下步骤进行教学：

　　 (1)教师先把仰角和俯角这两个概念的意义讲清楚，然后引导学生审题，(从整体上理解条件和结论)把已知条件标在图上.

　　 (2)分析条件和结论的关系.(让学生讨论)

　　 因为DE＝AB＝24米，β＝60°，所以AE可求.

　　 因为AE可求，又α＝30°所以CE可求.

　　 所以CD可求.

　　 (3)选用适当的三角函数关系式.(让学生讨论)

　　 选cotβ求AE，选tanα求CE.这样可避免分母出现未知数.

　　 (4)写出解答过程如下：

　　 解：因为DE＝AB＝24米，

　　 所以　 CD＝CE+DE＝8+24＝32(米).

　　 答：乙楼CD＝32米.

练习2 如图，某飞机于空中A处探测到目标C，此时飞行高度AC＝1200米，从飞机上看地平面控制点B的俯角α＝16°31′.求飞机A到控制点B的距离.(精确到1米)

练习3 如图，在离铁塔150米的A处，用测角仪器测得塔顶的仰角为30°12′.已知测角仪器高AD＝1.52米，求铁塔高BE.(精确到0.1米)

(此题改编自励耘精品系列丛书《课时导航》华师大版八年级(下)P54第4题)

(采用学生讨论，然后找一个学生板演)

答：BE≈88.8米.　　　　　　　

　例3 如图.在山坡上种树，要求株距(相邻两树间的水平距离)是5.5米.测得斜坡的倾斜角是24°，求斜坡上相邻两树间的坡面距离是多少米(精确到0.1米).

(此题改编自励耘精品系列丛书《课时导航》华师大版八年级(下)P55第2题)

　　 此例按照以下步骤进行教学.

　　 (1)先引导学生在理解水平距离和坡面距离的基础上，从整体上分析条件和结论.

　　 (2)引导学生将实际问题抽象为数学问题(画出平面图形并写出已知和所求).作出BC⊥AC于C，已知AC＝5.5米.∠BAC＝24°.求AB的长.

(3)让学生讨论，给出解答如下：

答：斜坡上相邻两树间的坡面距离约是6.0米

练习4如图.沿AC方向山修渠.为了加快施工进度，要在小山的另一边同时施工.从AC上的一点B取∠ABD＝140°，BD＝520米，∠D＝50°.那么开挖点E离D多远(精确到0.1米)，正好能使A，C，E成一直线？

(此题改编自励耘精品系列丛书《课时导航》华师大版八年级(下)P54第14题)

此题采取让学生讨论后板书的办法进行教学.具体步骤如下：

(1) 引导学生讨论，理解题意；

(2) 引导学生将实际问题抽象为数学问题(画出平面图形，转化为解Rt△BDE.如右图).

(3) 引导学生根据图形适当选择锐角三角函数关系式：

(4) 让学生板演过程.(答：ED≈334.3米)

例4如图.一艘海轮位于灯塔P的北偏东60°方向上的A处，它沿正南方向航行7C海理后，到达位于灯塔P的南偏东30°方向上的B处.这时，海轮所在的B处距离灯塔P有多远？(结果不取近似值)

(此题改编自励耘精品系列丛书《课时导航》华师大版八年级(下)P54第16题)

此例按照以下步骤进行教学：

(1) 先帮助学生理解方位角的意义，理解正南方向的意义.有必要可以将平面几何第一章中后面有关的习题做一遍.在此基础上理解条件和结论.

(2) 引导学生将实际问题转化为解Rt△APB.即已知AB=70海里，∠B=30°.求PB.

(3) 引导学生选用适当的锐角三角函数关系式:

(4) 写出解答过程

解1：在Rt△APB中，AB=70，

答：海轮所在的B处距离灯塔P有353(海里)

解2:因为∠APB=90°, ∠B=30°,

所以设PA=x,则AB=2x,PB=3,

由AB=2x,得2x=70,所以x=35,

说明:在解直角三角形过程中,如遇到有特殊角30°,45°和60°时,也可考虑用第二种方法.

练习5一个人从A点出发向北偏东60°方向走了一段距离到B点,再从B点也发向南偏西15°方向走了一段距离到C点,则∠ABC的度数是.

教法:让学生画图便得∠ABC=45°.(如图)

　练习6两灯塔G和F与海洋观察站O的距离相等,灯塔G在观察站O的北偏东40°灯塔F在观察站O的南偏东60°,则灯塔G在灯塔F的(　 )

A.　　 北偏东10°B.北偏西10° C.南偏东10° D.南偏西10°

教法:引导学生自己画图,经过讲座得到下图.

答案是选B.具体解答如下:

作OE/OM于E,因为∠GOF=80°,GO=FO.

所以∠OGF=50°.因为∠OGE=40°,所以∠EGF=10°.

因为GE//FN,所以∠GFN=10°.

补充习题　

会知道坡度、坡角的概念能利用解直角三角形的知识，解决与坡度、坡角有关的实际问题，特别是与梯形有关的实际问题，懂得通过添加辅助线把梯形问题转化为直角三角形来解决。