3、图象分析法

即通过对图象中的数量关系进行分析来建立问题的数学模型的方法。

例3电信局为了配合客户的不同需要，设有A、B两种优惠方案，这两种方案的应付电话费(元)与通话时间(分钟)之间的关系如图所示(实线部分)。(注：图中)试问：

(1)若通话2小时，按方案A、B各

付话费多少元？

(2)方案B从500分钟以后，每分钟收

费多少元？

(3)通话时间在什么范围内，方案B才会

比方案A优惠。

分析：由图可知，两种方案都是由线性函数组成的分段函数，结合图形，可以求出函数的解析式，然后再根据题意解题。

解：由图可知：。

设这两种方案的应付话费与通话时间的函数关系分别是，则

，。

(1)若通话2小时，方案A、B付的话费分别是116元、168元。

(2)因为(元)，

所以方案B从500分钟以后，每分钟收费0.3元。

(3)由图知，当时，。

当时，。

当时，由得，即当通话时间在时，方案B才会比方案A优惠。

2、列表分析法

即通过列表的方式探求问题的数学模型的方法。

例2某工厂在甲、乙两地的两个分厂各生产某种机器12台和6台。现销售给A地10台，B地8台。已知从甲地调运1台至A地、B地的运费分别为400元和800元，从乙地调运1台至A地、B地的运费分别为300元和500元。

(1)设从乙地调运台至A地，求总运费关于的函数关系式；

　　 (2)若总运费不超过9000元，问共有几种调运方案；

　　 (3)求出总运费最底的调运方案及最低的运费。

分析：本题数量关系较多，利用列表法将数量关系明朗化，有利于函数关系的确立。由甲、乙两地调运至A地、B地的机器台数及运费如下表：

调出地	甲地	乙地
调至地	A地	B地	A地	B地
台数
每台运费(元)	400	800	300	500
运费合计(元)	400()	800[]	300	500()

解：(1)依题意，得：，

即。

(2)由，解得。

因为，

。故，共有三种调运方案。

(3)由一次函数的单调性可知，当时，总运费低，(元)。

即从乙地调6台给B地，甲地调10台给A地、调2台给B地的调运方案的运费最低，最低运费为8600元。

1、关系分析法

　　 即通过寻找关键词和关键量之间的数量关系的方法来建立问题的数学模型的方法。

例1进货价为80元的商品共400个，按90元一个售出时，可全部卖出。已知这种商品每涨价1元，其销售数量就减少20个，问销售价为多少时所获得的利润最大？

分析：题中显示“利润最大”的语句，因此，应从构造利润的函数关系入手。(利润=销售额-成本)

解：设销售价为元时利润为，此时销售数量为。

，

当时，(元)。

答：销售价为95元时所获得的利润最大，其最大值为4500元。

　 例3、甲商店某种商品4月份(30天,4月1日为第一天)的销售价格(元)与时间(天)函数关系如图(一)所示,该商品日销售量(件)与时间(天)函数关系如图(二)所示。

①写出图(一)表示的销售价格与时间的函数关系式,写出图(二)表示的日销售量与时间的函数关系式,及日销售金额(元)与时间的函数关系.

②乙商店销售同一种商品,在4月份采用另一种销售策略,日销售金额(元)与时间(天)之间的函数关系为,比较4月份每天两商店销售金额的大小.

解：(1)设价格函数是,过点(0，15)(30，30)则

∴　　

销售量函数，过点

则

∴　　　　　　　　　　　　

则　　　

(2)

即前11天甲商店销售额少，以后乙均比甲少.　

点评：通过函数图像明确建立何种函数模型，抓住图像中的特殊点、曲线的单调性等是正确建立函数模型的关键。

　 例2、某地西红柿从2月1日起上市，通过市场调查得到西红柿种植成本

(单位：元/kg)与上市时间(单位：天)的数据如下表：

时间/	50	110	250
种植成本/	150	108	150

根据上表数据，从下列函数中选取一个函数描述西红柿种植成本与上市时间的变化关系：(1)；(2)；(3)；(4)

利用你选取的函数，求西红柿种植成本最低时的上市天数及最低种植成本。

　 解：(1)由提供的数据知道，描述西红柿种植成本与上市时间的变化关系的函数不可能是常数函数，从而用函数； ； 中的任意一个进行描述时都应有，而此时上述三个函数均为单调函数，这与表格所提供的数据不吻合，所以，选取二次函数进行描述。

以表格所提供的三组数据分别代入，得到

解上述方程组得

所以，描述西红柿种植成本与上市时间的变化关系的函数为

。

(2)当天时，西红柿种植成本最低为

(元/kg)。

点评：本题求解的关键是利用表格中的数据，选择正确的函数模型进行拟合。

3．集合的运算类比实数的运算律

　　　　表3

两个实数的运算律	两个集合的运算拓展

　　　例3已知集合，集合

　　　　集合，则下面结论中正确的个数为

　　　　①　　②

③　　④　　

()4个　()3个　()2个　()1个

　解答：可以从不同的角度去加以理解：例如，

由③

　＝

　但是这里

　对于④可以由验证是成立的．

　对于①、②满足交换律．

请同学们加以验证，并类比实数的运算律加以体会．

由上可见，经过观察、猜想、类比可以发现很多新的知识及解题规律，这种学习方法对以后继续学习数学；提高数学的学习能力；探索数学的奥妙；提高数学兴趣；是十分必要的.

2．集合的运算类比实数的运算　

表2

两个实数 运算关系	两个集合 运算关系
和		并
差		补

请同学们结合表2体会这两种运算关系，特别地，补集的概念是难以理解的，而表示集合A中不属于B的元素组成的集合；表示中去掉剩下的部分．这就使我们非常容易理解了．

　 例2．设全集求实数的值.

分析；根据补集的定义，表示了，抓住了这两层，就能准确作答.

解；由可得，

　所以

当＝2时，｜2－1｜＝3符合题意.

当=-4时, ｜2－1｜＝9,但是

所以的值为2.

说明：如果对定义理解不够，就很容易得到两解了，从而导致错解.

根据题目所给的函数的有关的性质和背景，作出大致符合条件的函数的图象，再根据图象的直观性作出正确解答.

例7　 若f(x)为奇函数，且在(﹣∞，0)内是增函数，又f(﹣2)=0，则xf(x)<0的解集为(　 )

A.(﹣2,0)∪(0,2)　　　　　 B.(﹣∞,﹣2)∪(0，2)　　　　　

C.(﹣∞,﹣2)∪(2,+∞)　　 D.(﹣2,0)∪(2,+∞)

解析：本题可根据题设条件先作出函数f(x)在(﹣∞，0)内的大致图象，如图，由对称性(奇函数的图象关于原点对称)及单调性(在(﹣∞，0)内是增函数)得出f(x)在(0，+∞)的图象，如图所示.

∵f(x)为奇函数，且，f(﹣2)=0，∴f(2)=0.由图象可知：

当﹣2<x<0时，f(x)>0，∴xf(x)<0；当0<x<2时，f(x)<0，∴xf(x)<0.

故不等式xf(x)<0的解集为(﹣2，0)∪(0，2)，选A.

抽象型函数问题的设计或编拟，常以某个基本函数为模型，在解题前，若能从研究的抽象函数的“模型”入手，根据已知条件，寻找其模型函数，通过分析、研究其图象及性质，找出问题的解法或证法.

例6　 已知定义域为R⁺的函数f(x)满足：(1)x＞1时，f(x)＜0；(2)f()=1；(3)对任意的x，y∈R⁺，都有f(xy)=f(x)+f(y).求不等式f(x)+f(5﹣x)≥﹣2的解集.

解析：由题设(3)知f(x)以y=log_ax为模型函数，由题(1)知0＜a＜1，从而y=log_ax在(0,+∞)上为减函数，故本题可先证f(x)在(0,+∞)上为减函数为突破口.

设0＜x₁＜x₂，则＞1，且由f(xy)=f(x)+f(y)，得f(x₂)=f(·x₁)=f()+f(x₁)，

又由条件x＞1时，f(x)＜0，得f()＜0，∴f(x₂)＜f(x₁)，∴f(x)在R⁺上为减函数，

又由f(1)=f(1)+f(1)，得f(1)=0，又f()=1，∴f(2·)=f(2)+f()=0，∴f(2)=﹣1，

∴f(x)+f(5﹣x)≥﹣2=2f(2)=f(4)，于是，解得0＜x≤1或4≤x＜5，

∴解集为x∈(0，1]∪[4，5).