［例1］如图2－30，某房地产开发公司要在荒地ABCDE上划分一块长方形地面(不改变方位)建造一幢公寓．问如何设计才能使公寓占地面积最大？并求出最大面积(精确到1m²)．

解：设公寓占地矩形的长和宽分别为a、b，面积为S

　(70≤a≤100，60≤b≤80)

∴b＝，且70≤a≤100

S＝a·b＝＝.

当a＝95∈［70，100］时，S取到最大值约为6017 m²．

点评：本问题即已知b＝，70≤a≤100，60≤b≤80，求S＝a·b的最大值，可通过代入消元转化为关于a的二次函数问题，在此过程中，特别要注意函数的定义域即变量a的取值范围．

［例2］已知f(x)＝x²+c，且f［f(x)］＝f(x²+1)，

(1)设g(x)＝f［f(x)］，求g(x)的解析式；

(2)设φ(x)＝g(x)－λf(x)，试问是否存在实数λ，使φ(x)在(－∞，－1)内是减函数，并在(－1，0)内是增函数．

解：(1)由f［f(x)］＝f(x²+1)即(x²+c)²+c＝(x²+1)²+c

整理得(c－1)(2x²+c+1)＝0，∴c＝1　　 ∴g(x)＝x⁴+2x²+2.

(2)φ(x)＝g(x)－λf(x)＝(x⁴+2x²+2)－λ(x²+1)＝x⁴+(2－λ)x²+2－λ

设y＝φ(x)，x²＝t

则y＝t²+(2－λ)t+2－λ在(0，1)上递减，且在(1，+∞)上递增

∴－＝1，即λ＝4

点评：本题主要利用了数学中最基本的思想方法：待定系数法和换元法，转化为二次函数的单调性问题．

［例3］已知函数f(x²－3)＝lg，

(1)求f(x)的定义域；

(2)求f(x)的反函数f^－1(x)．

解：(1)设t＝x²－3，则x²＝t+3，且t＞－3　 ①

f(t)＝lg，

又＞0，∴t＜－3或t＞3　 ②

因此由①，②知，f(x)＝lg的定义域为(3，+∞)

(2)设y＝lgu，u＝，x＞3

则u＞1，∴y＝lgu＞0

由y＝lg得10^y＝　　　 ∴x＝

f(x)的反函数f^－1(x)＝ 　(x＞0)

点评：本题使用换元法求出函数f(x)的解析式及其定义域．但要注意求f(t)的定义域的条件：其一，先由f(x²－3)＝lg有意义得到＞0，即x²＞6，再由t＝x²－3＞3，即t＞3；其二，换元后f(t)＝lg有意义得到＞0，即t＜－3或t＞3．然后取二者交集得定义域，而求其反函数时，要注明反函数定义域，即要求出原函数值域．

［例4］已知二次函数f(x)＝ax²+bx满足f(2)＝0且方程f(x)＝0有等根．

(1)求f(x)的解析式；

(2)问是否存在实数m，n(m＜n)，使f(x)的定义域为［m，n］，值域为［2m，2n］，如存在，求出m，n的值，如不存在，说明理由．

解：(1)依题意，方程ax²+(b－1)x＝0有等根

∴(b－1)²＝0即b＝1

又f(2)＝0，　　 ∴4a+2b＝0，∴a＝－　 ∴f(x)＝－x²+x.

(2)∵f(x)＝－ (x－1)²+≤　　 ∴2n≤，即n≤

∵f(x)＝－ (x－1)²+的对称轴为x＝1

∴当n≤时，f(x)在［m，n］上为增函数．

设m，n存在，则

即　　　 又m＜n≤，∴

即存在实数m＝－2，n＝0，使f(x)的定义域为［－2，0］，值域为［－4，0］．

点评：二次函数问题是函数中的重要题型，本题先用待定系数法确定解析式，然后再用m，n把定义域、值域联系起来，考查二次函数性质．

［例5］已知f(x)在R上是增函数，且f(k·3^x)－f(9^x－3^x+2)＜0对任意的x∈R都成立，求实数k的取值范围．

解：由已知f(k·3^x)＜f(9^x－3^x+2)对x∈R恒成立．

∵f(x)在R上是增函数　　　 ∴只要k·3^x＜9^x－3^x+2对x∈R恒成立．

法一：令t＝3^x，则t＞0，上式等价于g(t)＝t²－(k+1)t+2＞0

对t∈(0，+∞)恒成立．

根据二次函数的图象性质得或

　　　 即或

∴k＜2－1

法二：分离常数k得k＜3^x+－1对一切x∈R恒成立．

令h(x)＝3x+－1只要k＜h(x)的最小值．

∵h(x)＝3^x+－1≥2－1＝2－1

∴h(x)的最小值为2－1,　 ∴k＜2－1．

故所求k的取值范围是(－∞，2－1)．

点评：对于没有给出具体解析式的抽象函数f(x)，如果知其单调性，就可以脱去函数值不等式中的函数符号，本题还充分说明了二次函数图象和性质的工具性作用，对于不等式恒成立问题，分离常数并构造函数求出其最值来确定常数取值范围不失为一个简单有效的方法．

10．抽象函数(即不给出f(x)解析式，只知道f(x)具备的条件)的研究．

(1)若f(a+x)＝f(a－x)，则f(x)关于直线x＝a对称．

(2)若对任意的x，y∈R，都有f(x+y)＝f(x)+f(y)，则f(x)可与指数函数类比．

(3)若对任意的x，y∈(0，+∞)都有f(xy)＝f(x)+f(y)，则f(x)可与对数函数类比．

9．常用函数的研究、总结与推广：

(1)以二次函数为背景的函数问题(包括通过换元可转化为二次函数问题的)

(2)以指数函数为背景的函数问题．

(3)以对数函数为背景的函数问题．

(4)研究函数y＝ (≠)的图象性质及反函数．

(5)研究函数y＝x+的图象性质并推广．

(6)研究函数y＝ (a^x±a^－x)(a＞0且a≠1)的定义域、值域、单调性、反函数．

(7)研究函数y＝log_a()(a＞0且a≠1)的定义域、单调性、反函数．

8．函数的应用举例(实际问题的解法)．

(1)解决应用问题的一般程序是：

①审题：弄清题意、分清条件和结论、理顺数量关系；

②建模：将文字语言转化成数学语言，利用相应的数学知识模型．

③求模：求解数学模型，得到数学结论．

④还原：将用数学方法得到的结论，还原为实际问题的意义．

(2)建模类型：①可化为一、二次函数的应用题的解法；②可化为分段函数的应用题的解法；③可化为指数函数或对数函数型的应用题的解法．

7．图象的作法与平移：①据函数表达式，列表、描点、连光滑曲线；②利用熟知函数的图象的平移、翻转、伸缩变换；③利用函数图象的对称性或互为反函数图象的对称描绘函数图象．

6．单调性的判定法：①设x₁，x₂是所研究区间内的任两个自变量，且x₁＜x₂；②判定f(x₁)与f(x₂)的大小；③作差比较或作商比较．

(注：做有关选择、填空题时，可采用复合函数单调性判定法，做解答题时必须用单调性定义和基本函数的单调性．)

5．函数值域的求法：①配方法(二次或四次)；②判别式法；③反函数法；④换元法；⑤不等式法；⑥函数的单调性法．

4．函数的定义域的求法：列出使函数有意义的自变量的不等关系式，求解即可求得函数的定义域．常涉及到的依据为：①分母不为0；②偶次根式中被开方数不小于0；③对数的真数大于0，底数大于零且不等于1；④零指数幂的底数不等于零；⑤实际问题要考虑实际意义等．

3．反函数的求法：①解x用y表示的式子，②求原函数值域，③互换x，y改写成y＝f^－1(x)并注明定义域(即原函数值域)．