12．(2010天津高考，20)已知函数f(x)＝(x²+ax－2a²+3a)e^x(x∈R)，其中a∈R.

(1)当a＝0时，求曲线y＝f(x)在点(1，f(1))处的切线的斜率；

(2)当a≠时，求函数f(x)的单调区间与极值．

[解析]　(1)当a＝0时，f(x)＝x²e^x，

f′(x)＝(x²+2x)e^x，故f′(1)＝3e.

所以曲线y＝f(x)在点(1，f(1))处的切线的斜率为3e.

(2)f′(x)＝[x²+(a+2)x－2a²+4a]e^x.

令f′(x)＝0，解得x＝－2a，或x＝a－2.

由a≠知，－2a≠a－2.

以下分两种情况讨论．

①若a＞，则－2a＜a－2，当x变化时，

f′(x)、f(x)的变化情况如下表：

x	(－∞，－2a)	－2a	(－2a，a－2)	a－2	(a－2，+∞)
f′(x)	+	0	－	0	+
f(x)	?	极大值	?	极小值	?

所以f(x)在(－∞，－2a)，(a－2，+∞)内是增函数，

在(－2a，a－2)内是减函数．

函数f(x)在x＝－2a处取得极大值f(－2a)，且f(－2a)＝3ae^－2a.

函数f(x)在x＝a－2处取得极小值f(a－2)，且f(a－2)＝(4－3a)e^a－2.

②若a＜，则－2a＞a－2，当x变化时，f′(x)、f(x)的变化情况如下表：

x	(－∞，a－2)	a－2	(a－2，－2a)	－2a	(－2a，+∞)
f′(x)	+	0	－	0	+
f(x)	?	极大值	?	极小值	?

所以f(x)在(－∞，a－2)，(－2a，+∞)内是增函数，

在(a－2，－2a)内是减函数．

函数f(x)在x＝a－2处取得极大值f(a－2)，

且f(a－2)＝(4－3a)e^a－2.

函数f(x)在x＝－2a处取得极小值f(－2a)，

且f(－2a)＝3ae^－2a.

11．(2010年济南模拟)设函数y＝f(x)在(a，b)上的导数为f′(x)，f′(x)在(a，b)上的导数为f″(x)，若在(a，b)上，f″(x)＜0恒成立，则称函数f(x)在(a，b)上为“凸函数”，若函数f(x)＝x⁴－mx³－x²为区间(－1,3)上的“凸函数”，试确定实数m的值．

[解析]　由函数f(x)＝x⁴－mx³－x²得，

f′(x)＝x³－mx²－3x，

f″(x)＝x²－mx－3.

若f(x)为区间(－1,3)上的“凸函数”，则有f″(x)＝x²－mx－3＜0在区间(－1,3)上恒成立，由二次函数的图象知，当且仅当

，

即，得m＝2.

10．(2010年福州模拟)甲乙两地相距400千米，汽车从甲地匀速行驶到乙地，速度不得超过100千米/小时，已知该汽车每小时的运输成本P(元)关于速度v(千米/小时)的函数关系是P＝v⁴－v³+15v，

(1)求全程运输成本Q(元)关于速度v的函数关系式；

(2)为使全程运输成本最少，汽车应以多少速度行驶？并求此时运输成本的最小值．

[解析]　(1)Q＝P·＝(v⁴－v³+15v)·

＝(v³－v²+15)·400

＝－v²+6 000(0＜v≤100)．

(2)Q′＝－5v，

令Q′＝0，则v＝0(舍去)或v＝80，

当0＜v＜80时，Q′＜0.

当80＜v≤100时，Q′＞0.

∴v＝80时，全程运输成本取得极小值，即最小值．

从而Q_min＝Q(80)＝元．

9．将长为52 cm的铁丝剪成2段，各围成一个长与宽之比为2∶1及3∶2的矩形，那么面积之和的最小值为________．

[解析]　设剪成2段中其中一段为x cm，另一段为(52－x) cm，依题意知：

S＝·+·

＝x²+(52－x)²，

S′＝x－(52－x)，

令S′＝0，则x＝27.

另一段为52－27＝25.

此时S_min＝78.

[答案]　78

8．给出定义：若函数f(x)在D上可导，即f′(x)存在，且导函数f′(x)在D上也可导，则称f(x)在D上存在二阶导函数，记f″(x)＝(f′(x))′.若f″(x)＜0在D上恒成立，则称f(x)在D上为凸函数．以下四个函数在(0，)上不是凸函数的是________．(把你认为正确的序号都填上)

①f(x)＝sin x+cos x；

②f(x)＝ln x－2x；

③f(x)＝－x³+2x－1；

④f(x)＝xe^x.

[解析]　对于①，f″(x)＝－(sin x+cos x)，x∈(0，)时，

f″(x)＜0恒成立；

对于②，f″(x)＝－，在x∈(0，)时，f″(x)＜0恒成立；

对于③，f″(x)＝－6x，在x∈(0，)时，f″(x)＜0恒成立；

对于④，f″(x)＝(2+x)·e^x在x∈(0，)时f″(x)＞0恒成立，

所以f(x)＝xe^x不是凸函数．

[答案]　④

7．函数y＝x²e^x的单调递增区间为________．

[解析]　∵y＝x²e^x，∴y′＝2xe^x+x²e^x＝e^xx(2+x)≥0.

解得x≥0或x≤－2.

∴y＝x²e^x的递增区间为(－∞，－2]和[0，+∞)．

[答案]　(－∞，－2]和[0，+∞)

6．已知函数f(x)满足f(x)＝f(π－x)，且当x∈(－，)时，f(x)＝x+sinx，则(　)

A．f(1)＜f(2)＜f(3)　 　　　　　　　　　　　　　　　 B．f(2)＜f(3)＜f(1)

C．f(3)＜f(2)＜f(1)　 　　　　　　　　　　　　　　　 D．f(3)＜f(1)＜f(2)

[解析]由f(x)＝f(π－x)，得函数f(x)的图象关于直线

x＝对称，又当x∈(－，)时，

f′(x)＝1+cos x＞0恒成立，

所以f(x)在(－，)上为增函数，

f(2)＝f(π－2)，f(3)＝f(π－3)，

且0＜π－3＜1＜π－2＜，

所以f(π－3)＜f(1)＜f(π－2)，即f(3)＜f(1)＜f(2)．

[答案]　D

5．设f(x)、g(x)是R上的可导函数，f′(x)，g′(x)分别为f(x)、g(x)的导函数，且满足f′(x)g(x)+f(x)g′(x)＜0，则当a＜x＜b时，有(　)

A．f(x)g(b)＞f(b)g(x)　 　　　　　　　　　　　　　 B．f(x)g(a)＞f(a)g(x)

C．f(x)g(x)＞f(b)g(b)　 　　　　　　　　　　　　　 D．f(x)g(x)＞f(b)g(a)

[解析]　令y＝f(x)·g(x)，

则y′＝f′(x)·g(x)+f(x)·g′(x)，

由于f′(x)g(x)+f(x)g′(x)＜0，

所以y在R上单调递减，

又x＜b，故f(x)g(x)＞f(b)g(b)，

[答案]　C

4．若函数f(x)＝x³－3x+a有3个不同的零点，则实数a的取值范围是(　)

A．(－2,2)　 　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　 B．[－2,2]

C．(－∞，－1)　 　　　　　　　　　　　　　　　　　 D．(1，+∞)

[解析]∵f′(x)＝3x²－3＝3(x+1)(x－1)，

且当x＜－1时，f′(x)＞0；

当－1＜x＜1时，f′(x)＜0；

当x＞1时，f′(x)＞0，

∴当x＝－1时f(x)有极大值．

当x＝1时，

f(x)有极小值，要使f(x)有3个不同的零点．

只需，解得－2＜a＜2.

[答案]　A

3．已知f(x)＝2x³－6x²+m(m为常数)在[－2,2]上有最大值3，那么此函数在[－2,2]上的最小值是(　)

A．－37　 　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　 B．－29

C．－5　 　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　 D．以上都不对

[解析]　∵f′(x)＝6x²－12x＝6x(x－2)，

∵f(x)在(－2,0)上为增函数，在(0,2)上为减函数，

∴当x＝0时，f(x)＝m最大，

∴m＝3，从而f(－2)＝－37，f(2)＝－5.

∴最小值为－37.

[答案]　A