7．如果椭圆的对称轴为坐标轴，短轴的一个端点与两焦点组成一正三角形，焦点在y轴上，且a－c＝，则椭圆的标准方程是________．

[解析]　由已知得a＝2c，

又a－c＝，∴c＝，a＝2，b²＝a²－c²＝9.

∴椭圆的标准方程是+＝1.

[答案]　+＝1

6．B₁、B₂是椭圆短轴的两端点，O为椭圆中心，过左焦点F₁作长轴的垂线交椭圆于P，若|F₁B₂|是|OF₁|和|B₁B₂|的等比中项，则的值是(　)

A.　 　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　 B.

C.　 　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　 D.

[解析]　设椭圆方程为+＝1(a＞b＞0)，

令x＝－c得y²＝，∴|PF₁|＝，

∴＝＝，

又由|F₁B₂|²＝|OF₁|·|B₁B₂|得

a²＝2bc，∴a⁴＝4b²(a²－b²)．

∴(a²－2b²)²＝0.∴a²＝2b².∴＝.

[答案]　B

5．(2010年郑州模拟)如图，A、B、C分别为椭圆+＝1(a＞b＞0)的顶点与焦点，若∠ABC＝90°，则该椭圆的离心率为(　)

A.　 　　　　　　　　　　　　　　　　　　 B．1－

C.－1　 　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　 D.

[解析]　由已知得a²+(a²+b²)＝(a+c)²，

即c²+ac－a²＝0，∴e²+e－1＝0，

∵1＞e＞0，∴e＝.

[答案]　A

4．(2010年石家庄模拟)过点M(－2,0)的直线m与椭圆+y²＝1交于P₁，P₂两点，线段P₁P₂的中点为P，设直线m的斜率为k₁(k₁≠0)，直线OP的斜率为k₂，则k₁k₂的值为(　)

A．2　 　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　 B．－2

C.　 　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　 D．－

[解析]　由题意直线m的方程为y＝k₁(x+2)，

设P₁(x₁，y₁)，P₂(x₂，y₂)，

由得

(1+2k)x²+8kx+8k－2＝0，

∴x₁+x₂＝－，∴y₁+y₂＝，

∴P(－，)，

∴k₂＝＝－，∴k₁k₂＝－.

[答案]　D

3．已知F₁，F₂是椭圆+＝1的两个焦点，过F₂的直线交椭圆于点A，B，若|AB|＝5，则|AF₁|－|BF₂|等于(　)

A．3　 　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　 B．8

C．13　 　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　 D．16

[解析]　由椭圆方程得a＝4，

∴|AF₁|+|AF₂|＝8，∴|AF₁|＝8－|AF₂|.

∴|AF₁|－|BF₂|＝8－|AF₂|－|BF₂|

＝8－|AB|＝8－5＝3.

[答案]　A

2．已知椭圆的长轴长是短轴长的2倍，则椭圆的离心率等于(　)

A.　 　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　 B.

C.　 　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　 D.

[解析]　由题意知，2a＝2·2b，

∴＝，＝，

∴＝，∴e＝＝.

[答案]　D

1．已知椭圆过点P(，－4)和点Q(－，3)，则此椭圆的标准方程是(　)

A.+x²＝1

B.+y²＝1

C.+y²＝1或x²+＝1

D．以上都不对

[解析]　设椭圆的方程为

Ax²+By²＝1(A＞0，B＞0，A≠B)．

则，

解得A＝1，B＝，故选A.

[答案]　A

12．若在抛物线y²＝4x上恒有两点关于直线l：y＝kx+3对称，求k的取值范围．

[解析]　设B、C关于直线y＝kx+3对称，直线BC方程为x＝－ky+m，代入y²＝4x，得y²+4ky－4m＝0，

设B(x₁，y₁)、C(x₂，y₂)，BC中点M(x₀，y₀)，则

y₀＝＝－2k，

x₀＝2k²+m.

∵点M(x₀，y₀)在直线l上，

∴－2k＝k(2k²+m)+3.

∴m＝－，

因M(x₀，y₀)在抛物线y²＝4x内部，

则y＜4x₀，把m代入化简得＜0.

即＜0，解得－1＜k＜0.

10如图所示，已知F(0,1)，直线l：y＝－2，圆C：x²+(y－3)²＝1.

(1)若动点M到点F的距离比它到直线l的距离小1，求动点M的轨迹方程E；

(2)过轨迹E上一点P作圆C的切线，切点为A、B，要使四边形PACB的面积S最小，求点P的坐标及S的最小值．

[解析]　(1)设M(x，y)，得＝|y+2|－1.

当y≥－2时，化简得x²＝4y；

当y＜－2时，有x²＝8y+8，则y≥－1与y＜－2矛盾，故舍去．

∴点M的轨迹E的方程为x²＝4y.

(2)设P(x，y)，∵S＝2S_△PAC，|AC|＝1，

∴若要S最小，则要S_△PAC最小．

要S_△PAC＝|PA|最小，即|PA|最小．

∵|PC|²＝1+|PA|²，

又∵|PC|²＝x²+(y－3)²＝4y+(y－3)²

＝(y－1)²+8，

当y＝1时，|PC|＝8，

∴S_min＝，此时点P的坐标为(±2,1)．

11．(2010年青岛模拟)已知两点M(－2,0)，N(2,0)，点P为坐标平面内的动点，且满足||||+·＝0.

(1)求点P的轨迹C的方程；

(2)设过点N的直线l的斜率为k，且与曲线C相交于点S、T，若S、T两点只在第二象限内运动，线段ST的垂直平分线交x轴于Q点，求Q点横坐标的取值范围．

[解析]　(1)设点P(x，y)，根据题意则有：

＝(4,0)，||＝4，

||＝，＝(x－2，y)，

代入||||+·＝0

得：4+4(x－2)＝0.

整理得点P的轨迹C的方程：y²＝－8x.

(2)设S(x₁，y₁)，T(x₂，y₂)，

由题意得：ST的方程为y＝k(x－2)(显然k≠0)

与y²＝－8x联立消元得：ky²+8y+16k＝0，

则有：y₁+y₂＝－，y₁y₂＝16.

因为直线交轨迹C于两点，

则Δ＝b²－4ac＝64－64k²＞0，

再由y₁＞0，y₂＞0，则－＞0，故－1＜k＜0.

可求得线段ST中点B的坐标为(－+2，－)，

所以线段ST的垂直平分线方程为

y+＝－(x+－2)．

令y＝0得点Q横坐标为x_Q＝－2－，

x_Q＝－2－＜－6.

所以Q点横坐标的取值范围为(－∞，－6)．

9．(2010年湖南模拟)已知A(x₁，y₁)是抛物线y²＝4x上的一个动点，B(x₂，y₂)是椭圆+＝1上的一个动点，N(1,0)是一定点，若AB∥x轴，且x₁＜x₂，则△NAB的周长l的取值范围是________．

[解析]　由得，

∵AB∥x轴，且x₁＜x₂，

∴0＜x₁＜，＜x₂＜2，

又N(1,0)是抛物线的焦点，

∴|AN|＝x₁+1，|AB|＝x₂－x₁，

又|BN|²＝(x₂－1)²+y＝(x₂－1)²+3

＝(4－x₂)²，

∴|BN|＝(4－x₂)＝2－x₂，

∴周长l＝3+x₂，而＜x₂＜2，

∴＜l＜4.

[答案]