摘要：12．已知函数f(x)＝(x2+ax-2a2+3a)ex(x∈R).其中a∈R. (1)当a＝0时.求曲线y＝f(x)在点(1.f(1))处的切线的斜率, (2)当a≠时.求函数f(x)的单调区间与极值． [解析] (1)当a＝0时.f(x)＝x2ex. f′(x)＝(x2+2x)ex.故f′(1)＝3e. 所以曲线y＝f(x)在点(1.f(1))处的切线的斜率为3e. (2)f′(x)＝[x2+(a+2)x-2a2+4a]ex. 令f′(x)＝0.解得x＝-2a.或x＝a-2. 由a≠知.-2a≠a-2. 以下分两种情况讨论． ①若a＞.则-2a＜a-2.当x变化时. f′(x).f(x)的变化情况如下表: x (-∞.-2a) -2a (-2a.a-2) a-2 (a-2.+∞) f′(x) + 0 - 0 + f(x) ? 极大值 ? 极小值 ? 所以f(x)在(-∞.-2a).(a-2.+∞)内是增函数. 在(-2a.a-2)内是减函数． 函数f(x)在x＝-2a处取得极大值f(-2a).且f(-2a)＝3ae-2a. 函数f(x)在x＝a-2处取得极小值f(a-2).且f(a-2)＝(4-3a)ea-2. ②若a＜.则-2a＞a-2.当x变化时.f′(x).f(x)的变化情况如下表: x (-∞.a-2) a-2 (a-2.-2a) -2a (-2a.+∞) f′(x) + 0 - 0 + f(x) ? 极大值 ? 极小值 ? 所以f(x)在(-∞.a-2).(-2a.+∞)内是增函数. 在(a-2.-2a)内是减函数． 函数f(x)在x＝a-2处取得极大值f(a-2). 且f(a-2)＝(4-3a)ea-2. 函数f(x)在x＝-2a处取得极小值f(-2a). 且f(-2a)＝3ae-2a.

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