11．已知函数，，

　 (1)若函数，求函数、的解析式；

　 (2)若函数，函数的定义域是[1,2]，

　　　　 求的值；

　 (3)设是定义在上的周期为4的奇函数，且函数的图像关于直线

　　　　 对称。当时，，求正数的最小值及函数在[-2,2]上

　　　　 的解析式。

解：(1)∵ ， (1¢) ∴ ；　　　　 ；　　　　 . 　　

(2)∵ ，∴,　　　 ,　　　　 ，　　　 ∴.　

　　　 由题设，得.　

　 (3)∵是定义在R上的奇函数，∴　 ①

　　　　 ∵函数的图象关于直线对称，∴　 ②

　　　　 在②式中以替换，得 　③

　　　　 由①式和③式，得 　④

　　　　 在④式中以替换，得 　⑤

　　　　 由④式和⑤式，得 　(14¢)

　　　　 ∵是定义在R上的周期为4的奇函数，∴正数的最小值是1.　

　　　　 ∴当Î[0,1]时，，∴当Î[-1,0]时，Î[0,1]，

　　　　 ，即.

　　　　 ∵函数的图象关于直线对称，

　　　　 ∴当Î(1,2]时，2-Î[0,1)，

　　　　 当Î[-2,-1)当，Î(1,2]，，即.

　　　　 ∴.　

30．已知数列的前项和满足

　　　 (Ⅰ)求k的值；

　　　 (Ⅱ)求；

　　　 (Ⅲ)是否存在正整数使成立？若存在求出这样的正整数；若不存在，说明理由

解：(I)

　 又………………2分

(Ⅱ)由(I)知　　 ①

当时， ②

①－②，得………………4分

又，易见

于是是等比数列，公比为，所以

………………6分

(Ⅲ)不等式，即

整理得…………8分

假设存在正整数使得上面的不等式成立，由于2ⁿ为偶数，为整数，则只能是

………………10分

因此，存在正整数…………12

29．已知平面上一定点C(4，0)和一定直线为该平面上一动点，作，垂足为Q，且(

　 (1)问点P在什么曲线上？并求出该曲线的方程；

　 (2)设直线与(1)中的曲线交于不同的两点A、B，是否存在实数k，使

　　　　 得以线段AB为直径的圆经过点D(0，－2)？若存在，求出k的值，若不存在，

　　　　 说明理由.

解：(1)设P的坐标为，由得

(2分) ∴(

化简得　 ∴P点在双曲线上，其方程为

(2)设A、B点的坐标分别为、，

由　 得，

∵AB与双曲线交于两点，∴△>0，即

解得(9分)

∵若以AB为直径的圆过D(0，－2)，则AD⊥BD，∴，

即，

∴

∴

解得，故存在k值……，所求k值为.

28、已知各项均为正数的数列的前项和为,且

(1)求数列的通项；

(2)是否存在正整数，使不等式对所有正整数均成立，并证明你的结论。

解：(1)2…………1

　　　　　　 2………………2

……………………………………(2分)

………………………………………………(4分)

又　

　 ……………………………………………………………………(6分)

………………………………………………………(8分)

下面用数学归纳证明不等式

　 该不等式显然成立

　　 当n=k+1时不等式也成立

综上(1)、(2)对任意命题都成立

27．设数列{a_n}的首项为1，前n项和为S_n，且对任意大于或等于2的自然数n，等式3tS_n－(2t+3)S_n-1=3t成立。

(1)若t为正常数，证明数列{a_n}成等比数列，并求数列的公比q及前n项和；

(2)对(1)中求得的q，若t为变量，令f(t)=q,设函数g(t)=3t³f(t),且设t∈R，求g(t)的单调区间和极值；

(3)研究g(t)－k=0的解的个数.　　　　　　　　　　　　　　　　　　

解：(1)由题可知，当n＝2时，3tS₂-(2t+3)S₁=3t?a₂= ,又a₁=1,所以 = ,

当n≥2时。由3tS_n-(2t+3)S_n-1=3t

与3tS_n-1-(2t+3)S_n-2=3t两式相减可得3ta_n-(2t+3)a_n-1=0?=,由上可知，对于自然数n都有 =式子成立，故{a_n}成等比数列，且公比q =

若t=3时，q=1,此时S_n=n

若t>0,t≠3时，则S_n=　=　.

(2)由题可知：q=f(t)=,⇒g(t)=3t³⇒g(t)=2t³+3t²,?⇒g'(t)=6t²+6t=6t(t+1)；所以

　当t=-1时，g(t)有极大值1

　当t=0时，g(t)有极小值0

(3)画出y=g(t)及y=k的图象可得：

当k>1或k<0时，有一解　　 当k=1或k=0时，有二解　　 当0<k<1时，有三解.

26．数列{a_n}中，a₇=,当n≥2时，a_n=.

(1)　　　　 求a₈,a₉,a₁₀的值；

(2)　　　　 是否存在自然数m,当n>m时，a_n<2;当n≤m时，a_n>2?若存在，求出m的值；若不存在，说明理由。

(3)　　　　 当n≥10时，证明＜a_n.

解(1)a₈=, a₉=, a₁₀=.

(2)a_n-2=,

∴当a_n-2＜2时，a_n＜2, 又a₉=-8＜2,

故当n＞8时a_n＜2。

由a_n=得a_n-1=, a_n-1-2=.

∴当a_n＞2时，a_n-1＞2。

又a₈=12＞2，

∴当n≤8时，a_n＞2。

综上所述，满足条件的m存在，且m=8.

(3)a_n-1+a_n+1-2a_n = ( -a_n)+()

=.

a₁₀=-∈(-3，2)。

下面证明，当n≥10时，-3＜a_n＜2，其中当n≥10时，a_n＜2已证，只需证当n≥10时， a_n＞-3。

a_n+3=+3=

当a_n-1∈(-3，2)时，＞0，即a_n＞-3.

∴当n≥10时，-3＜a_n＜2。

因此，当n≥10时，a_n-1+a_n+1-2a_n ＜0，

即＜a_n.

25．如图，过椭圆的左焦点F任作一条与两坐标轴都不垂直的弦AB，若点M在x轴上，且使得MF为△AMB的一条内角平分线，则称点M为该椭圆的“左特征点”． (1)求椭圆的“左特征点”M的坐标；

　(2)试根据(1)中的结论猜测：

椭圆 的“左特征点”M是一个怎样的点？并证明你的结论．

解：设M(m，0)为椭圆的左特征点，椭圆的左焦点为， 　设直线AB的方程为 　将它代入得：，即　　

　设A(x₁，y₁)，B(x₂，y₂)，则，　　　　　　　 　∵∠AMB被x轴平分，∴ 　　 即，Þ 　　 Þ 　　 ∴，　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　 　于是 　∵，∴，即 　∴M(，0)　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　

　(2)解：对于椭圆，，b = 1，c = 2，∴． 　于是猜想：椭圆的“左特征点”是椭圆的左准线与x轴的交点．　

　证明：设椭圆的左准线l与x轴相交于M点，过A、B分别作l的垂线，垂足分别为C、D 　据椭圆第二定义：，即 　∵，∴　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　

　于是，即 　∴，又均为锐角， 　∴，∴ 　∴MF为∠AMB的平分线，故M为椭圆的“左特征点”．　　　　　　　　　　　　　　　　

24． 对数列，规定为数列的一阶差分数列，其中。

　　 对自然数，规定为的阶差分数列，其中。

　 (1)已知数列的通项公式，试判断，是否为等差或等比数列，为什么？

　 (2)若数列首项，且满足，求数列的通项公式。

　 (3)对(2)中数列，是否存在等差数列，使得对一切自然都成立？若存在，求数列的通项公式；若不存在，则请说明理由。

　 解：(1)，∴是首项为4，公差为2的等差数列。

∴是首项为2，公差为0的等差数列；也是首项为2，公比为1的等比数列。

　　 (2)，即，即，∴

　　　　 ∵，∴，，，猜想：

　　　　 证明：ⅰ)当时，；

　　　　　　　 ⅱ)假设时，

　　　 　　　　　　时， 结论也成立

　　　　　　　 ∴由ⅰ)、ⅱ)可知，

　　　 (3)，即

　　　　 　∵

　　　　　 ∴存在等差数列，，使得对一切自然都成立。

23．已知函数是定义在上的奇函数，当时，(为常数)。

　　 (1)求函数的解析式；

　　 (2)当时，求在上的最小值，及取得最小值时的，并猜想在上的单调递增区间(不必证明)；

　　 (3)当时，证明：函数的图象上至少有一个点落在直线上。

　 解：(1)时，， 则

　　　　　　　 　∵函数是定义在上的奇函数，即

　　　　　　　 　∴，即 ，又可知

　　　　　 　∴函数的解析式为 　，

　　　 (2)，∵，，∴

　　　　 　∵

　　　　 　∴，即 时， 。

　　　　　 猜想在上的单调递增区间为。

　　　 (3)时，任取，∵

　　　　　　　　　 　∴在上单调递增，即，即

　　　　　　　　　 　∵，∴，∴

　　　　　 　∴当时，函数的图象上至少有一个点落在直线上。

22. 已知函数，当点在的图像上移动时，

点在函数的图像上移动．

(1) 若点P坐标为()，点Q也在的图像上，求的值；

(2) 求函数的解析式；

(3) 当时，试探求一个函数使得在限定定义域为

时有最小值而没有最大值．

解：(1)当点坐标为()，点的坐标为，…………2分 ∵点也在的图像上，∴，即．……5分

(根据函数的单调性求得，请相应给分) (2)设在的图像上 则，即　　 ……………………………………8分 而在的图像上，∴ 代入得，为所求．…………………………………11分

(3)；或　 等．　　 …………………15分 如：当时，

∵在单调递减，　 ∴　　 故 ， 即有最小值，但没有最大值．………………………18分

(其他答案请相应给分)

(参考思路)在探求时，要考虑以下因素：①在上必须有意义(否则不能参加与的和运算)；②由于和都是以为底的对数，所以构造的函数可以是以为底的对数，这样与和进行的运算转化为真数的乘积运算；③以为底的对数是减函数，只有当真数取到最大值时，对数值才能取到最小值；④为方便起见，可以考虑通过乘积消去；⑤乘积的结果可以是的二次函数，该二次函数的图像的对称轴应在直线的左侧(否则真数会有最小值，对数就有最大值了)，考虑到该二次函数的图像与轴已有了一个公共点，故对称轴又应该是轴或在轴的右侧(否则该二次函数的值在上的值不能恒为正数)，即若抛物线与轴的另一个公共点是，则，且抛物线开口向下．