21．若函数对定义域中任一均满足，则函数的图像关于点对称。

(1)已知函数的图像关于点对称，求实数的值；

(2)已知函数在上的图像关于点对称，且当 时，，求函数在上的解析式；

(3)在(1)、(2)的条件下，若对实数及，恒有，求实数的取值范围。

解：(1)由题设可得，解得；

(2)当时，；

(3)由(1)得， 其最小值为， ，

当，即时，，得，

①　　 ②当，即时，，得，由①、②得。

40．已知函数

　 (1)求函数f(x)是单调区间；

　 (2)如果关于x的方程有实数根，求实数的取值集合；

　 (3)是否存在正数k，使得关于x的方程有两个不相等的实数根？如果存在，求k满足的条件；如果不存在，说明理由.

解：(1)函数的定义域是

对求导得

　 …………(2分)

由

由

因此 是函数的增区间；

(－1，0)和(0，3)是函数的减区间　　 ………………(5分)

(2)[解法一]：因为

所以实数m的取值范围就是函数的值域　 …………(6分)

对

令

∴当x=2时取得最大值，且

又当x无限趋近于0时，无限趋近于无限趋近于0，

进而有无限趋近于－∞.

因此函数的值域是

即实数m的取值范围是　 ………………(9分)

[解法二]：方程有实数根等价于直线与曲线y=lnx有公共点，并且当直线与曲线y=lnx相切时，m取得最大值. ……(6分)

设直线相切，切点为求导得

解得　

所以m的最大值是。而且易知当与曲线y=lnx总有公共点。

因此实数m的取值集合是　 ………………(9分)

(3)结论：这样的正数k不存在。　 ………………(10分)

下面采用反证法来证明：假设存在正数k，使得关于x的方程

有两个不相等的实数根，则

　…………(11分)

根据对数函数定义域知都是正数。

又由(1)可知，当

∴=

再由k>0，可得

由于 不妨设

由①和②可得

利用比例性质得　

即　 　…………(13分)

由于上的恒正增函数，且

又由于 上的恒正减函数，且

∴

∴

这与(*)式矛盾。

因此满足条件的正数k不存在　 ……………………(14分)

39. 已知抛物线，过C上点M，且与M处的切线垂直的直线称为C在点M的法线。

　 ⑴若C在点M的法线的斜率为，求点M的坐标()；

⑵设为C对称轴上的一点，在C上是否存在点，使得C在该点的法线通过点P？若有，求出这些点，以及C在这些点的法线方程；若没有，请说明理由。

解(1)函数的导数上点处切线的斜率，因为过点的法线斜率为，所以，解得，故点M的坐标为。

(2)设为C上一点，

①若，则C上点处的切线斜率，过点的法线方程为，此法线过点；

②若，则过点的法线方程为： ①

若法线过，则，即 　②

若，则，从而，将上式代入①，

化简得：，

若与矛盾，若，则②式无解。

综上，当时，在C上有三点及，在这三点的法线过，其方程分别是：

　　。

当时，在C上有一点，在这点的法线过点，其方程为：。

38．设无穷数列{a_n}具有以下性质：①a₁=1；②当

　 (Ⅰ)请给出一个具有这种性质的无穷数列，使得不等式 对于任意的都成立，并对你给出的结果进行验证(或证明)；

　 (Ⅱ)若，其中，且记数列{b_n}的前n项和B_n，证明：

解：(Ⅰ)令，

　　 则无穷数列{a_n}可由a₁ = 1，给出.

　　 显然，该数列满足，且

　　 　……………………6分

　 (Ⅱ)

　　　　　 　………………………………………………8分

　　　 又

37．已知圆上的动点，点Q在NP上，点G在MP上，且满足.

　 (1)求点G的轨迹C的方程；

　 (2)过点(2，0)作直线，与曲线C交于A、B两点，O是坐标原点，设 是否存在这样的直线，使四边形OASB的对角线相等(即|OS|=|AB|)？若存在，求出直线的方程；若不存在，试说明理由.

解：(1)Q为PN的中点且GQ⊥PN

　　　 GQ为PN的中垂线|PG|=|GN|　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　

 ∴|GN|+|GM|=|MP|=6，故G点的轨迹是以M、N为焦点的椭圆，其长半轴长，半焦距，∴短半轴长b=2，∴点G的轨迹方程是

　 (2)因为，所以四边形OASB为平行四边形

　　　 若存在l使得||=||，则四边形OASB为矩形

　　　 若l的斜率不存在，直线l的方程为x=2，由

　　　 矛盾，故l的斜率存在.　　

　　　 设l的方程为

　　　 　 ①

　　　 　 ②　　　　　　　　　　　

　　　 把①、②代入

　　　 ∴存在直线使得四边形OASB的对角线相等.

35．已知等差数列{a_n}的首项a₁＝1，公差d＞0，且第二项、第五项、第十四项分别是一个等比数列的第二项、第三项、第四项．

(Ⅰ)求数列{a_n}的通项公式；

(Ⅱ)设b_n＝(n∈N^*)，S_n＝b₁+b₂+…+b_n，是否存在最大的整数t，使得任意的n均有S_n＞总成立？若存在，求出t；若不存在，请说明理由．

解：(Ⅰ)由题意得(a₁+d)(a₁+13d)=(a₁+4d)²， ……………………… 2 分

整理得2a₁d＝d²．

∵a₁＝1，解得(d＝0舍)，d＝2． 　………………………………………… 4 分

∴a_n＝2n－1(n∈N^*)．　 …………………………………………………… 6 分

(Ⅱ)b_n＝＝＝(－)，

∴S_n＝b₁+b₂+…+b_n＝［(1－)+(－)+…+(－)］

＝(1－)＝．　 …………………………………… 10 分

假设存在整数t满足S_n＞总成立.

又S_n+1－S_n＝－＝＞0，

∴数列{S_n}是单调递增的．　 ……………………………………………… 12 分

∴S₁＝为S_n的最小值，故＜，即t＜9．

又∵t∈N^*，

∴适合条件的t的最大值为8．　 ………………………………………… 14 分

36 已知数列满足：，，≥．

(Ⅰ)求数列的通项公式；　

(Ⅱ)求使不等式＜成立的所有正整数、的值．

解 (Ⅰ)由2 a_n+1 = 3a_n－a_n－1(n≥2)，得 2(a_n+1－a_n)= a_n－a_n－1，

∴，因此数列{ a_n－a_n－1 }是以a₂－a₁ = 1为首项，为公比的等比数列，

∴，……………………………………………………………………………………4分

于是 a_n =(a_n－a_n－1)+(a_n－1－a_n－2)+ … +(a₂－a₁)+ a₁

　 ==． ………………………………………6分

(Ⅱ)由不等式，得 ，

∴ ，即 ，………………………………………………8分

所以　 2＜(4－m)· 2ⁿ ＜8． ∵ 2ⁿ为正偶数，4－m为整数，

∴ (4－m)· 2ⁿ = 4，或 (4－m)· 2ⁿ = 6，

∴ 　或 　或 　或

解得 　或 　或 　或

经检验使不等式成立的所有正整数m、n的值为

(m，n)=(1，1)或(2，1)或(3，2)．………………………………………………………12分

说明　 问题(1)的归纳做法是：由已知可得，

∴ ，，

，……，于是 ．

34．已知函数, 且

的图象经过点, 数列为等差数列.

(1) 求数列的通项公式

(2) 当n为奇数时, 设

问: 是否存在自然数m和M, 使得不等式恒成立? 若存在, 求出的最

小值; 若不存在, 请说明理由.

解: (1)由题意得即. 令, 则令,

则令, 则

……(3分)

设等差数列的公差为d, 则……(5分)

∴.……(6分)

(2)由(1)知: . n为奇数时,

……(7分)

∴

…………①

…………②……(9分)

由①－②得:

∴……(10分)

设, ∵

∴随n的增加而减小.又随n的增大而减小, ∴为n的增函数. ……(12分)

当时,,而∴……(13分)

由此易知: 使恒成立的m的最大值为0,

M的最小值为2, M－m的最小值为2. ……(14分)

33．已知数列{a_n}有a₁=a，a₂=p (常数p>0)，对任意的正整数n，S_n=a₁+a₂+…+a_n，并有S_n满足。

　　 (1) 求a的值；

　　 (2) 试确定数列{a_n}是否是等差数列，若是，求出其通项公式，若不是，说明理由；

　　 (3) 对于数列{b_n}，假如存在一个常数b使得对任意的正整数n都有b_n<b，且，则称b为数列{b_n}的“上渐进值”，令，求数列{p₁+p₂+…+p_n-2n}的“上渐进值”。

解：(1)，即

　 (2)

　　　 　∴是一个以为首项，为公差的等差数列。

　 (3)，

　　　 　∴

　　　　 又∵，∴数列的“上渐近值”为。

32．设函数R.

　　　 (I)求函数的最值；

　　　 (Ⅱ)给出定理：如果函数在区间[]上连续，并且有，那么，函数在区间内有零点，即存在.

　　　 运用上述定理判断，当时，函数在区间内是否存在零点.

解：(I)

　　　 令　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　 ……………………2分

　　　 由①知f(x)无最大值.　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　 ……………………6分

　　　 (Ⅱ)函数f(x)在[m，2m]上连续.

　　　 上递增.　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　 ……………………8分

　　　 由　　　　　　　 ……………………10分

　　　 又

　　　 根据定理，可判断函数f(x)在区间(m，2m)上存在零点.　 ……………………12分

31．在平面直角坐标系中，为坐标原点，已知两点、，若点满足()，点的轨迹与抛物线：交于 、两点.

(Ⅰ)求证：⊥；

(Ⅱ)在轴上是否存在一点，使得过点直线交抛物线于D、E两点，并以该弦DE为直径的圆都过原点。若存在，请求出的值及圆心的轨迹方程；若不存在，请说明理由.

解：1)解：由()知点的轨迹是、两点所在的直线，故 点的轨迹方程是：即………… ….2分

由

∴　　

∴

∴　 故 ⊥.　 ……………………………………6分

　 2)解：存在点，使得过点任作抛物线的一条弦，以该弦为直径的圆都过原点

　　　　　 由题意知：弦所在的直线的斜率不为零　 …………………………………7分

故 设弦所在的直线方程为： 代入 　得

∴　 　　　　

∴ 故以为直径的圆都过原点　 …………………………..10分

设弦的中点为　 则　

∴弦的中点的轨迹方程为：

　　　 　消去得　 .　 ……………………14分