50．已知椭圆的右准线与轴相交于点，右焦点到上顶点的距离为，点是线段上的一个动点.

(1)求椭圆的方程;

(2)是否存在过点且与轴不垂直的直线与椭圆交于、两点,使得,并说明理由.

解 (1)由题意可知，又，解得，

椭圆的方程为；

(2)由(1)得，所以.假设存在满足题意的直线，设的方程为

，代入，得，

设，则　 ①

，

，

而的方向向量为,

;

当时,,即存在这样的直线;

当时,不存在,即不存在这样的直线 .

49．设函数的定义域与值域均为R，的反函数为，定义数列{中，，……。

若对于任意实数x，均有+=2.5x，求证：①，……。

②设……，求{的通项公式。

若对于任意实数x，均有+<2.5x，是否存在常数A、B同时满足：

①当n=0.or.n=1时，有成立；②当n=2、3、4、……，时，成立。

如果存在，求出A、B的值；如果不存在，说明理由。

解：(1)由，又在等式+=2.5x中令，

从而有………………(1)成立。

又及(1)式有：，所以{，

。

(2)由n=0.or.n=1时，有成立，可求得A=B=4,

由对于任意实数x，均有+<2.5x,可得………………(2)

下面利用(2)和A=B=4，用数学归纳法证明：

当n=2、3、4、……，时，成立即可，证明过程容易，略去。

所以存在实数A=B=4，使结论成立。

48．已知函数

(1) 若在上单调递增，求的取值范围；

(2) 若定义在区间D上的函数对于区间D上的任意两个值总有以下不等式成立，则称函数为区间D上的“凹函数”.

试判断当时，是否为“凹函数”，并对你的判断加以证明.　　

解：(Ⅰ)由，得 ……………………2分

欲使函数为上单调增函数，则在上恒成立，即不等式在上恒成立.也即在上恒成立.………………4分

令，上述问题等价于，而为在上的减函数，则，于是为所求. ………………………………………………6分

(Ⅱ)证明：由 得

　 ………………………………7分

　 ………………………………………8分

　 而　 ①　 ………………………10分

　　 又，　 ∴　 ② …………11分

∵　 ∴，

∵　 ∴　 ③　 …………………………………13分

由①、②、③得

即，

从而由凹函数的定义可知函数为凹函数. …………14分

46．已知集合，。

　 (1)判断与的关系，并说明理由；

　 (2)中的元素是否都是周期函数，证明你的结论；

(3)中的元素是否都是奇函数，证明你的结论。

解(1)∵

=　 ∴ ……6分

(2)因是周期为6的周期函数，猜测也是周期为6的周期函数

　 由，得，

　 ∴

　 ∴，　 ∴，

　 ∴，得证是周期为6的周期函数，

故中的元素都是周期为6的周期函数。……12分

(3)令，可证得……16分

　 ∴，但是偶函数，不是奇函数，

　∴中的元素不都是奇函数。…

47设函数的定义域为R，当　　 时，，且对任意的实数R，有 成立 数列满足，且(N)

(1)证明在R上为减函数；

(2)求的值；

(3)若不等式对一切N均成立，求的最大值

解:(1)令,，得,,故

当时,,,进而得

设R，且,

则,,

故,函数在R上是单调递减函数

(2)由,得

故,,(N)

因此,是首项为1,公差为2的等差数列 由此得,　 　

(3) 由恒成立,

知恒成立

设,则,

且

又,即,故为关于的单调增函数, 所以,,即的最大值为

43．设数列{a_n}的各项都是正数，且对任意n∈N⁺，都有，记S_n为数列{a_n}的前n项和.

　 (1)求证：=2S_n－a_n；

　 (2)求数列{a_n}的通项公式；

　 (3)若(为非零常数，n∈N⁺)，问是否存在整数，使得对任意 n∈N⁺，都有b_n+1>b_n.

解：(1)在已知式中，当n=1时，

　　 ∵a₁>0　 ∴a₁=1……………………………………1分

　　 当n≥2时，　 ①

　　 　②

　　 ①－②得，…………………………3分

　　 ∵a_n>0　 ∴=2a₁+2a₂+…+2a_n－1+a_n，

　　 即=2S_n－a_n　 ∵a₁=1适合上式

　 ∴=2S_n－a_n(n∈N₊)……………………5分

　 (2)由(1)知=2S_n－a_n(∈N₊) ③

　　　　 当n≥2时， =2S_n－1－a_n－1　 ④

　　　　 ③－④得－=2(S_n－S_n－1)－a_n+a_n－1=2a_n－a_n+ a_n－1= a_n+ a_n－1

　　　　 ∵a_n+a_n－1>0　 ∴a_n－a_n－1=1……………………8分

∴数列{a_n}是等差数列，首项为1，公差为1，可得a­_n=n………………9分

　 　(3)∵

∴ ⑤……………………11分

当n=2k－1，k=1，2，3，……时，⑤式即为　 ⑥

依题意，⑥式对k=1，2，3……都成立，∴λ<1………………12分

当n=2k，k=1，2，3，…时，⑤式即为　 ⑦

依题意，⑦式对k=1，2，3，……都成立，

∴……………………13分

∴

∴存在整数λ=－1，使得对任意n∈N，都有b_n+1>b_n……………

44设关于x的方程有两个实根、，且.定义函数

(Ⅰ)求的值；

(Ⅱ)判断在区间上的单调性，并加以证明；

(Ⅲ)若为正实数，证明不等式：

(Ⅰ)解：∵是方程的两个实根

　　　　　 ∴　　　　　　　　　　　　　　　　　　　 　

　　　　　 ∴　

　　　　　 同理　　　　　　　　　　　　　　　　　　 　

　　　　　 ∴　　　　　　　　　　　　　　　 …………3分

(Ⅱ)∵

　　　 ∴　　　　　 …………4分

　　　 当时，　　　　　　 …………5分

而

∴在上为增函数　　　　　　　　　　　　 　　　…………7分

(Ⅲ)∵且

　　　 ∴

　　 ∴　　　　　　　　　　　　　　　　　　　 …………9分

　　 由(Ⅱ)可知

　　 同理可得　　　　　　　　　　　　 …………10分

　　 ∴

　　 ∴　　　　　　　　 …………12分

　　 又由(Ⅰ)知

　　 ∴

　　 所以 　　　　　　　　………

45已知数列{a _n}前n项的和为S _n，前n项的积为，且满足。

①求；　　　　　 ②求证：数列{a _n}是等比数列；

③是否存在常数a，使得对都成立？

　 若存在，求出a，若不存在，说明理由。

解、①；③

42．已知函数(a为常数).

(1)如果对任意恒成立，求实数a的取值范围；

(2)设实数满足：中的某一个数恰好等于a，且另两个恰为方程 的两实根，判断①，②，③是否为定值？若是定值请求出：若不是定值，请把不是定值的表示为函数，并求的最小值；

(3)对于(2)中的，设，数列满足 ，且，试判断与的大小，并证明.

解：(1)

对恒成立，

又恒成立，对恒成立，

又，

(2)由得：，

不妨设，则q，r恰为方程两根，由韦达定理得：

①

②

③而

设，求导得：

当时，递增；当时，递减；

当时，递增，

在上的最小值为

(3)

如果，则

在为递增函数，

又

41．数列，

⑴是否存在常数、，使得数列是等比数列，若存在，求出、的值，若不存在，说明理由。

⑵设，证明：当时，.

　　 ⑴解:设 ，

　　　 即　　 …………………………… (2分)

　　　 故　　　 …………………………… (4分)

∴ ………(5分)

又 ……………………………………………………………………(6分)

故存在是等比数列 ……………(7分)

⑵证明：由⑴得 　∴，

故 　　……………………………………………… (8分)

∵ 　………………………… (9分)

∴

　　　　　　　 　……………………………………(11分)

现证.

当，

故时不等式成立　　 ………………………………………………(12分)

当得

，且由，

∴　 …………………………………… (14分)

4．若函数f(x)＝则f(－)的值为________．

解析：由已知得：f(－)＝f(－)+1＝f()+2＝－cos+2＝.

3．(2008年高考浙江卷)若cosα+2sinα＝－，则tanα＝(　)

A.　 　　　　　　　　　　B．2

C．－　 　　　　　　　　D．－2

解析：选B.由

将①代入②得(sinα+2)²＝0，

∴sinα＝－，cosα＝－.故选B.

2.(2009年高考陕西卷)若tanα＝2，则的值为(　)

A．0　 　　　　　　　　　B.

C．1　 　　　　　　　　　D.

解析：选B.＝＝＝.