(9)  _________.

(10) 在△中，角所对的边分别为.若∠，则∠等于_________度.

(11) 若展开式中的二项式系数和为512，则等于_________；该展开式中的常

数项为_________.     

(12) 已知动直线平分圆，则直线与圆为参数)的位置关系是_________.

(13) 过抛物线的焦点作直线，交抛物线于两点，交其准线于 点.若，则直线的斜率为_________.

(14) 定义映射，其中，.已知对所有的有序正整数对满足下述条件：①；②若，；

③，则的值是_________；的表达式为_________（用含的代数式表示）.

得分

评卷人

(15)（本小题满分13分）

已知函数．

（Ⅰ）求函数的最小正周期，并写出函数图象的对称轴方程；

（Ⅱ）若，求函数的值域．

得分

评卷人

(16) （本小题满分13分）

在添加剂的搭配使用中，为了找到最佳的搭配方案，需要对各种不同的搭配方式作比较．在试制某种牙膏新品种时，需要选用两种不同的添加剂．现在可供选用的不同添加剂有6种，其中芳香度为1的添加剂1种，芳香度为2的添加剂2种，芳香度为3的添加剂3种．根据试验设计原理，通常要随机选取两种不同的添加剂进行搭配试验．

（Ⅰ）求所选用的两种不同的添加剂的芳香度之和为3的概率；

（Ⅱ）求所选用的两种不同的添加剂的芳香度之和为偶数的概率；

（Ⅲ）用表示所选用的两种不同的添加剂的芳香度之和，写出的分布列，并求的数学期望．

得分

评卷人

(17) （本小题满分14分）

如图，在直三棱柱中, 已知， ，，是的中点.

（Ⅰ）求证：；

（Ⅱ）求二面角的大小；

（Ⅲ）求直线与平面所成角的正弦值.

得分

评卷人

(18)（本小题满分13分）

已知函数．

（Ⅰ）写出函数的定义域，并求函数的单调区间；

（Ⅱ）设过曲线上的点的切线与轴、轴所围成的三角形面积为，求的最小值，并求此时点的坐标.

得分

评卷人

(19)（本小题满分13分）

已知的三边长成等差数列，若点的坐标分别为．

（Ⅰ）求顶点的轨迹的方程；

（Ⅱ）若线段的延长线交轨迹于点，当  时，求线段的垂直平分线与轴交点的横坐标的取值范围．

得分

评卷人

(20)（本小题满分14分）

已知数列的前项和为，且，其中．

（Ⅰ）求数列的通项公式；

（Ⅱ）设数列满足，为的前项和，求证：

；

（Ⅲ）是否存在正整数，使得成立？若存在，请求出和的值；若不存在，请说明理由．

北京市朝阳区高三统一练习㈠

              数学理科答案            2009.4

一、选择题:

题号

1

2

3

4

5

6

7

8

答案

D

B

D

A

C

D

A

A

(9)  ;           (10)  105°;           (11)  9,  ;         (12)  相交

(13)  ;     (14)   6,  .

(15) 解:（Ⅰ）因为

，

所以, 函数的最小正周期为2．       

由，得 .

故函数图象的对称轴方程为.     ………………8分

（Ⅱ）因为，所以．

所以.

所以函数的值域为．            ………………13分

(16) 解：（Ⅰ）设“所选用的两种不同的添加剂的芳香度之和为3”为事件A，则

答：所选用的两种不同的添加剂的芳香度之和为3的概率是   ……4分

（Ⅱ）设“所选用的两种不同的添加剂的芳香度之和为偶数”为事件B，

两种添加剂的芳香度之和为偶数有三种可能：芳香度为1和3，芳香度为2和2，芳香度为3和3，其中芳香度为1和3的概率为

芳香度为2和2的概率为

芳香度为3和3的概率为  

所以

答：所选用的两种不同的添加剂的芳香度之和为偶数的概率是  ……………9分

（Ⅲ）的可能取值为3，4，5，6，且

所以的分布列为

3

4

5

6

P

所以,              ………………13分

(17) 解法一：

（Ⅰ）证明：因为，

是的中点，所以.

由已知，三棱柱是直三棱柱，

所以平面平面.

所以平面.

又因为平面,

所以.        ………………5分

（Ⅱ）解：由（1）知平面.

过作，垂足为,连结.

由三垂线定理可知，

所以是二面角的平面角.

由已知可求得，,   所以.

所以二面角的大小为.

由于二面角与二面角的大小互补，

所以二面角的大小为.              ………………10分

（Ⅲ）过D作,垂足为,连结.

由（Ⅱ）可证得平面,所以,可证得平面.

所以, 为直线与平面所成的角.

在直角三角形中，可知，所以.

在直角三角形中，可知=.

在直角三角形中，=.

所以直线与平面所成角的正弦值为.     ………………14分

解法二：

以的中点为原点，先证明平面，建立空间直角坐标系（如图）.由已知可得

、、、、、.

（Ⅰ）证明：，.

因为，

所以.             ………………5分

（Ⅱ）解：.

设平面的一个法向量为，

由  得  

解得  所以.

又知，平面，所以为平面的法向量.

因为 ,所以

由图可知，二面角大于90º，

所以二面角的大小为.            ………………10分

（Ⅲ）由（Ⅱ）可知平面的一个法向量,

     又.

所以 .

因为直线与平面所成角为,

所以直线与平面所成角的正弦值为.               ………………14分

(18) 解：(Ⅰ)函数的定义域是．

函数的导数是.

令,即,解得,所以函数的递增区间是;

令,即,解得,所以函数的递减区间是.

                                                           ………………6分

 (Ⅱ)设，则切线的斜率，

则切线的方程是，

设切线与轴、轴的交点为、，

令，由题意可知，解得，所以；

令，解得，所以，

所以，

当且仅当，即时，△面积的最小值为2.

此时,点的坐标是．                           ………………13分

(可求导或用二次函数求得的最大值)

(19) 解：（Ⅰ）因为成等差数列，点的坐标分别为

所以且

由椭圆的定义可知点的轨迹是以为焦点长轴为4的椭圆（去掉长轴的端点），

所以．

故顶点的轨迹方程为．………………4分

（Ⅱ）由题意可知直线的斜率存在，设直线方程为．

由得

，

设两点坐标分别为，

则，，

所以线段中点的坐标为,

故垂直平分线的方程为，

令，得与轴交点的横坐标为，

由得，解得，

又因为，所以．

当时，有，此时函数递减，

所以．所以，．

故直线与轴交点的横坐标的范围是．                  ………………13分

 (20) 解：（Ⅰ）已知式即，故．

因为，当然，所以．

由于，且，故．

于是 ，，

所以 ．                                     ………………4分

（Ⅱ）由，得，

故．

从而 ．

因此

．

设，

则，

故，

注意到，所以．

特别地，从而．

所以．                  ………………9分

（Ⅲ）易得．

注意到，则有，

即，  整理得 ．                     ①

当时，由① 得．

因为，所以．

当时，由① 得．        ②

因为，故②式右边必是3的倍数，而左边不是3的倍数，所以②式不成立，

即当时，不存在，使得①式成立．

综上所述，存在正整数，使得

成立．………………14分