3.策略开放与探索

策略开放性问题,一般指解题方法不惟一或解题路径不明确的问题,这类问题要求解题

者不墨守成规,善于标新立异,积极发散思维,优化解题方案和过程。

   [例1]  (乌鲁木齐中考题)如图,已知在△ABC中,ABACADBCD,且ADBC=4。若将此三角形沿AD剪开成为两个三角形,在平面上把这两个三角形拼成一个四边形,你能拼出所有的不同形状的四边形吗?画出所拼四边形的示意图(标出图中的直角),并分别写出所拼四边形的对角线的长(不要求写计算过程,只需写出结果)。

 

[解析]:经过适当拼合可以组成以下四种不同形状的四边形。

   ①矩形(如图1):

   此时两条对角线的长相等,均为

   ②平行四边形(如图2):

   此时两条对角线的长分别为4和

   ③平行四边形(如图3):

   此时两条对角线的长分别为

   ④四边形(如图4):

此时两条对角线的长分别为

[评注]:这是一道集开放探索、操作应用于一体的试题,既可考查学生的探索能力,又可锻炼学生的动手操作能力,是一道难得的好题。

[例2]  (湖北黄冈中考题)在一服装厂里有大量形状为等腰直角三角形的边角布料。现找出其中的一种,测得∠C=90°,ACBC=4,今要从这种三角形中剪出一种扇形,做成不同形状的玩具,使扇形的边缘半径恰好都在△ABC的边上,且扇形的弧与△ABC的其他边相切。请设计出所有符合题意的方案示意图,并求出扇形的半径(只要求画出扇形,并直接写出扇形半径)。

[解析]:根据题意,可考虑圆心在顶点和直角边、斜边上,设计出符合题意的方案示意图。

可以设计如下图的四种方案:

 

[评注]:本题要求设计出符合题意的方案示意图,因此,在分类讨论时要做到不重复、不遗漏,特别是圆心在顶点上的两种情况不能遗漏,这是一道考查思维广阔性与周密性的好题。

[例3]  (吉林省中考题)已知反比例函数和一次函数,其中一次函数的图象经过(),()两点。

⑴求反比例函数的解析式;

⑵如图,已知点A在第一象限,且同时在上述两个函数

的图象上,求A点的坐标;

⑶利用⑵的结果,请问:在轴上是否存在点P,使△AOP

为等腰三角形?若存在,把符合条件的P点坐标都求出来;若

不存在,请说明理由。

[解析]:易求⑴;⑵A点的坐标为(1,1);

⑶讨论OA为腰、为底时,得出P点的坐标。

OAOA轴所夹的锐角为45°。

①当OA为腰时,由OA=OP,得P1(,0),P2(,0);由OA=AP,得P3(2,0);

②当OA为底时,得P4(1,0)。

∴这样的点有4个,分别是(,0),(,0),(2,0),(1,0)。

[评注]:第⑶小题是一个“存在性”问题,也是一个分类讨论问题,解题的过程呈开放型,有利于考查学生的思维能力和全面思考的能力。

[例4]  (苏州市中考题)已知:⊙O1与⊙O2外切于点P,过点P的直线分别交⊙O1、⊙O2于点BA,⊙O1的切线BN交⊙O2于点MNAC为⊙O2的弦。

⑴如图,设弦ACBN于点D,求证:AP·AB=AC·AD

⑵如图,当弦AC绕点A旋转,弦AC的延长线交直线BN于点D时,试问AP·AB=

AC·AD是否仍然成立?证明你的结论。

 

[解析]:⑴略。⑵当弦AC绕点A旋转后,若探索AP·AB=AC·AD是否仍然成立,其实是探索△APC与△ADB是否仍然相似?

⑴略;⑵仍然成立。连结PC,过点P作⊙O1和⊙O2的公切线EF,则∠MBP=∠EPB

∴∠ABD=∠APE。∵∠ACP=∠APE, ∴∠ABD=∠ACP

又∠A=∠A,  ∴△APC∽△ADB,∴,即AP·AB=AC·AD

[评注]:在给定条件下探索尚不明确的结论,其解法是,需要对题目的条件进行具体分析、判断,通过推理来获取结论。

[题型设计与能力训练]

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