在证明几何定值题时，通常把题中变动的元素变到特殊位置。

　 例5. 设a为等边的边长，EF分别为AC、AB上的点，且满足，BE与CF交于点P，求证：恒为一定值。

　　 分析：如图3所示，设E和点C重合，那么F与点C重合，则点P与点C边重合，

图3

　　 于是

　　 证明：易证

　　 A、F、P、E四点共圆

　　 又

　　 故(定值)

　　 数形结合是把抽象的“数”转化为直观的“形”的数助形的思维转化方法。

　 例4. 如果正实数a，b，c，d满足

　　 (1)　　　　　　 (2)

　　 求证：

　　 分析：若按常规法，由(1)(2)分别去求a、b、c、d则较繁，若构造几何图形来解，则较简便。

　　 解：由(1)得到启示，可构造直角三角形ABC，如图2示，使，，

图2

　　 由条件(2)可联想到射影定理，作斜边AB上的高CD，知，于是，由三角形面积公式，

　　 得

　　 故

　　 逆向思维是从事物的相反角度观察，探索克服学生思维过程中的单向思维定势，创造性地运用知识使问题化难为易。

　 例3. 如果m、n是互不相等的实数，并且，求的值。

　　 分析：若先求出m、n的值，再求的值，则较繁，如果逆向运用方程的根定义，把m、n看成方程的两根，由韦达定理知；，于是有

　　 对一些问题，不能“一叶障目”，而要通过研究问题的整体形式和结构，进行整体处理，则可达到速解题目的目的。

　 例2. 已知直角三角形的周长为，斜边上的中线为1，求直角三角形的面积。

　　 分析：如图1，设两直角边分别各a，b，则

图1

　　 若分别解出a、b，然后再求直角三角形面积，则较繁，若视为一整体来求，则简便得多。

　　 解：由得

　　 ，即直角三角形的面积为

　　 遇到复杂的问题，可透过问题的本质将其分解成简单的小问题逐一去解决。

　 例1. 如果三个方程，中，至少有一个方程有实根，求k的取值范围。

　　 分析：如果从总体考虑方程有实根的情况，则较繁；若用分解思维进行转化，则较简便。

　　 解：设三个方程都没有实数根

　　 由(1)得：

　　 由(2)得：或

　　 由(3)得：

　　 即当或时，三个方程中至少有一个方程有实根。

8．(1)已知：如图①，BD、CE分别是△ABC的外角平

分线，过点A作AF⊥BD，AG⊥CE，垂足分别是

F、G，连结FG，延长AF、AG，与直线BC相交．

求证：FG= (AB+BC+AC)．

(2)若BD、CE分别是△ABC的内角平分线，其余条件不变

(如图②)，线段FG与△ABC的三边又有怎样的数量关系?

写出你的猜想，并给予证明．

7．在直角坐标系中，已知A(-4，0)、

B(1，0)、C(0，-2)三点．请按以

下要求设计两种方案：作一条与

轴不重合，与△ABC的两边相

交的直线，使截得的三角形与

△ABC相似，并且面积是△AOC

面积的．分别在下面的两个坐标中系画出设计图形，并写出截得的三角形三个顶点的坐标．

6．如图()所示，锐角△ABC中，BC>AB>AC，D、E分别是BC、AB上的动点，连结

AD、DE．

(1)当D、E运动时，分别在其余的三个图中画出D、E运动的位置；在图()中画出仅有一组三角形相似的图形；在图()中画出仅有二组三角形相似的图形；在图()中画出有三组三角形相似的图形．

(2)BC=9，AB=8，AC=6，就图()求出DE的长．

5．如图，已知，△ABC、△DCE、△FEG是三个全等的等腰

三角形，底边BC、CE、EG在同一直线上，且AB=，

BC=1．连结BF，分别交AC、DC、DE于点P、Q、R．

(1)△BFG与△FEG相似吗?为什么?

(2)写出图中所有与△ABP相似的三角形(不必证明)．

4．如图，正方形网格中的小正方形的面积都为1，

网格中有△ABC和△DFE．

(1)这两个三角形相似吗?说出你的理由；

(2)请你以网格中的格点为顶点，在网格中再画出

一个面积为4且与△ABC相似的三角形．