9．(重庆市中考题)如图，AM是⊙O的直径，过⊙O上一点B作BN⊥AM，垂足为N，其延长线交⊙O于点C，弦CD交AM于点E。

⑴如果CD⊥AB，求证：EN＝NM；

⑵如果弦CD交于AB点F，且CD＝AB，求证：CE²＝EF·ED；

⑶如果弦CD、AB的延长线交于点F，且CD＝AB，那么⑵的结

论是否仍成立？若成立，请证明；若不成立，请说明理由。

8．(辽宁省中考题)已知：如图，AB是⊙O的直径，C是⊙O上一点，连结AC，过C点作直线CD⊥AB于D(AD＜DB)，点E是DB上任意

一点(点D、B除外)，直线CE交⊙O于点F，连结AF与

直线CD交于点G。

⑴求证：；

⑵若点E是AD(点A除外)上任意一点，上述结论是否仍然成立？若成立，请画出图形并给予证明；若不成立，请说明理由。

7．(福建福州市中考题)如图，已知△ABC中，AB=4，D在AB边上移动(不与A、B重合)，DE∥BC交AC于E，连结CD。设S_△ABC=S，S_△DEC=S₁。

⑴当D为AB中点时，求S₁∶S的值；

⑵若AD=，，求关于的函数关系式及

自变量的取值范围；

⑶是否存在点D，使得S₁＞成立？

若存在，求出点D位置；若不存在，请说明理由。

6．(山东淄博市中考题)如图，点E是四边形ABCD的对角线BD上一点，且∠BAC=∠BDC=∠DAE。

⑴求证：；

⑵根据图形的特点，猜想可能等于哪两条线段

的比(注：只需写出图中已有线段的一组比即可)？并

证明你的猜想。

5．(河北省中考题)图形的操作过程(本题中四个矩形的水平方向的边长均为，竖直方向的边长均为)：

在图1中，将线段A₁A₂向右移1个单位到B₁B₂，得到封闭图形A₁A₂ B₁B₂(即阴影部分)；

在图2中，将折线A₁A₂ A₃向右移1个单位到B₁B₂ B₃，得到封闭图形A₁A₂ A₃ B₁B₂ B₃(即阴影部分)；

⑴在图3中，请你类似地面一条有两个折点的折线，同样向右平移1个单位，从而得到一个封闭图形，并用斜线画出阴影。

⑵请你分别写出上述三个图形中除去阴影部分后剩余部分的面积：

＝_________，＝_________，＝__________；

⑶联想与探索：

如图4，在一块矩形草地上，有一条弯曲的柏油小路

(小路任何地方的水平宽度都是1个单位)，请你猜想空白

部分表示的草地面积是多少？并说明你的猜想是正确的。

4．(河北省中考题)在△ABC中，D为BC边的中点，E为AC边上任意一点，BE交AD于点O，某学生在研究这一问题时，发现了如下的事实：

⑴当时，有(如图1)；

⑵当时，有(如图2)；

⑶当时，有(如图3)；

在图4中，当时，参照上述研究结论，请你猜想用表示的一般结论，并给出证明(其中是正整数)。

3．(江苏徐州市中考题)如图，在直角坐标系中，第一次将

△OAB变换成△OA₁B₁，第二次将△OA₁B₁变换成△OA₂B₂，第

三次将△OA₂B₂变换成△OA₃B₃。

已知A(1，3)，A₁(2，3)，A₂(4，3)，A₃(8，3)，B(2，0)，

B₁(4，0)，B₂(8，0)，B₃(16，0)。

⑴观察每次变换前后的三角形有何变化，找出规律，按

此变换规律再将△OA₃B₃变换成△OA₄B₄，则A₄的坐标

是__________，B₄的坐标是__________。

⑵若按⑴题找到的规律将△OAB进行了次变换，得到的△OA_nB_n，比较每次变换中三角形顶点坐标有何变化，找出规律，推出A_n的坐标是___________，B_n的坐标是__________。

2．(新疆乌鲁木齐市中考题)如图，已知等腰△ABC中，

∠A=∠C，底边BC为⊙O的直径，两腰AB、AC分别与

⊙O交于点D、E，有下列序号的四个结论：

①AD=AE；②DE∥BC；③∠A=∠CBE；④BE⊥AC。

其中结论正确的序号是________________。

注：把你认为正确结论的序号都填上。

1．(广西中考题)如图，OE、OF分别是⊙O的弦AB、CD的弦

心距，如果OE=OF，那么____________(只需写出一个正确的结论)。

2．结论开放与探索

给出问题的条件，让解题者根据条件探索相应的结论，并且符合条件的结论往往呈现多样性，或者相应的结论的“存在性”需要解题者进行推断，甚至要求解题者探求条件在变化中的结论，这些问题都是结论开放性问题。它要求解题者充分利用条件进行大胆而合理的猜想，发现规律，得出结论，这类题主要考查解题者的发散性思维和所学基本知识的应用能力。

[例1] 　(吉林省中考题)将两块完全相同的等腰直角三角形摆成如图的样子，假设图形中的所有点、线都在同一平面内，

回答下列问题：

⑴图中共有多少个三角形？把它们一

一写出来；

⑵图中有相似(不包括全等)三角形

吗？如果有，就把它们一一写出来。

[解析]：⑴先看△ABC中，一一数来共有6个三

角形，再加上△AFG，共七个三角形；⑵由于∠DAE

＝∠B＝∠C＝45°，∠ADE＝∠B+∠1＝45°+∠1＝∠BAE，同理∠AED＝∠CAD，可得出△ADE∽△BAE∽△CDA。

⑴共有七个三角形，它们是：

△ABD、△ABE、△ABC、△ADE、△ADC、△AEC、△AFG。

⑵有相似三角形，它们是：

△ADE∽△BAE，△BAE∽△CDA，△ADE∽△CDA(或△ADE∽△BAE∽△CDA)。

[评注]：本题为考生提供了广阔的探究空间，通过分析、判断，有利于学生创新意识的形成和思维能力的培养。

[例2]　 如图，⊙O的弦AB、CD的延长线相交于点E。请你根据上述条件，

写出一个正确的结论(所写的结论不能自行再添加新的线段及标注其他字母)，并给出证明(证明时允许自行添加辅助线)。

①；②AC＞BC；③AE＞DE；……

可以得出的结论及证明如下：

①

如图连结AD、BC，∵∠A＝∠C，∠E＝∠E，

②AC＞BC；

如图，连结AD，　

∴AC＞BC；

③AE＞DE。

证法一：如图，连结AD、BD、BC。

∵∠2是△BCD的外角，∠C是△BCD的内角，

∴∠2＞∠C。而∠ADE＞∠2，∠C＞∠A，

∴在△ADE中，∠ADE＞∠A。∴AE＞DE

证法二：∵EA·EB＜EA²，ED·EC＞ED²，

而EA·EB ＝ED·EC　　∴EA²＞ED²，即EA＞ED。

[评注]：这是一道以探索结论为目的的开放型试题，它不限结论，而是让考生根据条件去探索结论。因此，这类考题对开阔视野、启迪智慧、培养发散思维能力大有好处。

[例3]　(北京市东城区中考题)有一个二次函数的图象，三位学生分别说出它们的一些特点：

甲：对称轴是；

乙：与轴两个交点的横坐标都是整数；

丙：与轴交点的纵坐标也是整数，且以三个交点为顶点的三角形面积为3。

请你写出满足上述全部特点的一个二次函数的解析式：___________________。

[解析]：此题是一道结论开放型试题，题目条件已确定，而所要求的结论不惟一。本题以二次函数基本知识的掌握，同时也考查了学生发散思维的能力和数形结合的思想。由二次函数图象的对称性及已知条件不难分析得出，若与轴两个交点的坐标分别是(3，0)，(5，0)，则与轴交点为(0，3)或(0，)，此时二次函数的解析式为或；若与轴两个交点的坐标分别是(1，0)，(7，0)，则与轴交点为(0，1)或(0，)，此时二次函数的解析式为或，只要得出一个答案即可。

[例4]　关于的方程，是否存在负数，使方程的两个实数根的倒数和等于4？若存在，求出满足条件的的值；若不存在，说明理由。

[解析]：先假设存在有满足条件的值，利用一元二次方程根与系数的关系，结合题意得出关于的方程。若能求出符合题意的值，则存在，否则不存在。

设方程的两个实数根是，，由根与系数的关系，得

，

由题意得　。

∴　　∴

又＜0，　∴＝，此时△＝20＞0成立，　∴＝。

[例5]　(淮安市中考题)在平面直角坐标系O中，已知抛物线

的对称轴为，设抛物线与轴交于A点，与轴交于B、C两点(B点在C点的左边)，锐角△ABC的高BE交AO于点H。

⑴求抛物线的解析式；

⑵在⑴中抛物线上是否存在点P，使BP将△ABH的面积分成1∶3两部分？如果存在，求出P点的坐标；如果不存在，请说明理由。

[解析]：⑴略；⑵解本题的方法是先假设这样的抛物线存在，然后根据题中的条件进行求解。

⑴抛物线的解析式为；

⑵令，即，得，　∴A(0，6)，B(，0)，C(3，0)，由题意，有Rt△BHO∽Rt△ACO，得，即，

∴，故。

假设在抛物线上存在点P，使BP将△ABH的面积分成1∶3两部分，则BP必过点(0，5)或(0，3)。

当BP过点(，0)和(0，5)时，设BP的解析式为

，则，解得

∴。由解得，，∴P点坐标为(，)

当BP过点(，0)和(0，3)时，设BP的解析式为，则，解得

∴。由解得，，　∴P点坐标为(，)

故抛物线上存在两点(，)，(，)，使BP分△ABH的面积为1∶3。

[评注]：探索存在性问题的基本思路是，可先假设结论存在或成立，以此为前提进行运算或推理，若推出矛盾可否定假设，否则给出肯定的证明。

[例6]　 (湖北黄冈中考题)已知：如图，AB⊥CD，CD⊥BD，

垂足分别为B、D，AD和BC相交于点E，EF⊥BD，垂足为F，

我们可以证明成立(不要求考生证明)。

若将图中的垂直改为斜交，如图，AB∥CD，AD、BC

相交于点E，过点E作EF∥AB，交BD于点F，则：

⑴还成立吗？如果成立，请给出证明；如果不成立，请说明理由；

⑵请找出S_△ABD、S_△BCD和S_△BED间的关系式，并给出证明。

　 [解析]：右图所表示的是一般情况，在探索结论的过程中，应

设法将之转化为上图这样的特殊情况，故可过A、E、C点

作BD的垂线。

⑴仍成立。

证明：过点A、E、C点作BD的垂线，交BD或其延长线于点M、N、K。

易证Rt△ABM∽Rt△EFN∽Rt△CDK。

∴AB∶EF∶CD=AM∶EN∶CK。

由题设　 ，知成立。

⑵由题设　 ，

∴；

即；

又 ∵S_△ABD ，S_△BCD ，S_△BED 。

∴。

[评注]：本题从特殊情形入手，通过图形的变换，寻找数量上的内在规律，颇具新意。

[例7]　 (福州市中考题)已知△ABC中，AB=5，BC=3，AC=4，PQ∥AB，P点在AC上(与点A、C不重合)，Q点在BC上。

⑴当△PQC的面积与四边形PABQ的面积相等时，求CP的长；

⑵当△PQC的周长与四边形PABQ的周长相等时，求CP的长；

试问，在AB上是否存在点M，使得△PQM为等腰直角三角形？若不存在，请说明理由；若存在，请求出PQ的长；

[解析]：本题是纯几何探索性问题，解这类题时，是先假设结论存在。若从已知条件和定义、定理出发，进行推理或计算得出相应的结论，则结论确实存在；若推证出矛盾或计算无解，则结论不存在。

⑴、⑵略。

⑶如图，△PQM为等腰直角三角形可能有两种情况：

①由右图假设，∠MPN＝90°，PM＝PQ时，由勾股定理逆定理则得∠C＝90°。

∴△ABC的AB上的高为。

设PM＝PQ＝，∵PQ∥AB，∴△CPQ∽△CAB。

∴，解之得 ，即　 。

当∠MQ′P＝90°，QP＝QM′时，同理得　 。

②由右图，假设∠PMQ＝90°，MP＝MQ时，

M到PQ的距离为PQ。

设PQ＝，∵PQ∥AB，∴△CPQ∽△CAB。

∴，解之得 ，即　 。

∴综上所述，在AB上存在点M，使△PQM为等腰直角三角形。

[评注]：“存在性”探索题，往往与传统的综合题相结合，来加大对考生分析、探索能力的考查，这类问题的情景新颖，富有挑战性，是启迪智慧的好素材。

　[题型设计与能力训练]