2、(常州)已知与是反比例函数图象上的两个点．

(1)求的值；

(2)若点，则在反比例函数图象上是否存在点，使得以四点为顶点的四边形为梯形？若存在，求出点的坐标；若不存在，请说明理由．

解：(1)由，得，因此．···························· 2分

(2)如图1，作轴，为垂足，则，，，因此．

由于点与点的横坐标相同，因此轴，从而．

当为底时，由于过点且平行于的直线与双曲线只有一个公共点，

故不符题意．················································································································ 3分

当为底时，过点作的平行线，交双曲线于点，

过点分别作轴，轴的平行线，交于点．

由于，设，则，，

由点，得点．

因此，

解之得(舍去)，因此点．

此时，与的长度不等，故四边形是梯形．······························· 5分

如图2，当为底时，过点作的平行线，与双曲线在第一象限内的交点为．

由于，因此，从而．作轴，为垂足，

则，设，则，

由点，得点，

因此．

解之得(舍去)，因此点．

此时，与的长度不相等，故四边形是梯形．··································· 7分

如图3，当过点作的平行线，与双曲线在第三象限内的交点为时，

同理可得，点，四边形是梯形．··················································· 9分

综上所述，函数图象上存在点，使得以四点为顶点的四边形为梯形，点的坐标为：或或．···················································································· 10分

1、(安徽)按右图所示的流程，输入一个数据x，根据y与x的关系式就输出一个数据y，这样可以将一组数据变换成另一组新的数据，要使任意一组都在20-100(含20和100)之间的数据，变换成一组新数据后能满足下列两个要求：

(Ⅰ)新数据都在60-100(含60和100)之间；

(Ⅱ)新数据之间的大小关系与原数据之间的大小关系一致，即原数据大的对应的新数据也较大。

(1)若y与x的关系是y＝x+p(100－x)，请说明：当p＝时，这种变换满足上述两个要求；

(2)若按关系式y=a(x－h)²+k　(a>0)将数据进行变换，请写出一个满足上述要求的这种关系式。(不要求对关系式符合题意作说明，但要写出关系式得出的主要过程)

[解](1)当P=时，y=x+,即y=。

∴y随着x的增大而增大，即P=时，满足条件(Ⅱ)……3分

又当x=20时，y==100。而原数据都在20-100之间，所以新数据都在60-100之间，即满足条件(Ⅰ)，综上可知，当P=时，这种变换满足要求；……6分

(2)本题是开放性问题，答案不唯一。若所给出的关系式满足：(a)h≤20；(b)若x=20,100时，y的对应值m，n能落在60-100之间，则这样的关系式都符合要求。

如取h=20,y=,……8分

∵a＞0，∴当20≤x≤100时，y随着x的增大…10分

令x=20,y=60，得k=60　　　　　　　 　　 ①

令x=100,y=100，得a×80²+k=100　　　　 ②

由①②解得，　　 ∴。………14分

18、(永州)23．AB是⊙O的直径，D是⊙O上一动点，延长AD到C使CD＝AD，连结BC、BD。

(1)证明：当D点与A点不重合时，总有AB＝BC。

(2)设⊙O的半径为2，AD＝x，BD＝y，用含x的式子表示y。

(3)BC与⊙O是否有可能相切?若不可能相切，则说明理由；若能相切，则指出x为何值时相切。

17、(芜湖)已知圆P的圆心在反比例函数图象上，并与x轴相交于A、B两点． 且始终与y轴相切于定点C(0，1)．

(1)　　 求经过A、B、C三点的二次函数图象的解析式;

(2)　　 若二次函数图象的顶点为D，问当k为何值时，四边形ADBP为菱形．

解：(1)连结PC、PA、PB，过P点作PH⊥x轴，垂足为H． …………………1分

∵⊙P与轴相切于点C (0，1)，

∴PC⊥轴．

∵P点在反比例函数的图象上，

∴P点坐标为(k，1)． …………………2分

∴PA=PC=k．

在Rt△APH中，AH==，

∴OA=OH-AH=k－．

∴A(k－，0)． ……………………………………………………………………3分

∵由⊙P交x轴于A、B两点，且PH⊥AB，由垂径定理可知， PH垂直平分AB．

∴OB=OA+2AH= k－+2=k+，

∴B(k+，0)．　　 ……………………………………………………………………4分

故过A、B两点的抛物线的对称轴为PH所在的直线解析式为x=k．

可设该抛物线解析式为y=a+h． …………………………………………………5分

又抛物线过C(0，1)， B(k+，0)， 得：　　　　　　　　　

解得a=1，h=1－．　　　 …………………7分

∴抛物线解析式为y=+1－．……8分

(2)由(1)知抛物线顶点D坐标为(k， 1－)

∴DH=－1．

若四边形ADBP为菱形．则必有PH=DH ．………………………………………………10分

∵PH=1，∴－1=1．　　　　　

又∵k＞1，∴k=　　　　　　 …………………………………………………………11分

∴当k取时，PD与AB互相垂直平分，则四边形ADBP为菱形． …………………12分

　[注：对于以上各大题的不同解法，解答正确可参照评分！]

16、(广东深圳)如图7，在平面直角坐标系中，抛物线与直线相交于两点．

(1)求线段的长．

(2)若一个扇形的周长等于(1)中线段的长，当扇形的半径取何值时，扇形的面积最大，最大面积是多少？

(3)如图8，线段的垂直平分线分别交轴、轴于两点，垂足为点，分别求出的长，并验证等式是否成立．

(4)如图9，在中，，，垂足为，设，，．，试说明：．

(1) ∴A(-4，-2)，B(6，3)

分别过A、B两点作轴，轴，垂足分别为E、F

　　　 ∴AB=OA+OB 　　

(2)设扇形的半径为，则弧长为，扇形的面积为

　　 则

∵

∴当时，函数有最大值　

(3)过点A作AE⊥轴，垂足为点E

∵CD垂直平分AB，点M为垂足

∴

∵

∴△AEO∽△CMO

∴　 ∴　 ∴

同理可得 　　　　　　　　　　　

∴

∴

∴　　

(4)等式成立．理由如下：

∵

　　 ∴　

　　　　　 ∴

　　　　　 ∴

　　　　　 ∴

　　　　 ∴

∴

∴

15、(山东临沂)如图①，已知抛物线的顶点为A(2，1)，且经过原点O，与x轴的另一交点为B。

(1)求抛物线的解析式；

(2)若点C在抛物线的对称轴上，点D在抛物线上，且以O、C、D、B四点为顶点的四边形为平行四边形，求D点的坐标；

(3)连接OA、AB，如图②，在x轴下方的抛物线上是否存在点P，使得△OBP与△OAB相似？若存在，求出P点的坐标；若不存在，说明理由。

14、(山东济宁)如图，A、B分别为x轴和y轴正半轴上的点。OA、OB的长分别是方程x²－14x+48＝0的两根(OA＞OB)，直线BC平分∠ABO交x轴于C点，P为BC上一动点，P点以每秒1个单位的速度从B点开始沿BC方向移动。

(1)设△APB和△OPB的面积分别为S₁、S₂，求S₁∶S₂的值；

(2)求直线BC的解析式；

(3)设PA－PO＝m，P点的移动时间为t。

①当0＜t≤时，试求出m的取值范围；

②当t＞时，你认为m的取值范围如何(只要求写出结论)？

13、(湖北仙桃)如图①，OABC是一张放在平面直角坐标系中的矩形纸片，O为原点，点A在轴的正半轴上，点C在轴的正半轴上，OA=5，OC=4.

(1)在OC边上取一点D，将纸片沿AD翻折，使点O落在BC边上的点E处，求D、E两点的坐标；

(2)如图②，若AE上有一动点P(不与A、E重合)自A点沿AE方向向E点匀速运动，运动的速度为每秒1个单位长度，设运动的时间为秒，过P点作ED的平行线交AD于点M，过点M作AE的平行线交DE于点N.求四边形PMNE的面积S与时间之间的函数关系式；当取何值时，S有最大值？最大值是多少？

(3)在(2)的条件下，当为何值时，以A、M、E为顶点的三角形为等腰三角形，并求出相应时刻点M的坐标.

解：(1)依题意可知，折痕AD是四边形OAED的对称轴，

∴在中，

∴　　 ∴

∴点坐标为………………………………………………………(2分)

在中，　 又∵

∴　　　 解得：

∴点坐标为………………………………………………………(3分)

　　 (2)如图①∵∥　 ∴

∴　 又知　

∴　 又∵

而显然四边形为矩形

　　　　　　 ∴…………………(5分)∴　 又∵

∴当时，有最大值(面积单位)…………………(6分)

(3)(i)若(如图①)

在中，，∴为的中点

又∵∥ ， ∴为的中点

　 ∴　 ∴　 ∴

又∵与是关于对称的两点

∴ ，

∴当时()，为等腰三角形

此时点坐标为………………………………………………(9分)

(ii)若(如图②)

　在中，

　 ∵∥ ，∴，∴

　 ∴　 ∴

同理可知： ，

∴当时()，此时点坐标为

综合(i)、(ii)可知：或时，以A、M、E为顶点的三角形为等腰三角形，相应M点的坐标为或………………………………………(12分)

12、(广东梅州)如图12，直角梯形中，，动点从点出发，沿方向移动，动点从点出发，在边上移动．设点移动的路程为，点移动的路程为，线段平分梯形的周长．

(1)求与的函数关系式，并求出的取值范围；

(2)当时，求的值；

(3)当不在边上时，线段能否平分梯形的面积？若能，求出此时的值；若不能，说明理由．

解：(1)过作于，则，可得，

　　 所以梯形的周长为18．·············································································· 1分

　　 平分的周长，所以，····························································· 2分

　　 因为，所以，

　　 所求关系式为：．·············· 3分

　　 (2)依题意，只能在边上，．

　　 ，

　　 因为，所以，所以，得··························· 4分

　　 ，即，

　　 解方程组　 得．··················································· 6分

　　 (3)梯形的面积为18．············································································· 7分

　　 当不在边上，则，

　　 ()当时，在边上，．

　　 如果线段能平分梯形的面积，则有········································· 8分

　 　可得：解得(舍去)．·········································· 9分

　　 ()当时，点在边上，此时．

　　 如果线段能平分梯形的面积，则有，

　　 可得此方程组无解．

　　 所以当时，线段能平分梯形的面积．········································· 11分

11、(湖北武汉)如图①，在平面直角坐标系中，Rt△AOB≌Rt△CDA，且A(－1，0)、B(0，2)，抛物线y＝ax²+ax－2经过点C。

(1)求抛物线的解析式；

(2)在抛物线(对称轴的右侧)上是否存在两点P、Q，使四边形ABPQ是正方形？若存在，求点P、Q的坐标，若不存在，请说明理由；

(3)如图②，E为BC延长线上一动点，过A、B、E三点作⊙O’，连结AE，在⊙O’上另有一点F，且AF＝AE，AF交BC于点G，连结BF。下列结论：①BE+BF的值不变；②，其中有且只有一个成立，请你判断哪一个结论成立，并证明成立的结论。