13、(2007福建晋江)如图，四边形ABCD为矩形，AB＝4，AD＝3，动点M、N分别从D、B同时出发，以1个单位/秒的速度运动，点M沿DA向终点A运动，点N沿BC向终点C运动。过点N作NP⊥BC，交AC于点P，连结MP。已知动点运动了秒。

⑴请直接写出PN的长；(用含的代数式表示)

⑵若0秒≤≤1秒，试求△MPA的面积S与时间秒的函数关系式，利用函数图象，求S的最大值。

⑶若0秒≤≤3秒，△MPA能否为一个等腰三角形？若能，试求出所有的对应值；若不能，试说明理由。

解：⑴；

　　 ⑵延长NP交AD于点Q，则PQ⊥AD，由⑴得：PN＝，

则。

依题意，可得：

∵0≤≤1.5

即函数图象在对称轴的左侧，函数值S

随着的增大而增大。

∴当时，S有最大值 ，S_最大值＝。

⑶△MPA能成为等腰三角形，

共有三种情况，以下分类说明：

①若PM＝PA，

∵PQ⊥MA　 ∴MQ＝QA＝

又DM+MQ+QA＝AD　 ∴，即

②若MP＝MA，则MQ＝，PQ＝，MP＝MA＝

在Rt△PMQ中，由勾股定理得：

∴，解得：(不合题意，舍去)

③若AP＝AM，

由题意可得：，AM＝

∴，解得：

综上所述，当，或，或时，△MPA是等腰三角形。

12、(2007福建福州)为创建绿色校园，学校决定对一块正方形的空地进行种植花草，现向学生征集设计图案．图案要求只能用圆弧在正方形内加以设计，使正方形和所画的图弧构成的图案，既是轴对称图形又是中心对称图形．种植花草部分用阴影表示．请你在图③、图④、图⑤中画出三种不同的的设计图案．

提示：在两个图案中，只有半径变化而圆心不变的图案属于同一种，例如：图①、图②只能算一种．

解：以下为不同情形下的部分正确画法，答案不唯一．(满分8分)

11、(2007南充)如图， 等腰梯形ABCD中，AB＝15，AD＝20，∠C＝30º．点M、N同时以相同速度分别从点A、点D开始在AB、AD(包括端点)上运动． (1)设ND的长为x，用x表示出点N到AB的距离，并写出x的取值范围． (2)当五边形BCDNM面积最小时，请判断△AMN的形状．

解：(1)过点N作BA的垂线NP，交BA的延长线于点P．　　　　　　 ………………(1分) 由已知，AM＝x，AN＝20－x． ∵　四边形ABCD是等腰梯形，AB∥CD，∠D＝∠C＝30º， ∴　∠PAN＝∠D＝30º． 在Rt△APN中，PN＝ANsin∠PAN＝(20－x)， 即点N到AB的距离为(20－x)．　　　　　　　　　　　　　 ………………………………(3分) ∵　点N在AD上，0≤x≤20，点M在AB上，0≤x≤15， ∴　x的取值范围是　0≤x≤15．　　　　　　　　　　　　　 ………………………………(4分) (2)根据(1)，S_△AMN＝AM•NP＝x(20－x)＝．　　　　　　　 ……(5分) ∵　＜0，∴　当x＝10时，S_△AMN有最大值．　　 …………………………(6分) 又∵　S_{五边形BCDNM}＝S_梯形－S_△AMN，且S_梯形为定值， ∴　当x＝10时，S_{五边形BCDNM}有最小值．　　　　　　 …………………………(7分) 当x＝10时，即ND＝AM＝10，AN＝AD－ND＝10，即AM＝AN． 则当五边形BCDNM面积最小时，△AMN为等腰三角形．　　　　　　　　 …………(8分)

10、(2007四川资阳)如图8-1，已知P为正方形ABCD的对角线AC上一点(不与A、C重合)，PE⊥BC于点E，PF⊥CD于点F.

(1) 求证：BP=DP；

(2) 如图8-2，若四边形PECF绕点C按逆时针方向旋转，在旋转过程中是否总有BP=DP？若是，请给予证明；若不是，请用反例加以说明；

(3) 试选取正方形ABCD的两个顶点，分别与四边形PECF的两个顶点连结，使得到的两条线段在四边形PECF绕点C按逆时针方向旋转的过程中长度始终相等，并证明你的结论 .

⑴ 解法一：在△ABP与△ADP中，利用全等可得BP=DP.

解法二：利用正方形的轴对称性，可得BP=DP.

⑵ 不是总成立 .当四边形PECF绕点C按逆时针方向旋转，点P旋转到BC边上时，DP >DC>BP，此时BP=DP不成立.

说明：未用举反例的方法说理的不得分.

⑶ 连接BE、DF，则BE与DF始终相等.

在图8-1中，可证四边形PECF为正方形，

在△BEC与△DFC中，可证△BEC≌△DFC .

从而有 BE=DF

9、(2007山东青岛)将平行四边形纸片ABCD按如图方式折叠，使点C与A重合，点D落到D′ 处，折痕为EF．

(1)求证：△ABE≌△AD′F；

(2)连接CF，判断四边形AECF是什么特殊四边形？证明你的结论．

证明：⑴ 由折叠可知：∠D＝∠D′，CD＝AD′，∠C＝∠D′AE．

∵四边形ABCD是平行四边形，

∴∠B＝∠D，AB＝CD，∠C＝∠BAD．………2′

∴∠B＝∠D′，AB＝AD′，

∠D′AE＝∠BAD，即∠1+∠2＝∠2+∠3．

∴∠1＝∠3．

∴△ABE ≌△A D′F．　 ……………4′

⑵ 四边形AECF是菱形．

由折叠可知：AE＝EC，∠4＝∠5．

∵四边形ABCD是平行四边形，∴AD∥BC．

∴∠5＝∠6．∴∠4＝∠6．∴AF＝AE．

∵AE＝EC，　 ∴AF＝EC．

又∵AF∥EC，

∴四边形AECF是平行四边形．

∵AF＝AE，

∴四边形AECF是菱形．　

8、(2007淄博)已知：如图，在△ABC中，AB=AC，AD⊥BC，垂足为点D，AN是△ABC外角∠CAM的平分线，CE⊥AN，垂足为点E，

(1)求证：四边形ADCE为矩形；

(2)当△ABC满足什么条件时，四边形

ADCE是一个正方形？并给出证明．

(1)证明：在△A BC中， AB=AC，AD⊥BC．

∴ ∠BAD=∠DAC．　　　 　………………………………1分

∵ 　AN是△ABC外角∠CAM的平分线，

∴ ．…………………………………………2分

∴ ∠DAE=∠DAC+∠CAE=180°=90°．……………3分

又 ∵ AD⊥BC，CE⊥AN，

∴ =90°，　 ………………………………4分

∴ 四边形ADCE为矩形．　　 　………………………………5分

(2)说明：给出正确条件得1分，证明正确得2分．

例如，当AD=时，四边形ADCE是正方形．…………6分

证明：∵ AB=AC，AD⊥BC于D．

∴ DC=．　　　　 ………………………………………7分

又 AD=，∴ DC=AD．

由(1)四边形ADCE为矩形，

∴ 矩形ADCE是正方形．

7、(2007甘肃陇南)四边形ABCD、DEFG都是正方形，连接AE、CG．

(1)求证：AE=CG；

(2)观察图形，猜想AE与CG之间的位置关系，

并证明你的猜想．

(1) 证明： 如图，

∵ AD=CD，DE=DG，∠ADC=∠GDE=90^o，　　　　　　　

又 ∠CDG=90^o +∠ADG=∠ADE，　

∴ △ADE≌△CDG． ∴ AE=CG．　

　(2)猜想： AE⊥CG．

证明： 如图，

设AE与CG交点为M，AD与CG交点为N．　　

∵ △ADE≌△CDG， ∴ ∠DAE=∠DCG．　 　

又∵ ∠ANM=∠CND， ∴ △AMN∽△CDN．　

∴ ∠AMN=∠ADC=90^o．∴ AE⊥CG．　　　

6、(2007江苏扬州)如图，正方形绕点逆时针旋转后得到正方形，边与交于点．

(1)以图中已标有字母的点为端点连结两条线段(正方形的对角线除外)，要求所连结的两条线段相交且互相垂直，并说明这两条线段互相垂直的理由；

(2)若正方形的边长为，重叠部分(四边形)的面积为，求旋转的角度．

解：(1)我连结的两条相交且互相垂直的线段是______和______．

理由如下：

(2)

(1)

证明：在与中，，

，

(即平分)

(等腰三角形的三线合一)

注：其它的结论也成立如．

(2)

四边形的面积为，

三角形的面积，

，．

5、(2007浙江台州)把正方形绕着点，按顺时针方向旋转得到正方形，边与交于点(如图)．试问线段与线段相等吗？

请先观察猜想，然后再证明你的猜想．

解：．

证法1：连结，

四边形，都是正方形．

．

由题意知，又．

，

．

证法2：连结．

四边形都是正方形，

．

由题意知．

．

．

．

4、(2007云南双柏)如图，在梯形纸片ABCD中，AD//BC，AD>CD，将纸片沿过点D的直线折叠，使点C落在AD上的点C处，折痕DE交BC于点E，连结C′E．

求证：四边形CDC′E是菱形．

证明：根据题意可知 　

则

∵AD//BC　 ∴∠C′DE=∠CED

∴∠CDE=∠CED　 ∴CD=CE　　　　　

∴CD=C′D=C′E=CE　　 ∴四边形CDC′E为菱形