6.　　　　 如图，一个半径为10米的水轮按逆时针方向每分钟转4圈．记水轮上的点P到水面的距离为d米(P在水面下则d为负数)，则d(米)与时间t(秒)之间满足关系式：，且当P点从水面上浮现时开始计算时间．有以下四个结论：

①A=10；　　②；　　③；　　④k=5．

　　　 则其中所有正确结论的序号是　　　　　　　 　．

5.　　　　 已知，且其中，则关于的值，在以下四个答案中，可能正确的是　　　　　　　　　　　　(　 )

(A)　　　　　　　　　　　　　　　　 (B)3 或

(C) 　　　　　　　　　　　　　　　　(D)或

4.　　　　 设是某港口水的深度y(米)关于时间t(时)的函数，其中.下表是该港口某一天从0时至24时记录的时间t与水深y的关系：

　　　 经长期观观察，函数的图象可以近似地看成函数的图象.在下面的函数中，最能近似表示表中数据间对应关系的函数是　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　 (　　 )

　　　 (A)　　　　　　 (B)

　　　 (C)　　　　　 (D)

3.　　　　 如图，要测量河对岸A、B两点间的距离，今沿河岸选取相距40米的C、D两点，测得

　　 ∠ACB=60°，∠BCD=45°，∠ADB=60°，∠ADC=30°，则AB的距离是(　　 ).

　　　 (A)20　　　　　　 (B)20　　　　　　 (C)40　　　　　　 (D)20

2.　　　　 已知，且，则　　　　　(　)

(A) 　　　　(B) 　　　　(C) 　　　　(D)

1.　　　 函数的图象如图所示，则的解析式可能是　　　　　　 (　　 )　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　

(A)　　 　　　　

(B) 　　　

(C)　 　　　　　　

(D)

6．(1)将条件变形，得.

于是，有

…………

.

将这n-1个不等式叠加，得

　　　 故　　

　　　 (2)注意到，于是由(1)得

，

从而，有　

第三讲　　　　　 三角函数

陕西特级教师 　　　　安振平

l　　　　 高考风向标

主要考查三角函数的定义，三角函数的符号，同角三角函数关系式及诱导公式，两角和与差的三角函数，二倍角的正弦、余弦、正切公式，三角函数的图象与性质，包括周期性、奇偶性、单调性、和最值性．

l　　　　 典型题选讲

　　　 例1 (1)已知：

　　 (2)已知：的值.

点评　三角问题的解决，变形是多途径的．例如：题1也可以逆向考虑，事实上

例2 　已知电流I与时间t的关系式为．

(1)右图是(ω＞0，)

在一个周期内的图象，根据图中数据求

的解析式；

(2)如果t在任意一段秒的时间内，电流都能取得最大值和最小值，那么ω的最小正整数值是多少？

　讲解　本小题主要考查三角函数的图象与性质等基础知识，考查运算能力和逻辑推理能力．

(1)由图可知 A＝300．

设t₁＝－，t₂＝， 则周期T＝2(t₂－t₁)＝2(+)＝．

∴ ω＝＝150π．　　　　　　　　　 　

又当t＝时，I＝0，即sin(150π·+)＝0，

而， ∴ ＝．

故所求的解析式为．　　　　　　　　　　 　　　

(2)依题意，周期T≤，即≤，(ω>0)

∴ ω≥300π＞942，又ω∈N^*，

故最小正整数ω＝943．　

点评　本题解答的开窍点是将图形语言转化为符号语言．其中，读图、识图、用图是形数结合的有效途径．　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　

例3　已知函数.

　 (1)求实数a，b的值；

　 (2)求函数的最大值及取得最大值时x的值.

(1)函数

　　 讲解　学会翻译，逐步展开解题思维．

　　 时，函数f(x)的最大值为12.

点评　结论是历年高考命题的热点之一．

例4　 已知tan2θ＝－2，π＜2θ＜2π，求.

讲解 解题目标中含有角，可向角转化，以便出现；而条件中的可向转化. 这样，就消除了解题目标与解题条件之间中的差异．事实上

原式＝　 　　 　　　＝ 　 　　　 ＝　，　 由　　tan2θ＝， 解得　　tanθ＝－或tanθ＝， ∵π＜2θ＜2π，∴＜θ＜π， ∴tanθ＝－　　　 ， ∴原式＝＝3+2．

　　　 点评 差异分析，有时需要从条件和解题目标两个方向同时进行分析，这种相向而行的思维方式，可以快速联结解题的思维线路.

例5　 在中，，，，求的值和的面积．

讲解　本题是2004年北京高考试题，下面给出两种解法．

法一　先解三角方程，求出角A的值．

　　 又,

　　 .

　　 法二　由计算它的对偶关系式的值．

　　 　　　　　①

　　 ,

　　 　.　 ②

　　 　 ①　+　②　得　.

　　 　 ①　－　②　得　.

　　 从而　．以下解法略去．

点评　本小题主要考查三角恒等变形、三角形面积公式等基本知识，着重数学考查运算能力，是一道三角的基础试题．两种解法比较起来，你认为哪一种解法比较简单呢？

例6　设函数f(x)=a·b，其中向量a=(2cosx，1)，b=(cosx， sin2x)，x∈R.

(1)若f(x)=1－且x∈[－，]，求x；

(2)若函数y=2sin2x的图象按向量c=(m，n)(|m|<)平移后得到函数y=f(x)的图象，求实数m、n的值.

讲解　(1)依题设可知，函数的解析式为

f(x)=a·b＝2cos²x+sin2x=1+2sin(2x+).

由1+2sin(2x+)=1－，可得三角方程

sin(2 x +)=－．　

∵-≤x≤，

∴-≤2x+≤，

∴2x+=-，即x=-．

(2)函数y=2sin2x的图象按向量c=(m，n)平移后得到函数y=2sin2(x－m)+n的图象，即函数y=f(x)的图象.

由(1)得 f(x)=2sin2(x+)+1.

∵|m|<，∴，

点评　本小题是2004年福建高考试题，主要考查平面向量的概念和计算，三角函数的恒等变换及其图象变换的基本技能，着重考查数学运算能力．平面向量与三角函数结合是高考命题的一个新的亮点之一．

例7　已知向量m=(1,1)，向量n与向量m夹角为，且m·n=－1.

　　 (1)求向量n；

　　 (2)若向量n与向量q=(1，0)的夹角为，向量p=，其中A、C为△ABC的内角，且A、B、C依次成等差数列．求|n+p|的取值范围．

讲解　(1)设①

与夹角为，有·=||·||·，②

由①②解得

(2)由垂直知，

由2B=A+C　 知B= ，A+C=

若

点评　本题的特色是将向量与三角综合，体现了知识的交汇性．解题后，请你反思：解题思维的入手点，解题思维的障碍点，解题思维的开窍点，只有这样的反思训练，请相信，你就会慢慢成为解题高手的．

例8　如图，某园林单位准备绿化一块直径为BC的半圆形空地，△ABC外的地方种草，△ABC的内接正方形PQRS为一水池，其余的地方种花.若BC=a，∠ABC=，设△ABC的面积为S₁，正方形的面积为S₂．

(1)用a，表示S₁和S₂；

　 (2)当a固定，变化时，求取最小值时的角．

讲解　(1)∵　

∴

设正方形边长为x.

　　　 则BQ=　

(2)当固定，变化时，

令

　 　　令　 任取，且，

．

，

是减函数．

取最小值，此时

点评　三角函数有着广泛的应用，本题就是一个典型的范例．通过引入角度，将图形的语言转化为三角的符号语言，再通过局部的换元，又将问题转化为我们熟知的函数．这些解题思维的拐点，你能否很快的想到呢？

l　　　　 针对性演练

5．(1)由表知，每年比上一年多造林400亩.

　　　　 因为1999年新植1400亩，故当年沙地应降为亩，但当年实际沙地面积为24000亩，所以1999年沙化土地为200亩.

　　　　 同理2000年沙化土地为200亩.

　　　　　　　 所以每年沙化的土地面积为200亩.

(2)由(1)知，每年林木的“有效面积”应比实造面积少200亩.

　　　　 设2000年及其以后各年的造林亩数分别为、、、…，则n年造林面积总和为：

　　　　　　 .

　　　　　 由题意： 化简得

　　　　　　 　　　　　　　 ,

　　　　　 解得：　 .

　　　　　　　 故8年，即到2007年可绿化完全部沙地.

1．C　　2．　C　3．C　4．A

6．　已知正项数列满足 ()，且求证

(1)

(2)

　答案