17.(本小题13分)

如图,在四棱锥P-ABCD中,平面PAD⊥平面ABCD, E是BD的中点.

(Ⅰ)求证:EC//平面APD;

(Ⅱ)求BP与平面ABCD所成角的正切值;

(Ⅲ)  求二面角P-AB-D的大小.

解法一:(Ⅰ)如图,取PA中点F,连结EF、FD,

E是BP的中点,

∵EF//AB且

又∵

∴EFDC∴四边形EFDC是平行四边形,故得EC//FD   …………2分

又∵EC平面PAD,FD平面PAD

   ∴EC//平面ADE               …………4分

(Ⅱ)取AD中点H,连结PH,因为PA=PD,所以PH⊥AD

∵平面PAD⊥平面ABCDAD

    ∴PH⊥面ABCD

    ∴HB是PB在平面ABCD内的射影

    ∴∠PBH是PB与平面ABCD所成角       …………6分

    ∵四边形ABCD中,  

    ∴四边形ABCD是直角梯形 

设AB=2a,则

中,易得,

又∵

是等腰直角三角形,

    ∴在中,    …………10分

(Ⅲ)在平面ABCD内过点H作AB的垂线交AB于G点,连结PG,则HG是PG在平面ABCD上的射影,故PG⊥AB,所以∠PGH是二面角P-AB-D的平面角,由AB=2a     …………11分

,又

中,  13分    

   ∴二面角P-AB-D的大小为  …………14分 

解法二:(Ⅰ)同解法一               4分

(Ⅱ)设AB=2a,同解法一中的(Ⅱ)可得

    如图,以D点为原点,DA所在直线为x轴,DB所在直线为y轴,过D点且垂直于平面ABCD的直线为z轴建立空间直角坐标系.        …………5分

,则,平面ABCD的一个法向量为m=(0,0,1),  …………7分

所以,

可得PB与平面ABCD所成角的正弦值为

所以 PB与平面ABCD所成角的正切值为              …………10分

(Ⅲ)易知,则,设平面PAB的一个法向量为,则

    ,令,可得……12分

    得

所以二面角P-AB-D的大小为…………14分

 0  445603  445611  445617  445621  445627  445629  445633  445639  445641  445647  445653  445657  445659  445663  445669  445671  445677  445681  445683  445687  445689  445693  445695  445697  445698  445699  445701  445702  445703  445705  445707  445711  445713  445717  445719  445723  445729  445731  445737  445741  445743  445747  445753  445759  445761  445767  445771  445773  445779  445783  445789  445797  447348 

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