19．(本小题14分)

如图， 和两点分别在射线OS、OT上移动，且，O为坐标原点，动点P满足.

(Ⅰ)求的值；

(Ⅱ)求P点的轨迹C的方程，并说明它表示怎样

的曲线？

(Ⅲ)若直线l过点E(2，0)交(Ⅱ)中曲线C于M、N两

点，且，求l的方程.

解：(Ⅰ)由已知得

　　　　　　　 …………4分

　 (Ⅱ)设P点坐标为(x，y)(x＞0)，由得

　　　　　　 　　　　　…………5分　　

　　　　 ∴ 　消去m，n可得

　　　　　　 ，又因　　 8分　

　　　　 ∴ P点的轨迹方程为　

　　　　 它表示以坐标原点为中心，焦点在轴上，且实轴长为2，焦距为4的双曲线

的右支　　　 　　　…………9分

(Ⅲ)设直线l的方程为，将其代入C的方程得

　　　　 即　 　　　　　　　　　　　　

　易知(否则，直线l的斜率为，它与渐近线平行，不符合题意)

　　　　 又　　　

　　　 设，则

　　　 ∵　 l与C的两个交点在轴的右侧

　　　 ∴ ，即　　　

又由　 同理可得　 　　　…………11分

　　　　 由得

　　　 ∴

　　　 由得

　　 由得

消去得

解之得： ，满足　　　　　　　　 …………13分

故所求直线l存在，其方程为：或　 …………14分

18．(本小题13分)

已知： 　，.

(I)求、、；

(II)求数列的通项公式；

(II)求证：

解：(I)由已知，所以　　　 1分

，所以

，所以　　　　 3分

(II)

即

所以对于任意的， 　　　　　7分

(III)

∴　　 ①

　②

①─②，得

　 　　　　　9分

∴，　　　　　　 12分

又=1，2，3…，故< 1　　　　 13分

17．(本小题13分)

如图，在四棱锥P-ABCD中，平面PAD⊥平面ABCD, ，，E是BD的中点.

(Ⅰ)求证：EC//平面APD；

(Ⅱ)求BP与平面ABCD所成角的正切值；

(Ⅲ) 　求二面角P-AB-D的大小.

解法一：(Ⅰ)如图，取PA中点F，连结EF、FD，

∵E是BP的中点，

∵EF//AB且，

又∵

∴EFDC∴四边形EFDC是平行四边形，故得EC//FD　　 …………2分

又∵EC平面PAD，FD平面PAD

　　 ∴EC//平面ADE　　　　　　　　　　　　　　 …………4分

(Ⅱ)取AD中点H，连结PH，因为PA=PD，所以PH⊥AD

∵平面PAD⊥平面ABCD于AD

　　　 ∴PH⊥面ABCD

　　　 ∴HB是PB在平面ABCD内的射影

　　　 ∴∠PBH是PB与平面ABCD所成角　　　　　　 …………6分

　　　 ∵四边形ABCD中， 　

　　　 ∴四边形ABCD是直角梯形　

设AB=2a，则，

在中,易得,

，

又∵，

∴是等腰直角三角形，

∴

　　　 ∴在中，　　　 …………10分

(Ⅲ)在平面ABCD内过点H作AB的垂线交AB于G点，连结PG，则HG是PG在平面ABCD上的射影，故PG⊥AB，所以∠PGH是二面角P-AB-D的平面角，由AB=2a　　　　 …………11分

，又∴

在中，　 13分　　　　

　　 ∴二面角P-AB-D的大小为　 …………14分　

解法二：(Ⅰ)同解法一　　　　　　　　　　　　　　 4分

(Ⅱ)设AB=2a，同解法一中的(Ⅱ)可得

　　　 如图，以D点为原点，DA所在直线为x轴，DB所在直线为y轴，过D点且垂直于平面ABCD的直线为z轴建立空间直角坐标系.　　　　　　　 …………5分

则，，则，平面ABCD的一个法向量为m=(0，0，1)，　 …………7分

所以，

可得PB与平面ABCD所成角的正弦值为

所以 PB与平面ABCD所成角的正切值为　　　　　　　　　　　　　 …………10分

(Ⅲ)易知，则，设平面PAB的一个法向量为，则

　　　 ，令，可得……12分

　　　 得，

所以二面角P-AB-D的大小为…………14分

16．(本小题13分)

某公司有10万元资金用于投资，如果投资甲项目，根据市场分析知道：一年后可能获利10﹪，可能损失10﹪，可能不赔不赚，这三种情况发生的概率分别为，，；如果投资乙项目，一年后可能获利20﹪，也可能损失20﹪，这两种情况发生的概率分别为.

(Ⅰ)如果把10万元投资甲项目，用表示投资收益(收益=回收资金-投资资金)，

求的概率分布及；

(Ⅱ)若把10万元投资投资乙项目的平均收益不低于投资甲项目的平均收益，求的取值范围.

解：(Ⅰ)依题意，的可能取值为1，0，-1　　　　 …………1分

的分布列为

	1	0
p

…………4分

==…………6分

(Ⅱ)设表示10万元投资乙项目的收益，则的分布列为

	2
p

　　　 …………8分

…………10分

依题意要求

…………13分

注：只写出扣1分

15．(本小题12分)

已知为钝角，且

求： (Ⅰ)；

(Ⅱ).

解： (Ⅰ)由已知： 　　　　　　　　…………………2分

得　　 　　　　　　　　　　　　　　　　…………………5分

(Ⅱ)

　　　　　　　　　 …………………8分

∵且

∴　　　　　　　　　　　　　 …………………10分

∴ 　　　　　　　　　　　　 　

　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　 …………………12分

14．数列{ a­}，{ b}()由下列条件所确定：

(ⅰ)a­₁<0, b₁>0 ;

(ⅱ)≥2时，a_k­与b_k满足如下条件：

当时，a_k=­ a_k-1, b_k=；

当时，a_k=­ , b_k=b _k-1.

那么，当a­₁＝－5，b₁＝5时， { a­}的通项公式为

当b₁> b­₂>…>b­_n(n≥2)时，用a­₁，b₁表示{ b_k }的通项公式为b_k=　　　　(k=2，3…，n)．

(1)；(2)

13．有这样一种数学游戏：在的表格中，要求每个格子中都填上1、2、3三个数字中的某一个数字，且每一行和每一列都不能出现重复的数字，则此游戏共有　　 12 　　　种不同的填法

12．已知函数，若≥2，则的取值范围是　　　　

11．已知向量=(4, 0)，=(2, 2)，则=　 (-2，2)　 ；与的夹角的大小为　　 90° 　　

10．一个与球心距离为2的平面截球所得的圆面面积为，则球的表面积为　　　 20